Variables regionalizadas en geoestadística: definiciones, momentos y variograma

Resumen

El texto introduce la geoestadística y la teoría de las variables regionalizadas, usadas para estimar fenómenos espaciales como leyes minerales. Explica los conceptos de campo, soporte, aditividad, esperanza matemática, deriva y estacionariedad. También presenta los momentos de segundo orden, el variograma, su relación con la covarianza y el correlograma.

Puntos clave

La geoestadística estudia variables numéricas distribuidas en el espacio y busca estimar, predecir y simular fenómenos espaciales.
El campo es la zona de estudio de la variable regionalizada, definida mediante un modelo geológico; el soporte es el volumen de la muestra, a menudo cilíndrico.
Una variable regionalizada es aditiva si su valor medio en el soporte unión de dos soportes es el promedio ponderado de sus valores medios.
La esperanza matemática E[Z(x)] = m(x) se llama deriva o tendencia.
La varianza y el variograma son siempre positivos, mientras que la covarianza puede ser negativa.
Para un proceso estacionario, el variograma se relaciona con la covarianza mediante γ(h) = Var(Z) – C(h).
El correlograma ρ(h) es el cociente entre la covarianza C(h) y la varianza C(0).

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Introducción y Definiciones de Variables Regionalizadas

La geoestadística es una rama de la estadística que estudia fenómenos espaciales (Journel & Huijgregts, 1978).

Su objetivo principal es estimar, predecir y simular dichos fenómenos (Myers, 1987).

La geoestadística se define como el estudio de las variables numéricas distribuidas en el espacio (Chauvet, 1994).

También se define como la aplicación de la teoría de las"variables regionalizada" a la estimación de recursos mineros.

Las Leyes Muestreadas en las Canaletas

Las leyes muestreadas en las canaletas entre A y A' pueden graficar:

La cotización de un metal como la distribución de la variable cotización en el tiempo (espacio unidimensional).
Un fenómeno geológico como la potencia de un estrato subhorizontal como la distribución en un espacio bidimensional de la variable potencia.
Un fenómeno mineralizado caracterizado por la distribución en un yacimiento tridimensional de variables como leyes, pesos específicos, granulometrías, etc.

En la Dimensión Tiempo

El precio de un metal p(t).

Campo y Soporte

El campo es la zona donde se estudia la variable regionalizada. Para definirlo, se utiliza un modelo geológico.

El soporte es el volumen de la muestra que define la variable regionalizada. A menudo es un cilindro.

Variable Regionalizada Aditiva

Una variable regionalizada es aditiva cuando se cumple que, si se conoce la variable z en dos soportes V1 y V2, con valores medios z1 y z2, entonces el valor medio de z en el soporte homogeneizado V1 U V2 es igual al promedio ponderado de z1 y z2.

Objetivos de la Teoría de las Variables Regionalizadas

Expresar las características estructurales de una variable regionalizada mediante una forma matemática adecuada.
Resolver el problema de la estimación de una variable regionalizada a partir de un conjunto de muestras, asignando errores a las estimaciones.

Esperanza Matemática o Momento de Primer Orden

El momento de primer orden es la esperanza matemática, considerada la variable aleatoria Z(x) en el punto x. Si la función de densidad probabilística de Z(x) tiene una esperanza, esta se escribe como:

E [Z (x) ] = m(x) (2)

La función m(x) se conoce como deriva o tendencia.

Momentos de Segundo Orden

Varianza: Var[Z(x)] = E[{Z(x) - m(x)}2] (3)
Covarianza: C(x1, x2) = E[{Z(x1) – m(x) } [{Z(x2) - m(x2)}] (4)
Variograma (semivarianza): لا 2 (x1, x2) = Var [{Z(x1) - Z (x2)}] o (x1, x2) = ½ E [{Z(x1) - Z (x2)}2] (5.1)

Tanto la varianza como el semivariograma son siempre positivos, mientras que la covarianza puede ser negativa.

Ejemplos de Estacionariedad

Fig. 7(a) Media y varianza constantes; (b) media variable y varianza constante; (c) Media constante y varianza no constante; (d) Media y varianza no constantes.

Relación entre el Variograma y la Covarianza

Cuando la función aleatoria es estacionaria, la relación entre el variograma y la covarianza es:

لا (h) = Var(Z) – E(Z(x+h) – m)(Z(x) – m)]

El Correlograma

El correlograma ρ(h) es el cociente entre la covarianza C(h) y la varianza:

ρ(h) = C(h) / C (0) (12)

Preguntas frecuentes

¿Qué es la geoestadística?

Es una rama de la estadística que estudia fenómenos espaciales, con el objetivo principal de estimar, predecir y simular dichos fenómenos. Se define como el estudio de variables numéricas distribuidas en el espacio.

¿Qué diferencia hay entre campo y soporte en una variable regionalizada?

El campo es la zona donde se estudia la variable regionalizada y se define con un modelo geológico. El soporte es el volumen de la muestra que define la variable, a menudo un cilindro.

¿Qué es el correlograma?

El correlograma ρ(h) es el cociente entre la covarianza C(h) y la varianza C(0). Expresa la correlación entre valores separados por una distancia h.