Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Ajuste por Mínimos Cuadrados

El ajuste por mínimos cuadrados minimiza los efectos de los errores aleatorios utilizando observaciones, parámetros, residuos y constantes para establecer un modelo funcional.

Métodos Fundamentales del Ajuste por Mínimos Cuadrados

• Igual precisión: (ô = v^t * v -> ô = v₁² + v₂² + ...)? v¹₂ = mínimo
• Distinta precisión: (ô = v^t * p * v)

• Paramétrico: Se plantean tantas ecuaciones como observaciones. Pueden aparecer parámetros, observaciones, residuos y constantes. El número mínimo de parámetros coincide con el número de observaciones. Solo hay una observación por ecuación. Todas las ecuaciones son lineales. [v(0, 1); A(n, n₀); x(n_o, 1); L(n, 1)]
• Ecuación de condición: Tantas ecuaciones como observaciones

Conceptos Básicos de Estadística

Definición de Estadística

Conjunto de teorías y métodos que han sido desarrollados para tratar la recopilación, organización y análisis de datos o hechos numéricos, con el fin de sacar conclusiones. (Esperanza Moret)

Tipos de Estadística

• Estadística Descriptiva: Se emplea para obtener información acerca de un conjunto de datos.
• Estadística Inferencial: Permite inferir resultados usando modelos matemáticos teóricos. Se fundamenta en la Teoría de Probabilidades.

Conceptos Clave

• Universo: Se define como el conjunto de sujetos o elementos que tienen una característica común, observable y susceptible de ser medida.
• Población: Conjunto de todas las mediciones u observaciones hechas sobre una o varias de

1.5// LA PÈRDUA DE LES PROVÍNCIES D'ULTRAMAR:

Alfons XII és anomenat el rei pacificador perquè acaba amb les guerres de Cuba amb la pau de Zanjón de 1878. Tot i això, el clima de tensió continua. Al 1895, José Martí arrenca un moviment d'independència que acaba introduint els EUA a l'illa; però amb l'explosió de Maine, comença una guerra hispano-americana al 1898. Els interessos dels EUA a l'illa s'expliquen per la doctrina Monroe. La guerra va ser breu, i la premsa va jugar un paper decisiu. Amb la firma del tractat de París, Espanya perd Cuba, Puerto Rico, Filipines i Guam, a canvi de 20 milions de dòlars i desencadena tota una sèrie de conseqüències; en primer lloc, tenim l'aparició d'un grup d'escriptors coneguts com la... Continuar leyendo "La pèrdua de les províncies d'ultramar i el catalanisme polític a la Restauració" »

Tabla de Derivadas

Sistema Diédrico o Monge: Representaciones del Punto en los Distintos Cuadrantes

El Punto

Cada punto en el espacio tiene dos proyecciones: una horizontal (P1) y otra vertical (P2). Cuando se abate el plano horizontal (PH) sobre el vertical (PV), tales proyecciones se ubican sobre una misma recta perpendicular a la línea de tierra (LT), ya que la proyección P1 gira junto con el plano horizontal.

La ubicación del punto en el espacio queda determinada por la cota, el alejamiento y la desviación.

• Cota: es la distancia o altura del punto P al plano horizontal (PH) y en el sistema diédrico o Monge está representada por la medida desde P2 a la línea de tierra (LT).
• Alejamiento: es la distancia del punto A al plano vertical (PV) y es la medida desde

Coordenadas en Espacios Vectoriales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

Base de un Espacio Vectorial

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan V. Lo indicamos como:

B = (v₁, v₂, …, v_n)

Una base ordenada es aquella en la cual los vectores se especifican en un cierto orden:

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Cualquier vector v ∈ V se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.

v ∈ V ⇒ v = α₁v₁ + α₂v₂ + ⋯ + α_nv_n

Los escalares utilizados en la combinación lineal, se denominan coordenadas del vector v respecto de la base B y lo indicamos:

[v]_B = [α₁, α₂,... Continuar leyendo "Coordenadas y Cambio de Base en Espacios Vectoriales" »

Test de diferencia de medias (datos aleatorios o no)

Primero miramos si provienen de una distribución normal, si provienen de una distribución normal miramos si las varianzas son iguales o no, y luego miramos la comparación de medias que si son iguales las medias, los datos serán aleatorios. Si no se supone normalidad, miramos directamente la comparación de medianas, si aceptamos la hipótesis nula de igualdad de medianas los datos perdidos son aleatorios.

