Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Ley de Rendimientos Decrecientes

Corresponde a una afirmación empírica acerca de la realidad que ha sido observada en el mundo económico real.

Ley de Rendimientos Marginales Decrecientes

Se manifiesta cuando, al mantener por lo menos un factor fijo, una empresa experimentará rendimientos marginales decrecientes a medida que emplea una mayor cantidad del factor variable. Esto ocurre a partir de un punto determinado.

Conceptos Clave en la Producción

Cantidad Máxima de Producción

Es la producción máxima de un producto que una empresa puede llegar a generar.

Óptimo Técnico

Es el punto donde la empresa genera una determinada producción utilizando el menor número posible de insumos (máximo rendimiento). La empresa alcanza su óptimo técnico... Continuar leyendo "Fundamentos de la Producción: Ley de Rendimientos Decrecientes y Fases Operativas" »

Problema 1: Probabilidad en el Ámbito Laboral y Uso de Ordenadores

En una empresa, el 65% de la plantilla son hombres. Definimos los siguientes sucesos:

• H: Elegir una persona al azar que sea hombre.
• M: Elegir una persona al azar que sea mujer.
• O: Elegir una persona al azar que utilice el ordenador.

Las probabilidades indicadas en el enunciado son:

• P(H) = 0.65
• P(O|H) = 0.8 (probabilidad de que una persona utilice el ordenador dado que es hombre)
• P(O) = 0.835 (probabilidad total de que una persona utilice el ordenador)

De estos datos, podemos deducir:

• P(M) = 1 - P(H) = 1 - 0.65 = 0.35
• P(Oᶜ|H) = 1 - P(O|H) = 1 - 0.8 = 0.2 (probabilidad de que una persona no utilice el ordenador dado que es hombre)

Cálculo de la Probabilidad de un Hombre que No Usa Ordenador

La... Continuar leyendo "Resolución de Problemas de Probabilidad: Casos Prácticos y Teoremas Fundamentales" »

Resolución de Problemas de Apolonio

PPC (Punto, Punto, Circunferencia)

• Procedimiento: Unimos los dos puntos y trazamos la mediatriz del segmento resultante.
• Dibujamos una circunferencia auxiliar que contenga los puntos y corte a la circunferencia dada.
• Hallamos el eje radical de la circunferencia auxiliar y la principal.
• Prolongamos la unión de los puntos iniciales; el punto donde corte al eje radical será el centro radical.
• Trazamos la tangente (tg) desde ese punto a la circunferencia principal para obtener los puntos de tangencia.

PPR (Punto, Punto, Recta)

• Procedimiento: Unimos los dos puntos hasta que corten con la recta dada.
• Trazamos la mediatriz del segmento que une los puntos.
• Realizamos una circunferencia auxiliar que pase por los puntos.
• Desde

n racionales: son aquellos que pueden ponerse en forma de fracción.

un n racional se puede expresar con infinitas fracciones. La fracción irreducible de todas ellas se llama fracción generatriz

n irracional: son aquellos que no pueden expresarse en forma de fracción. Son decimales con infinitas cifras decimales no periódicas. Si "p" no es un cuadrado perfecto, raíz de "p" es irracional

representa. De n reales en la recta: entre dos números reales hay infinitos números reales. Dos n reales , a b , diremos que b es menor que a, así al representarlos en la recta real b se sitúa a la derecha de a

aproximaciones: a veces usamos valores que se aproximana los exactos, pero sin ser exactos. Las aprox pueden ser por exceso si el valor aprox es... Continuar leyendo "jgfr" »

Ejercicio 1: Regresión Cuadrática

(a) Realizar un diagrama de dispersión de y versus x

datosej1t1 = read.table(file.choose(), header = T)
attach(datosej1t1)
plot(y ~ x) # diagrama de dispersión

(b) Proponer un modelo lineal que ajuste bien, donde la variable y sea función de la variable x.

Observamos que el gráfico de dispersión es una parábola; por lo tanto, vamos a proponer un modelo cuadrático:

y = β₀ + β₁*x + β₂*x² + ε

Le aplicamos una transformación a la variable regresora:

x2 = x^2 # creamos x2, la x ya la tenemos
lmy = lm(y ~ x + x2, data = datosej1t1)
summary(lmy)

(c) ¿Cuál es el R² de la regresión propuesta? ¿Cómo se interpreta?

