Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Conceptos Fundamentales en Contraste de Hipótesis

Hipótesis Estadística

Una hipótesis estadística es una afirmación que se hace sobre alguna característica o parámetro de una población con el objetivo de realizar un estudio. Puede rechazarse o aceptarse según la información que nos facilite una muestra aleatoria (m.a.). Tanto la hipótesis nula (H₀) como la hipótesis alternativa (H₁) pueden ser:

• Simples: Si el parámetro investigado solo tiene un valor específico.
• Compuestas: Si el parámetro toma más de un valor posible.

Nivel de Significancia y Errores

El nivel de significancia (α) es el nivel de error de Tipo I que estamos dispuestos a soportar, es decir, la probabilidad de cometer este error, expresada generalmente en términos... Continuar leyendo "Fundamentos del Contraste de Hipótesis Estadística: Errores y Potencia" »

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Definiciones de Lugares Geométricos

Recta: Se define como el lugar geométrico de los puntos tales que, tomando dos puntos cualesquiera, el valor de su pendiente es constante.

Circunferencia: Lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia desde un punto fijo llamado centro es siempre una constante.

Parábola: Lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia a una recta fija del plano es igual a la distancia a un punto fijo que no pertenece a la recta.

Elipse: Lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia a dos puntos fijos es siempre una constante.

Hipérbola: Lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica y Cálculo" »

Curvas Geométricas Fundamentales

Óvalo

El óvalo es una curva cerrada formada por arcos de circunferencia y simetría respecto a dos ejes perpendiculares.

Ovoide

El ovoide es una curva cerrada formada por arcos de circunferencia y simetría respecto a un solo eje.

Voluta

La voluta es una curva formada por arcos de circunferencias tangentes entre sí, siendo los centros sucesivos de estos arcos los vértices de un polígono determinado.

Hélice Cilíndrica

La hélice cilíndrica es una curva alabeada (no plana) sobre una superficie cilíndrica de revolución.

• Paso (P) de la hélice: Es la longitud entre dos pasos sucesivos de la hélice por una misma generatriz del cilindro.
• Espira: Es la parte de la hélice comprendida en un paso, es decir, correspondiente

Introducción a los Entes Fundamentales de la Geometría

El espacio se define como el conjunto de todos los puntos. Una figura geométrica es cualquier subconjunto de puntos del espacio.

Existen tres entes fundamentales e indefinibles en geometría, que solo es posible describir en relación con otros elementos similares. Estos son el punto, la recta y el plano.

El Punto

El punto no posee longitud, área, volumen, ni otra magnitud dimensional. No es un objeto físico, sino que describe una posición en el espacio, determinada respecto a un sistema de coordenadas preestablecido.

La Recta

La recta se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos. Es una sucesión continua e indefinida de puntos en una sola... Continuar leyendo "Fundamentos de Geometría Euclídea: Conceptos Esenciales de Puntos, Rectas y Planos" »

Métodos Esenciales de Factorización Algebraica

1. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos Perfectos

Este método se aplica a binomios que son la suma o diferencia de dos términos elevados al cubo.

Pasos para la Factorización:

• Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.
• Se forma un producto de dos factores: un factor binomio y un factor trinomio.
• El factor binomio es la suma (o diferencia) de las raíces cúbicas obtenidas.
• El factor trinomio se determina así:
  • El cuadrado de la primera raíz.
  • Menos el producto de estas raíces.
  • Más el cuadrado de la segunda raíz.

2. Factorización de una Diferencia de Cuadrados: Dos Binomios Conjugados

La diferencia de cuadrados es uno de los casos de factorización más comunes, resultando siempre... Continuar leyendo "Dominando los 3 Métodos Clave de Factorización de Polinomios" »

Cuadrado de una Suma

Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que: "El cuadrado de una suma es la suma de los cuadrados MÁS el doble del producto." Es decir, que el resultado de elevar al cuadrado la suma de dos números es el mismo que si sumamos los cuadrados de ambos números y añadimos el doble de su producto. Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:

(a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b²

Ahora vamos a comprobar geométricamente esa misma identidad notable:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Cuadrado de una Diferencia

Los productos notables cumplen con ciertas reglas determinadas cuyo resultado puede escribirse sin verificar la multiplicación. Las letras representan números reales... Continuar leyendo "Identidades Notables: Cuadrado, Suma, Diferencia y Cubo" »

PARTE 1: Estimación de Ingresos y Proyección de Costes por Escenarios (2019-2021)

Preparación de Datos Base

El enunciado requiere la proyección de datos desde 2019 hasta 2021.

Copiar la tabla del enunciado hasta la columna Total. Añadir a esta tabla el año 2018, utilizando los mismos números que figuran en el total, y también añadir las proyecciones de 2019 a 2021.

1. Estimación de Ingresos

La estimación de ingresos se calcula mediante las siguientes fórmulas:

Fórmulas de Proyección de Ingresos

• 2019: $I_{2019} = \text{Nº uds} \times (1 + \text{Crecimiento Esperado}) \times \text{Modificador de Precios}$
• 2020: $I_{2020} = \text{Nº uds} \times (1 + \text{Crecimiento Esperado}_{2019}) \times (1 + \text{Crecimiento}_{2020}) \times \text{

Fundamentos Esenciales en el Modelado de Series Temporales

El test formal para verificar la estacionariedad de una serie es el test de raíces unitarias. Este procedimiento busca determinar si el modelo exhibe crecimiento o no.

Clasificación de Integración (I)

• Si no crece: Se clasifica como $I(0) + c$, $I(1)$, o $I(2)$.
• Si crece: Se clasifica como $I(0) + c + b*2$, $I(1) + c$, o $I(2)$.

Procedimiento de Prueba de Raíces Unitarias: Test de Dickey-Fuller (DF)

El procedimiento fundamental que utilizaremos es el test de Dickey-Fuller.

Ejemplo: Caso de No Crecimiento

Comenzamos comparando las hipótesis:

• $H_0$: $I(1)$ vs $H_1$: $I(0) + c$.

Nota Importante: El primer paso siempre se realiza en niveles.

La regresión asociada sería:

$$ \Delta y_{t-1} + c... Continuar leyendo "Fundamentos de Modelos de Series Temporales: Estacionariedad, Cointegración y Procesos ARMA/VAR" »

Conceptos Fundamentales de Hipótesis

Hipótesis Nula (H₀)

La Hipótesis Nula (H₀) es un supuesto de no diferencia, de no cambio, de no asociación, etc. Es una hipótesis conservadora y, dado que habitualmente se investiga para observar diferencias, cambios o asociaciones, la H₀ generalmente se plantea esperando que sea rechazada (es decir, que los datos muestrales no la apoyen). Es la hipótesis que se somete a contrastación estadística.

Hipótesis Alterna (H_a o H₁)

La Hipótesis Alterna (H_a o H₁) es el supuesto alternativo a la H₀. Es decir, si la H₀ es rechazada, entonces los datos apoyan el cumplimiento de la H₁. También se le conoce como hipótesis de trabajo y es la hipótesis que el investigador espera que sea apoyada por los datos muestrales.... Continuar leyendo "Prueba de Hipótesis Estadística: Conceptos y Procedimiento" »