Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Coordenadas en Espacios Vectoriales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

Base de un Espacio Vectorial

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan V. Lo indicamos como:

B = (v₁, v₂, …, v_n)

Una base ordenada es aquella en la cual los vectores se especifican en un cierto orden:

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Cualquier vector v ∈ V se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.

v ∈ V ⇒ v = α₁v₁ + α₂v₂ + ⋯ + α_nv_n

Los escalares utilizados en la combinación lineal, se denominan coordenadas del vector v respecto de la base B y lo indicamos:

[v]_B = [α₁, α₂,... Continuar leyendo "Coordenadas y Cambio de Base en Espacios Vectoriales" »

Funciones Biyectivas

Sea f : A → B una función biyectiva. Por ser f sobreyectiva, para cada b ∈ B existe un elemento a ∈ A tal que f(a) = b. Además, por ser f inyectiva, este a es único. Esto permite definir la aplicación f^-1: B → A, f^-1(b) = a ⇔ f(a) = b. Esta aplicación f^-1 es la inversa de f.

Ejemplos de Funciones Biyectivas

Determinar si las siguientes funciones son biyectivas:

1. f : R → R, f(x) = 2x + 5

   1. Inyectividad: ∀x₁, x₂ ∈ R, f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ + 5 = 2x₂ + 5 ⇒ x₁ = x₂. Sí es inyectiva.

   2. Sobreyectividad: ∀y ∈ R, ∃x ∈ R / f(x) = y ⇔ ∃x ∈ R / 2x + 5 = y. Sí es sobreyectiva.

   Conclusión: f es biyectiva.

2. f : R → [0, +∞), f(x) = x²

   1. Inyectividad: f(1) = f(-1) = 1. No es inyectiva.

   2. Sobreyectividad: ∀y ∈

Teorema de Rolle y Teorema de Bolzano

Teorema de Rolle

El Teorema de Rolle se utiliza para comprobar cuándo cambia el signo de una función. Si el signo cambia, entonces f(a) * f(b) < 0, lo que implica que existe al menos una raíz en el intervalo [a, b].

Condiciones:

• f(x) debe ser continua en el intervalo [a, b].
• f(x) debe ser derivable en el intervalo (a, b). (Generalmente, esto se cumple por composición de funciones elementales).

Teorema de Bolzano

(El documento original no proporciona detalles sobre el Teorema de Bolzano, pero se asume su relevancia por el contexto).

Si una función continua f(x) tiene valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo [a,b], entonces existe al menos un punto c dentro del intervalo (a,b) tal que f(... Continuar leyendo "Teoremas y Métodos Numéricos: Rolle, Bolzano, LU, Cholesky, Lagrange, Vandermonde, Newton, Chebyshev, Splines y Cuadratura" »

Clasificación de Variables en Investigación

Las variables pueden ser clasificadas según diferentes criterios, entre ellos el nivel de medición y el rol que ocupan en la investigación.

Según el Nivel de Medición

Una cuestión fundamental a considerar antes de proceder a un análisis es el nivel de medición de las variables. Este nivel determina tanto el tipo de operaciones matemáticas que pueden realizarse (suma, resta, multiplicación, división, etc.) como las técnicas estadísticas adecuadas para la prueba de hipótesis.

• Nominal: Clasificar
• Ordinal: Clasificar y Ordenar
• De Intervalo: Sumar, Restar, Dividir, Multiplicar
• De Razón: Idem (Igual que de intervalo, pero con cero absoluto)

Tipos de Variables según su Nivel de Medición

A continuación,... Continuar leyendo "Clasificación y Tipos de Variables Esenciales en Investigación Científica" »

Sesión 5 - TANTO POR CIENTO

Es el número de partes que se toman de una cantidad la cual ha sido dividida en 100 partes iguales. Su representación es mediante el símbolo %.

Equivalencias del tanto por ciento

Porcentaje

Es el resultado de aplicar un tanto por ciento a una cantidad.

Ejemplo: Calcule el 30% de 240

Ejemplo: Exprese la fracción como un tanto por ciento.

