Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Muelles: Grafo del problema y modelado

A: grafo del problema

A.1: Sistema mecánico para el problema

• 1º: Estado natural sin fuerza aplicada.
• 2º: Estado final con fuerza aplicada.

A.2: Conceptos de ingeniería y modelado matemático del problema

A.2.1: Energía elástica interna (tensión interna del muelle i-ésimo):

Ei = 1/2 · Ki · (MM')² ⇒ Ei = 1/2 · Ki · Xi².

A.2.2: Trabajo de la fuerza externa:

W = F · Xi.

A.2.3: Modelado: superficie de la energía potencial del sistema mecánico (muelles y fuerza):

E_poten = acción externa – reacción interna o equivalentemente E_poten = - (reacción interna – acción externa). En el equilibrio: E_poten debe ser mínima.

Diagrama (descripción): Eje vertical: u → energía potencial del sistema mecánico;... Continuar leyendo "Equilibrio y optimización en sistemas de muelles y posición óptima en una portería" »

1. OBJETIVO DE LA ASIGNATURA

Obtener la probabilidad de una variable aleatoria por la que uno tiene un interés particular, como por ejemplo el PIB.

2. ¿QUE NECESITO PARA HAYAR LA PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA?

• Conocer la función de densidad de la variable aleatoria. 
• Conocer la forma funcional de la función de densidad, y los parámetros que la integran (μ, σ²) en una normal.

En la practica real como mucho podremos conocer la forma funcional en el caso de que la variable aleatoria se distribuya como una normal, dado que ellas son muy abundantes en ningún caso conoceremos los valores de los parámetros de dicha función ni μ ni σ². Si no vamos a poder conocerlos vamos a ser capaces de calcular un intervalo de confianza para cada uno.... Continuar leyendo "Estimación de Parámetros y Cálculo de Probabilidad en Variables Aleatorias" »

Aplicación a la Distribución Muestral

Al aplicar los conceptos a la distribución muestral, podemos establecer lo siguiente:

a) Confianza en la Media Muestral

En el 95% de las muestras posibles, de igual tamaño que extraigamos de una población, sus medias tendrán un valor comprendido entre la media de la distribución muestral y ± 1,96 veces el error típico (que es la desviación típica de la distribución muestral). (Figura 5).

Esto se traduce en que, en 95 de cada 100 muestras, la media muestral (x̄) se expresará como: x̄ = Media Distribución Muestral ± (1,96 * ∂/√n).

b) Aproximación a la Media Poblacional

Gracias a la Ley de los Grandes Números, sabemos que la media de todas las muestras posibles se aproxima significativamente... Continuar leyendo "Estimación de Parámetros Poblacionales: Intervalos de Confianza y Error Muestral" »

Dominio de una función

Para determinar el dominio, sigue estos pasos:

• 1º Comprobación de condiciones: Asegúrate de que el argumento del logaritmo sea mayor que 0, el denominador sea distinto de 0 y las raíces sean mayores o iguales a 0.
• 2º Despeje: Si es una ecuación de segundo grado, factoriza o resuelve la ecuación.
• 3º Representación: Expresa las soluciones mediante una inecuación.

Interpolación y extrapolación en funciones lineales

1. Representación: Dibuja la parábola utilizando una tabla de valores o los puntos indicados.
2. Cálculo de la pendiente: Utiliza la fórmula m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
3. Ecuación punto-pendiente: Sustituye la pendiente en la fórmula: y = m(x - x₀) + y₀.
4. Identificación: Determina si es interpolación

Fundamentos de Geometría Espacial y Poliedros

Ejercicio 1: Escalado de Volumen en un Hexaedro

Problema: Si en un hexaedro regular (cubo) se duplica la longitud del lado, ¿qué volumen tiene el nuevo hexaedro respecto al original?

Resolución

1. Hexaedro Original (Lado $L$): El volumen $V_1$ se calcula como $V_1 = L^3$.
2. Nuevo Hexaedro (Lado $2L$): El volumen $V_2$ se calcula sustituyendo la nueva longitud: $$V_2 = (2L)^3$$ $$V_2 = 2^3 \cdot L^3$$ $$V_2 = 8L^3$$

Conclusión: El volumen del nuevo cubo será 8 veces mayor que el del cubo original.

