Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Geometría Analítica del Espacio

Productos

Producto Escalar: u · v = |u| · |v| · cos(α) => cos(α) = (u · v) / (|u| · |v|). Si u es perpendicular a v, entonces u · v = 0.

Producto Vectorial: |u x v| = |u| · |v| · sen(α) = |matriz|. Área del paralelogramo = |u x v|. Área del triángulo = |u x v| / 2.

Ecuaciones

Vectorial: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ(u₁, u₂, u₃)

Paramétrica:

• x = x₀ + λ · u₁
• y = y₀ + λ · u₂
• z = z₀ + λ · u₃

Continua: (x - x₀) / u₁ = (y - y₀) / u₂ = (z - z₀) / u₃

Implícita:

• Ax + By + Cz + D = 0
• A'x + B'y + C'z + D' = 0

Plano

Definido por un punto y dos vectores.

Punto Medio

M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, (z₁ + z₂) / 2)

Puntos Alineados

Misma recta = rg 1

Posiciones Relativas

Rectas

1. Tenemos

Cuando el numerador es mayor que el denominador, se tiene una fracción impropia, es decir, una cantidad mayor que la unidad. Si el numerador es múltiplo del denominador, es un número entero. Si no se trata de ninguna de las dos situaciones anteriores, tenemos una fracción propia. Para calcular el porcentaje de un número se multiplica la cantidad por el porcentaje. Un eje de simetría es una línea recta que divide a una figura en dos partes iguales. Una figura es simétrica si tiene al menos un eje de simetría. Para localizar un punto en una cuadrícula, se identifica el renglón (la 'y') y la columna en que se encuentra. Para localizar un número fraccionario en la recta numérica, primero se debe ubicar el origen, la unidad se divide... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Matemáticas: Fracciones, Geometría y Estadística" »

Resolución de Problemas de Probabilidad Total y Bayes

A continuación, se presentan tres ejercicios detallados sobre el cálculo de probabilidades, aplicando conceptos de sucesos independientes, probabilidad total y el Teorema de Bayes.

Caso 1: Cálculo de Probabilidades en Tiro con Arco (Sucesos Independientes)

Lena y Adrián son aficionados al tiro con arco. Consideremos los siguientes sucesos:

• L: “Lena da en el blanco”. P(L) = 7/11
• A: “Adrián da en el blanco”. P(A) = 9/13

Los sucesos L y A son independientes, ya que la probabilidad de acierto de Lena no afecta la de Adrián. Por lo tanto, P(L ∩ A) = P(L) · P(A).

A) Probabilidad de que ambos den en el blanco

P(Ambos dan en el blanco) = P(L ∩ A) = P(L) · P(A) = (7/11) · (9/13) = 63/... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Teorema de Bayes y Sucesos Independientes" »

encontar el valorde la pendiente según los elementos proporcionados identifica grafica y interpletar la inclinación

ejemplos

1.-θ=45grados

 m = tan 45^. m=1

2.-si la recta pasa por tanto  A(-5,3) Y B (2,1)

determina el valor de b pendientey el ángulo de inclinación

   m=y2-y1  

        x2-x1   

   m=1-3

        2+5

m=-2/7

-2/7=tan θ

tan^-1(-2/7)=θ   =-15.94

ejemplo 3: (-1,5)(3,2)

m=y2-y1

     x2-x1

m=2-5

    3+1

m=-3

      4

tan^-1(-3/4)=-36.8

180-36.8=143.2

                  sacar ángulos entre dos rectas:

L1= A (-1,3) B (3,8) L2= C (-2,8) D (1,4)

θTAN^-1(M2-M1)

        1+M1XM2

A (-1,3) B (3,8)

M1=8-3=5

    3+1=4

C (-2,8) D (1,4)

M2=4-8=-4

      1+2=3

θTAN^-1=5/4-4/3     θTAN^-1=-31/12/... Continuar leyendo "Cálculo de Pendientes y Ángulos entre Rectas" »

Monotonía de una Función

La monotonía de una función se refiere a su comportamiento de crecimiento y/o decrecimiento en un intervalo dado.

