Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Introducción

En una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, existe una familia uniparamétrica de funciones que son solución. Para imponer las condiciones de contorno, estas deben satisfacer la solución de la ecuación diferencial.

Resolución Débil

1. Establecer una familia paramétrica de funciones candidatas que aproximen la solución. Su aplicación en la forma fuerte de la ecuación diferencial no verifica la identidad de la ecuación y crea un residuo.
2. Sustituir la familia de funciones candidatas en la forma débil del problema.
3. Escoger funciones de peso (w(x)) concretas para introducir en la forma débil. Se utilizan tantas w(x) como parámetros haya en la fórmula de posibles soluciones.

Alternativas

• Aplicar las condiciones de contorno

Cuerpos Geométricos: Fórmulas de Área y Volumen

1. El Ortoedro

Representación de un ortoedro.

• Área Lateral (A_L): 2ac + 2bc
• Área Total (A_T): 2ac + 2bc + 2ab
• Volumen (V): a · b · c

2. El Cubo

Representación de un cubo.

• Área Total (A_T): 6 · a²
• Volumen (V): a³

3. El Prisma

Representación de un prisma.

• Área Lateral (A_L): Producto del perímetro de la base (p) por la altura (h).
  Fórmula: A_L = p · h
• Área Total (A_T): Área lateral más el área de las dos bases.
  Fórmula: A_T = A_L + 2 · Área de la base (A_b)
• Volumen (V): Área de la base (A_b) por su altura (h).
  Fórmula: V = A_b · h

4. La Pirámide

Representación de una pirámide.

• Área Lateral (A_L): Producto del perímetro de la base (p) por la apotema de la pirámide (a_p), dividido por dos.

Adolphe Quetelet: Padre de la Estadística Moderna

Adolphe Quetelet es considerado el padre de la estadística moderna.

Tipos de Datos en Estadística

Clasificación según el número de variables

• Univariados: Se mide solo una variable en una sola unidad experimental.
• Bivariados: Se miden dos variables en una sola unidad experimental.
• Multivariados: Se miden más de dos variables en una sola unidad experimental.

Clasificación según la agrupación

• Agrupados: Cantidad dada de datos que puede clasificarse, ya sea por sus cualidades cualitativas o cuantitativas, y por tal agruparse para su análisis. Estos datos por lo general son aconsejable agruparles cuando su población cuenta con alrededor de 20 o más elementos que comparten una característica

Ecuaciones e Inecuaciones

Discusión de Sistemas de Ecuaciones

Según el número de soluciones, un sistema de ecuaciones se clasifica en:

• Sistema Compatible Determinado (SCD): tiene una única solución.
• Sistema Incompatible (SI): no tiene solución.
• Sistema Compatible Indeterminado (SCI): tiene infinitas soluciones.

Tipos de Sistemas y Métodos de Resolución

• Sistemas Lineales 2x2: Se pueden resolver por los métodos de sustitución, igualación y reducción.
• Sistemas Lineales 3x3: Se resuelven habitualmente utilizando el método de Gauss.

Sistemas de Inecuaciones

Para resolver un sistema de inecuaciones, es fundamental estudiar el signo de las expresiones, a menudo utilizando una tabla de signos para determinar los intervalos de solución.

Semejanza

Figuras

Conceptos Fundamentales en Modelos de Regresión

1. Variables Dummy y Cambio Estructural

Las variables dummy permiten determinar la presencia de cambio estructural en una función de regresión a través de la pendiente de la variable explicativa de una regresión.

R: Verdadero. Las variables dummy permiten verificar cambios estructurales, ya sea en la pendiente y/o en el intercepto de una regresión. Por ejemplo, en el modelo:

Y = β₁ + β₂X + β₃D₁ + β₄D₁X

Donde D₁ es la variable dummy. Cabe señalar que se deben evaluar los tests t en la estimación para determinar la significancia de β₃ y β₄, y así identificar dónde se produce el cambio estructural.