Normalidad

Sesgo y Curtosis: los valores tienen que estar comprendidos entre 2 y -2 Shapiro Wilks: Debido a que el valor-p de las pruebas realizadas ha sido 0.02 menor que alfa (0.05), rechazamos la hipótesis nula de que empleo proviene de una distribución normal con un nivel de confianza... Continuar leyendo "Análisis de datos estadísticos: Test de diferencia de medias" »

Funciones Biyectivas

Sea f : A → B una función biyectiva. Por ser f sobreyectiva, para cada b ∈ B existe un elemento a ∈ A tal que f(a) = b. Además, por ser f inyectiva, este a es único. Esto permite definir la aplicación f^-1: B → A, f^-1(b) = a ⇔ f(a) = b. Esta aplicación f^-1 es la inversa de f.

Ejemplos de Funciones Biyectivas

Determinar si las siguientes funciones son biyectivas:

1. f : R → R, f(x) = 2x + 5

   1. Inyectividad: ∀x₁, x₂ ∈ R, f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ + 5 = 2x₂ + 5 ⇒ x₁ = x₂. Sí es inyectiva.

   2. Sobreyectividad: ∀y ∈ R, ∃x ∈ R / f(x) = y ⇔ ∃x ∈ R / 2x + 5 = y. Sí es sobreyectiva.

   Conclusión: f es biyectiva.

2. f : R → [0, +∞), f(x) = x²

   1. Inyectividad: f(1) = f(-1) = 1. No es inyectiva.

   2. Sobreyectividad: ∀y ∈

Estadística descriptiva

Tendría por objetivo la ordenación, clasificación y resumen de datos.

Frecuencia Relativa

Es el cociente entre la frecuencia absoluta de cada uno de los sucesos o datos y el número total de elementos observados.

Frecuencia absoluta

Es precisamente el número de veces que se repite un determinado dato o suceso.

Sesgo

Es la distorsión de la realidad como consecuencia de no tomar datos de forma adecuada o objetiva, o por usar muestras no representativas, o por tomar dichas muestras con cierta intencionalidad.

Variables cualitativas

Son aquellas que nos indican algún atributo o característica del individuo de forma NO numérica, por ejemplo la marca de su teléfono móvil.

Variables cuantitativas

Nos proporcionan algún rasgo... Continuar leyendo "Estadística descriptiva y su importancia en la inferencia estadística" »

Funciones

Polinómica de 1 grado

y=mx+n sustituir los puntos y ya

Polinómica de 2 grado

y= ax2 + bx + c, es una parábola, xv, yv, a mayor o menor, puntos de corte y tabla valores

Función racional

y=k:x-a es una hiperbola, asíntota vertical la x=a, si k mayor que 0 esta en el 1 y 3 cuadrante

Función exponencial

y= a elevado x, creciente si a mayor q 1, tabla valores

Función logarítmica

y=log base a de x, dom f de 0, + inf, creciente si a mayor k 1

Combinatoria

n:m= n!: m! (n-m)! propiedades: n:n= 1, n:o= 1, n:m= n: n-m, n+1: m+1= ejemplo 6:2 mas 6:3= arriba se pone uno mas y abajo el mayor de los denominadores 7:3, n:1= n

Variaciones

vn, m: n!: (n-m)!

Variación con repetición

pn= vn, n= n!

Combinaciones

cn, m= n:m= n!: m! (n-m)!

Grafica

influye el orden?... Continuar leyendo "Funciones matemáticas y estadísticas para exámenes" »