Ejemplo: En una reuníón con los padres de familia de 10mo grado del colegio, asistieron 32 varones y 48 mujeres. Se desea conocer: A) ¿Qué tanto por ciento del total son varones? B) ¿Qué tanto por ciento de los varones, representan las mujeres?

Operaciones con porcentajes

Se realizan cuando los tantos por ciento están aplicadas a una misma cantidad.

• • Adición:
  • Sustracción:

• • Multiplicación:

Cuentas Contables: Registro de Operaciones Financieras

Letra de Cambio

• 30000€(213)6300€(472) -15/07x0- 36300€(175) / 495,13€(662) -31/12/x0- 495,13€(175) CALCULAR i/cn/I  /  1103,85€(662) -31/12/x1- 1103,85€(175) CALCULAR cn/I  /  1136,96€(662) -31/12/x2- 1136,96€(175) CALCULAR cn/I  /  39035,94€(175) -31/12/x2- 39035,94€(525) / 48,11€(662) -15/01/x3- 48,11€(525) CALCULAR cn/I  /  39084,05€(525) -15/01/x3- 39084,05(572)

Efectos Comerciales

• 6562,80€(600)1378,19€(472) -15/11/x0- 7940,99€(400) / 67,44€(662) -31/12/x0- 67,44€(400) CALCULAR i/cn/I  /  22,61€(662) -15/01/x1- 22,61€(400) CALCLAR cn/I  /  8031,04€(400) -15/01/x1- 8031,04€(572)
• 9487,42€(4311) -15/12/x0- 9487,42€(4310) / 105€(

Variables didàctiques de les situacions additives concretes

• Significat dels nombres: cardinal, ordinal o mesura.
• Grandària dels termes i del resultat de l'operació: de 0 a 10, de 10 a 20, de 20 a 50, de 50 a 100, de 100.000 a 1.000.000 i d'1.000.000 endavant.
• Estructura lògica de la situació:
  • Combinar (part/tot).
  • Canvi (inicial / canvi / final).
  • Comparar (referència / comparada / diferència).
  • Igualar (referència / comparada / diferència).
• Posició de la incògnita: inicial, mitjana o final.
• Sentit del terme mitjà: creixent o decreixent (no existeix en els problemes de combinació).
• Possibilitat de recompte dels termes: amb possibilitat de recompte dels dos termes o només d'un.
• Grau de contextualització:
  • Situació referent a materials o objectes

Poligonación en Topografía

Este método se realiza cuando no se pueden radiar todos los puntos de un levantamiento desde una misma estación. Esto se hace mediante la medición de distancias y del ángulo que forman las visuales a los puntos anterior y posterior.

La precisión establecida de antemano determina los errores admisibles, el instrumental y la metodología a emplear. El instrumental, método y geometría de la poligonal determinan el error de cierre (Ec). Si Ec es menor que la tolerancia (T), hay compensación.

Clasificación de Poligonales

Las poligonales se clasifican según:

• Puntos de partida y llegada: Cerrada, Abierta, Encerrada (o encuadrada), Colgada.
• Observación: Orientada, No orientada.

Observación de una Poligonal

En la actualidad,... Continuar leyendo "Poligonación en Topografía: Método, Errores y Compensación de Levantamientos" »

El Variograma y su Aplicación en la Estimación de Recursos Minerales

El Variograma es una herramienta utilizada para la estimación de recursos minerales. En cambio, el Variograma Experimental es una herramienta más robusta que sirve para el análisis de la variabilidad y la correlación espacial.

Factores que Afectan la Inferencia en el Modelamiento de Variogramas

La inferencia en el modelamiento de variogramas se ve afectada por:

• Densidad de los datos
• Diferentes tipos de datos
• Outliers, tendencias y alta variabilidad relativa
• Clustering de altas leyes que afectan distancias cortas
• Efecto pepita (precisión en la determinación)
• Diferentes patrones de anisotropía a corta y larga escala

Relación de Kriging

Si se tiene un modelo de bloques en el cual... Continuar leyendo "Variograma y Kriging: Herramientas Esenciales en la Estimación de Recursos Minerales" »