Función Estrictamente Creciente

Una función f es estrictamente creciente en un intervalo (a,b) si y solo si, para todo x₁ y x₂ en (a,b) tal que x₁ < x₂, se cumple que f(x₁) < f(x₂).

Esto implica que la tasa de cambio promedio (f(x₂) – f(x₁)) / (x₂ – x₁) > 0.

En un punto x₀, una función es estrictamente creciente si existe un entorno centrado en x₀, E(x₀, a) = (x₀ - a, x₀ + a), en el que la función es estrictamente creciente. Es decir, si f'(x₀) > 0, entonces f es estrictamente creciente en x₀.

Función Estrictamente Decreciente

Una función f es estrictamente

Definición de Ecuación Diferencial

¿Cómo se determina una ecuación diferencial? Es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes respecto a una o más variables independientes.

Notaciones para las derivadas

Existen principalmente dos notaciones para las derivadas:

• Notación de Lagrange (Primaria): y', y'', y'''
• Notación de Leibniz: dy/dx, d²y/dx²

Solución de una ecuación diferencial

Una función y = f(x) tal que, al sustituirla en la ecuación diferencial, satisface la igualdad, se denomina solución explícita de dicha ecuación.

Variables en el cálculo

• Variable dependiente: Son las que dependen del valor que tome una incógnita.
• Variable independiente: Son aquellas que no dependen de otras variables.

Clasificación

Conceptos Básicos de Estadística

Técnicas de Muestreo

• Aleatorio: Cada elemento de la muestra tiene la misma posibilidad de ser elegido.
• Estratificado: Se reconoce que la muestra está dividida en estratos que equivalen a categorías.
• Conglomerados o Clusters: No se realiza una selección inmediata, sino una dentro de otra.
• Sistemático: Cuando los datos de la población son ordenados numéricamente. Puede ser al azar.

Conceptos Fundamentales

• Población: Conjunto sobre el cual estamos interesados en obtener conclusiones.
• Muestra: Subconjunto de la población a la cual podemos acceder y sobre el cual se realizan las mediciones.
  • Debe ser representativo.
  • Debe estar formado por miembros seleccionados.
• Variable: Características o intereses sobre los

Tipos de Datos en Estadística

Además de la distinción académica de los tipos de datos, es de interés considerar si estos se refieren a distintos individuos en un determinado período o instante de tiempo, o si están referidos a un mismo individuo en distintos períodos o instantes de tiempo.

Datos Transversales o de Sección Cruzada

Se refieren al valor observado de diferentes individuos en un mismo instante o periodo de tiempo.

Ejemplo: El número de empleados de las pequeñas empresas a 31 de diciembre de 2006.

Series Temporales

Se refieren a un mismo individuo en distintos períodos o instantes de tiempo.

Ejemplo: El número de empleados de una determinada empresa a final de año desde 1970 hasta 2006.

Panel de Datos

Conjuga la transversalidad... Continuar leyendo "Tipos de Datos y Variables en Estadística: Clasificación y Ejemplos" »

La Función Derivada Respecto de un Vector

Si f : C → R^q definida en un abierto C ⊆ R^p es derivable respecto de un vector u distinto de 0 en todos los puntos de C.

Funciones de Clase

Sea f : C → R^q función definida en C ⊆ R^p abierto y a ∈ C. Se dice que f es de clase C⁰ en a si f es continua en a, y que es de clase C⁰ en C si f es continua en C.

Se dice que f es de clase C¹ en a si f tiene sus p derivadas parciales en un entorno de a y éstas son continuas en a. Se dice que f es de clase C¹ en C si f es de clase C¹ en todo punto a de C.

Definición de Función Diferenciable

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C. Se dice que f es diferenciable en a cuando se cumple una de las condiciones siguientes... Continuar leyendo "Derivadas Vectoriales, Diferenciabilidad y Teoremas Clave" »