Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

La Función Derivada Respecto de un Vector

Si f : C → R^q definida en un abierto C ⊆ R^p es derivable respecto de un vector u distinto de 0 en todos los puntos de C.

Funciones de Clase

Sea f : C → R^q función definida en C ⊆ R^p abierto y a ∈ C. Se dice que f es de clase C⁰ en a si f es continua en a, y que es de clase C⁰ en C si f es continua en C.

Se dice que f es de clase C¹ en a si f tiene sus p derivadas parciales en un entorno de a y éstas son continuas en a. Se dice que f es de clase C¹ en C si f es de clase C¹ en todo punto a de C.

Definición de Función Diferenciable

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C. Se dice que f es diferenciable en a cuando se cumple una de las condiciones siguientes... Continuar leyendo "Derivadas Vectoriales, Diferenciabilidad y Teoremas Clave" »

Fundamentos de Estadística

La Estadística se divide en:

• Estadística Descriptiva: Se encarga de recolectar, ordenar, analizar y presentar datos de una población.
• Probabilidad: Deducir la ley que rige esos conceptos.
• Estadística Inferencial: A partir de lo anterior, se toman decisiones y obtienen conclusiones.

Pasos del Proceso Estadístico

1. Plantear hipótesis de una población.
2. Decidir y recoger datos.
3. Describir datos.
4. Inferencia / Población.
5. Cuantificar confianza de inferencia.

Tipos de Muestreo

• Estratificado
• Sistemático

Conceptos Clave

• Población: Individuos que comparten características comunes (finitas, infinitas).
• Muestra: Subconjunto representativo de la población.
• Unidad de Observación: Cada individuo de la población o muestra.
• Variables: Características

Poliedros

1. Naturaleza

1.1. Convexo: Se define cuando sus ángulos son menores a 180º. Una característica visual es que, al situarlo en la palma de la mano, el poliedro queda orientado hacia arriba.

1.2. Cóncavo: Se define cuando posee ángulos mayores a 180º (a excepción de las maclas, que son asociaciones simétricas del mismo cristal).

2. Número de Caras

El poliedro se clasifica también según su número de caras.

Seis Condiciones de los Poliedros Regulares

A continuación se detallan las características más comunes de los poliedros regulares:

• 1. Todas sus caras son iguales.
• 2. Todas sus caras son concluyentes.
• 3. Todos sus ángulos poliedros son iguales (en cada vértice concurre el mismo número de aristas).
• 4. Que tengan todos sus ángulos

Productos notables

1. Caso: cuadrado de la suma de dos cantidades

Primer término elevado al cuadrado.

El doble del primer término por el segundo.

Segundo término elevado al cuadrado. Todos los términos serán positivos.

Fórmula: (a + b) = a² + 2ab + b²

2. Caso: cuadrado de la resta de dos cantidades

Primer término elevado al cuadrado.

El doble del primer término por el segundo, con signo negativo.

Segundo término elevado al cuadrado.

Los signos serán alternados: + − +.

Fórmula: (a - b)² = a² - 2ab + b²

3. Caso: producto de la suma por la diferencia de cantidades iguales

Fórmula: (A + B)(A - B) = A² - B²

4. Caso: cubo de un binomio

Primer término elevado al cubo.

Más o menos el triple del primer término al cuadrado por el segundo término.

Polinomio Característico, Valores y Vectores Propios

Podemos definir el polinomio característico asociado a un endomorfismo como el polinomio característico de cualquiera de las matrices que lo represente, pues estas son semejantes y el polinomio será el mismo sea cual sea la elegida (debido a la propiedad anterior).

El cálculo de valores y vectores propios de una matriz A de n × n sigue los siguientes pasos:

• Valores propios de A: Son las n raíces de C_A(x). Recordemos que en esta cuenta aparecen las raíces complejas, contadas con su multiplicidad.
• Vectores propios asociados al valor propio λ: Subespacio V(λ) = Ker(A − λI_n).

Además, dim V(λ) = n − rang(A − λI_n).

Multiplicidades Algebraica y Geométrica

A es una matriz n × n y f:... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Endomorfismos, Diagonalización y Formas Cuadráticas" »

Fundamentos de los Conjuntos Numéricos

Números Racionales ($\mathbb{Q}$)

El conjunto de los números $\mathbb{Q}$ está formado por todos aquellos números $q$ que se pueden escribir como una fracción $\frac{a}{b}$, donde $a$ y $b$ son números enteros y $b$ es distinto de cero ($b \neq 0$).

Números Irracionales ($\mathbb{I}$)

El conjunto de los números irracionales $\mathbb{I}$ está formado por los números que no pueden ser expresados como fracción. Su expresión decimal tiene un número infinito de cifras que no se repite de forma periódica.

Números Reales ($\mathbb{R}$)

El conjunto de los números reales está formado por la unión de los números racionales e irracionales y se representa por $\mathbb{R}$.

Operaciones y Expresiones

Radicales

Dado... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales del Álgebra: Números, Polinomios y Sistemas de Ecuaciones" »

Trigonometría

Sen α = a / c | Cos α = b / c | Tg α = a / b

tg α = sen α / cos α | sen² α + cos² α = 1 | tg² α + 1 = 1 / cos² α

Logaritmos

Álgebra y Sistemas

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a - b)² = a² - 2ab + b²
• (a + b) · (a - b) = a² - b²

Sistemas de Ecuaciones

• Sistema Compatible Determinado: 1 solución
• Sistema Compatible Indeterminado: ∞ soluciones
• Sistema Incompatible: Sin soluciones

Geometría Analítica

Ángulo entre dos vectores: cos α = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√x₁²... Continuar leyendo "Formulario Matemático Esencial: Trigonometría, Álgebra y Cálculo" »

Intrusoa

Gizartearen egitura: Ekoizpen modua

Gizarte batek existitzeko behar dituen ondasunak ekoizteko beharrezkoak diren elementuen multzoa da.

Azpiegitura ekonomikoa

• Ekoizpen indarrak: Ekoizteko tresnak eta lan indarra.
• Ekoizpen harremanak: Ekoizpen prozesuan sortzen diren loturak.

Gainegitura juridiko-politikoa

Legeak, erakundeak eta botere politikoaren formak biltzen ditu.

Gainegitura ideologikoa

Kulturaren forma ideologikoetan (erlijioa, filosofia...) jasotako sineskera, ohitura eta ideiak.

Egitura ekonomikoa (Oinarria)

Ekoizpen indarrak

• Eraldatu beharreko materia: Gordina ala lehengaia.
• Lan indarra: Langilearen jarduera eta lan gaitasuna.
• Lan egiteko baliabideak: Tresnak, makinak, etab.

Ekoizpen harremanak

• Teknikoak: Ekoizpen prozesuan bertan ezartzen direnak.