Ejercicio 2: Trazado de una Circunferencia por Tres Puntos

Problema: Dibuja una circunferencia que pase por tres puntos no alineados.

Procedimiento Geométrico

Para trazar una circunferencia que pase por tres puntos... Continuar leyendo "Fundamentos de Geometría y Poliedros: Cálculo de Volumen, Aristas y Vértices" »

Estadística Unidimensional y Formulas

Media Aritmética: X=Σxifi/Σfi

Varianza: S²=Σxi²fi/Σfi

Desviación Típica: S=√S²

Coef. Variación: c.v=desviación típica/media aritmética

Moda: valor que más se repite

Rango: la diferencia entre uno y otro.

Covarianza: Sxy=∑xifi/n)-(X-Y)

Coeficiente de Correlación: r=Sxy/Sx*Sy

Recta de Regresión: y-y=m(x-x) ; M=Sxy/Sx²

Estadística Bidimensional

1. Distribuciones Marginales (media y desviación típica)
2. Desviaciones Típicas de x e y
3. Cálculo de la Covarianza
4. Coeficiente de Correlación
5. Recta de Regresión.

Varianza: S²=Σ(x-X)²fi/ N     S²=Σ(x-X)²fi/ n-1    

Desviación Típica: S=√S²

Coef. Variación: c.v=desviación típica/media aritmética

Teorema de Bayes:

Incidencia Acumulada: IA= nº casos... Continuar leyendo "Estadística Unidimensional y Bidimensional" »

Definiciones Clave en Matemáticas

Conjuntos

• Conjunto: Reunión de un número cualquiera de objetos para formar una colección. Ejemplo: A = {a, b, c, d}
• Conjunto unitario: Aquel que tiene un solo elemento. Ejemplo: A = {2}
• Conjunto vacío: Aquel que no tiene ningún elemento. Ejemplo: El conjunto de números pares menores que 2 es { } o ∅.
• Conjunto universal: Aquel que tiene todos los elementos del universo de discurso. Ejemplo: U = {números naturales}

Tipos de Números

• Número compuesto: Todo número natural no primo, a excepción del 1. Tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. Ejemplos: 4, 6, 8
• Número primo: Número entero que solo es divisible por sí mismo y por la unidad. Ejemplos: 2, 7
• Números primos entre sí: Aquellos que

DEFINICIONES: Expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios, que se llaman términos de polinomio.-Términos de un polinomio:Cada uno de los monomios que forman el polinomio.-Polinomio reducido: Polinomio que resulta de operar sus términos semejantes(los que tiene igual parte literal).-Grado de un polinomio:En el grado del termino de mayor grado.Para calcular el grado de un monomio sumo todos los exponentes de la parte literal.-Términos independientes de un polinomio: Es el término que no tieen parte literal.-Regla de ruffini: Es un procedimiento (algoritmo) para realizar divisiones de manera sencilla cuando el divisor es de forma "x+a"siendo "a" un número. A)Procedimiento: 1ºColocar, los coeficientes del... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de Álgebra: Definiciones, Factorización de Polinomios y Tipos de Ecuaciones" »

Razones y Proporciones

1. Razones

La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo, la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee "siete es a cuatro".

• El primer término es el antecedente (que corresponde al dividendo).
• El segundo término es el consecuente (que corresponde al divisor).

2. Proporciones

Una proporción consiste en la igualdad entre dos razones y se representa de dos maneras:

a/b = c/d o a:b::c:d

Se lee: "a es a b como c es a d". En esta estructura:

• Los puntos a y d se llaman extremos.
• Los puntos b y c se llaman medios.

Porcentaje

El porcentaje es una proporcionalidad directa en la que se considera la totalidad como un 100%. Es un símbolo matemático que representa una cantidad dada como una fracción de 100 partes... Continuar leyendo "Fundamentos de Razones, Proporciones y Lógica Matemática" »

¿Qué es un Polinomio?

Un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.

Partes de un Polinomio

• Términos: Es una expresión que está formada por un coeficiente y una variable, y están separados por los signos de suma o resta.
  Ejemplo: 3x, -2x², 4
• Coeficiente: Es el número que multiplica a una variable.
  Ejemplo: 3x² + 2x