2. Supuesto de Normalidad y Estimadores MICO

Cuando se incorpora el supuesto

De una población N(µ,2) se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 40, siendo la suma de los valores obtenidos en la muestra 84. Se realiza un contraste con las siguientes hipótesis H₀: µ≤3 H₁: µ>3. Calcule el p-valor del contraste:

1. A)-0,2316.
2. B)1,3264.
3. C) No se puede calcular porque faltan datos en el enunciado.
4. D) Ninguna es correcta.

Sabiendo que la varianza de una población normal es 6, se pide el intervalo de confianza para la media. En una m.a.s. de tamaño 100 la suma de todos los valores obtenidos ha sido 1.435. El nivel de confianza es del 99%.

1. A)(12,805 ; 15,895),
2. B)(12,954 ; 15,746),
3. C)(13,719 ; 14,981),
4. D) Ninguna es correcta.

Elija la afirmación correcta sobre un estimador insesgado de un parámetro poblacional en m.a.... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Inferencia Estadística con Muestreo Aleatorio Simple" »

Ángulos entre rectas

Rectas paralelas cortadas por una secante:

Rectas cortadas por una transversal crean ocho ángulos. Opuestos pero forman ocho ángulos.

Ángulos según el lugar que reciben

• Interiores o internos.
• Exteriores o externos.

Ángulos correspondientes

Ángulos correspondientes: se encuentran en el mismo lado de la secante. Son iguales entre sí.

Ángulos alternos

Alternos internos: Se encuentran en distinto lado de la recta secante y en el interior de las rectas paralelas. b y d', c y a' son iguales entre sí.

Alternos externos: Son los que se encuentran en distinto lado de la recta secante y en el exterior de las rectas paralelas. a y c', d y b' son iguales entre sí.

Rectas notables en triángulos

Rectas notables: TRIÁNGULOS

• Mediatrices:

Decimales y Fracciones: Conceptos Fundamentales

Grandes Ideas

1. El sistema de valor posicional en base diez se extiende infinitamente en ambas direcciones.
2. La coma decimal es una convención que indica la posición de la unidad.
3. Las fracciones decimales son otra forma de escribir las fracciones.
4. Los porcentajes son otra forma de escribir las fracciones y los decimales.
5. La suma y la resta con decimales se basan en las ideas fundamentales de la suma y resta de números, considerando el valor posicional.
6. La multiplicación y división de dos números producen los mismos dígitos, independientemente de la posición de la coma.

Conexión entre Fracciones y Decimales

Los símbolos 3,75 y 3 ¾ representan la misma cantidad, pero parecen diferentes. Para los... Continuar leyendo "Explorando la Relación entre Decimales y Fracciones: Conceptos Clave" »

Propiedades de la Suma y la Multiplicación

• Propiedad Conmutativa: A + B = B + A // A * B = B * A
• Propiedad Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C // A * (B * C) = (A * B) * C
• Neutro: A + 0 = A // A * 1 = A
• Inverso: A - A = 0 // A * (1/A) = 1

Relación de Igualdad y Desigualdad

• Relación "Es igual a"
  • Reflexiva: A = A
  • Simétrica: A = B -> B = A
  • Transitiva: A = B, B = C -> A = C
• Relación "Es menor que"
  • Irreflexiva: A < A (No es cierto)
  • Antisimétrica: A < B -> B > A
  • Transitiva: A < B y B < C -> A < C

Inecuación Cuadrática

Pasos para resolver una inecuación cuadrática:

1. Báscara (Fórmula cuadrática)
2. Crear intervalos: (-∞; n), (n; n), (n; ∞)
3. Probar la desigualdad en cada intervalo

Paridad de Funciones

• Función Par: f(x) = f(-

Fundamentos de Geometría: Teoremas de Semejanza y Elementos del Círculo

Teoremas Clave sobre la Proporcionalidad y Semejanza de Triángulos (Capítulo 9)

Proporcionalidad de Lados

• Teorema 9.6: Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a estos proporcionalmente.
• Teorema 9.7 (Recíproco): Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.

Criterios de Semejanza

• Postulado de la Semejanza AAA: Si tres ángulos de un triángulo son congruentes con los tres ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.
• Teorema 9.8 (Teorema de la Semejanza AA): Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con