R² = 0.9359. Esto indica que el 93.59% de la variabilidad de la variable y es explicada... Continuar leyendo "Aplicación e Interpretación de Modelos de Regresión en R" »

ALELOS: s cada 1a d ls formas alternativas q puede tener 1 gen q s diferencian en su secuencia y q s puede manifestar en modificaciones concretas d la función d ese gen.

fenotipo: s cualquier característica o rasgo observable d 1 organismo, como su morfología, desarroyo, propiedades bioquímicas, fisiología y comportamiento.

Demostración de Compacidad de M en R³

Verificación de que M es Acotado

Sea (x, y, z) ∈ M. La norma de (x, y, z) es ||(x, y, z)|| = √(x² + y² + z²) = r. Como la norma es igual a r, el subconjunto M es acotado.

Verificación de que M es Cerrado

Para demostrar que M es cerrado, necesitamos encontrar una aplicación continua tal que la imagen inversa de un conjunto cerrado sea un conjunto cerrado. Consideremos la función g. Tenemos que g^-1({0}) = M, lo que prueba que M es un conjunto cerrado.

Teorema de la Función Inversa

Por el teorema de la función inversa, si f es una función de clase C¹, entonces f posee una función inversa local de clase C¹. En otras palabras, para cada punto (x, y, z) ∈ R³, existe un entorno abierto U del... Continuar leyendo "Demostración de Compacidad, Variedad Diferenciable y Extremos Absolutos en R³" »

Combinatoria

Variaciones

Dado un conjunto A con m elementos, A = {a₁, a₂,…, a_m}, se llama variación sin repetición de orden n, a todo agrupamiento de A con n elementos.

Diremos que dos variaciones sin repetición son diferentes cuando tengan algún elemento diferente o cuando, teniendo los mismos elementos, el orden de colocación sea distinto. Denotaremos por V_m,n al número total de variaciones sin repetición de orden n formadas a partir de m objetos dados y viene dado por:

[Fórmula de variaciones sin repetición]

Llamaremos variaciones con repetición de orden n a todas las agrupaciones de n elementos que pueden hacerse con los m elementos de A. Dos variaciones con repetición se considerarán distintas cuando tengan algún elemento diferente... Continuar leyendo "Combinatoria y Probabilidad Condicionada: Conceptos y Fórmulas" »

ÁNGULOS

Ángulo entre 2 Rectas

Que se Cortan

- Que se cortan (en el papel):

1. Sacar trazas de las 2 rectas.
2. Unir las trazas horizontales.
3. Alinear una recta Y paralela a la unión anterior.
4. Tomar la cota y trasladarla sobre la recta Y, girar y unir con las dos trazas horizontales = ((r) —(s)).

- Que se cortan (fuera del papel):

1. Marcar un punto beta aleatorio paralelo a la Línea de Tierra (L.T).
2. Donde el punto beta corte con r2-s2, marcar los puntos 11 y 22.
3. Bajar los puntos 11 y 22 para trasladarlos a r1-s1.
4. Unir 21-11, que será la charnela.
5. Alinear una recta Y paralela a la charnela.
6. Tomar la cota A2-beta2.
7. Trasladar la cota anterior y colocarla paralela a la charnela.
8. Girar hasta que se coloque (A) en la recta Y junto a la charnela.

Que se Cruzan

(1.meter... Continuar leyendo "Ángulos en Geometría Descriptiva: Rectas, Planos y Proyecciones" »

Procedimientos para la Determinación del Equilibrio en Modelos de Oligopolio

Modelo de Bertrand (Costes Iguales)

El modelo de Bertrand se centra en la competencia vía precios. El equilibrio se alcanza cuando el precio es igual al Coste Marginal ($P = CMg$).

1. Función de Demanda: Determinar la demanda de la Empresa 1 ($Q_1$) en función de los precios ($P_1, P_2$):
   • Si $P_1 < P_2$: $Q_1 = Q(P_1)$ (La Empresa 1 captura todo el mercado).
   • Si $P_1 = P_2$: $Q_1 = \frac{1}{2}Q(P_1)$ (Las empresas se dividen el mercado).
   • Si $P_1 > P_2$: $Q_1 = 0$ (La Empresa 1 no vende nada).
2. Igualar Precio y Coste Marginal: Establecer el precio de equilibrio ($P_{eq}$) igual al Coste Marginal ($CMg$).
3. Sustitución en la Demanda: Sustituir el $P_{eq}$ en la función