Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Fórmulas Fundamentales de Cálculo y Trigonometría

Identidades Trigonométricas

Relaciones Recíprocas y de Cociente

• sen(x) = 1/cosec(x)
• cosec(x) = 1/sen(x)
• cos(x) = 1/sec(x)
• sec(x) = 1/cos(x)
• tg(x) = 1/cotg(x)
• cotg(x) = 1/tg(x)
• tg(x) = sen(x)/cos(x) = sec(x)/cosec(x)
• cotg(x) = cos(x)/sen(x)

Identidades Pitagóricas

• sen²(x) + cos²(x) = 1
• sec²(x) = tg²(x) + 1
• cosec²(x) = cotg²(x) + 1

Otras Relaciones y Expresiones

• sen(x) = cos(x)/cotg(x) = tg(x)/sec(x)
• cos(x) = sen(x)/tg(x) = cotg(x)/cosec(x)
• cosec(x) = cotg(x)/cos(x)
• sec(x) = cosec(x)/cotg(x)
• sec²(x) = sec(x)/cos(x)
• cosec²(x) = cosec(x)/sen(x)
• cotg²(x) = cotg(x)/tg(x)
• sen²(x) = sen(x)/cosec(x)
• cos²(x) = cos(x)/sec(x)
• tg²(x) = tg(x)/cotg(x)

Tabla de Integrales Inmediatas (Antiderivadas)

Nota: Todas las integrales

Ejercicios de Implementación de Algoritmos Fundamentales

A continuación, se presentan las correcciones y optimizaciones de varios fragmentos de código, enfocados en la implementación de series matemáticas y otras operaciones básicas en programación.

Series y Sumatorias

Ejercicio 7: Suma de los primeros $n$ enteros positivos

Programa que calcula el valor de la serie: $1 + 2 + 3 + \dots + n$.

int n, suma = 0;
cout << "Digite el total de números a sumar: "; 
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    suma += i; 
}
// cout << "La suma es: " << suma << endl; // Opcional: mostrar el resultado
system("pause");

Ejercicio 8: Suma de los primeros $n$ números impares

Programa que calcula el valor de la serie: $1... Continuar leyendo "Implementación de Algoritmos Fundamentales en C++: Sumatorias y Factorización" »

Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva

Percentil 5: Es el valor que deja por debajo al 5% de las observaciones. (En el contexto original, se refiere al valor que deja al 5% de los alumnos aprobados).

Representación de Datos

Variables Cualitativas

• Gráfico de sectores.
• Tabla de Frecuencias (Fr).
• Moda.
• Diagrama de barras (si la variable es ordinal).
• Uso de porcentajes (%) para comparar.

Variables Cuantitativas

• Histogramas (usados en aproximadamente el 90% de los casos).
• Diagrama de caja y bigotes.
• Polígono de Frecuencias (Fr).

Medidas de Variabilidad y Dispersión

Error Total:

Suma de Errores al Cuadrado: Es la suma de errores elevada al cuadrado.

Varianza Muestral (S²): Compara una variable en distintos grupos e indica cuál presenta mayor... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de Estadística: Conceptos Clave, Variabilidad y Tests de Hipótesis" »

1.A

fich=fopen('dat1.txt','w');
v=rand(1,100)*10-5;
for i=1:100
fprintf(fich,'%5.2f \n',v(i));
fprintf('%5.2f \n',v(i))
end
fclose(fich);

1.B

fich=fopen('dat1.txt','r');
n=input('Introduce un número par comprendido entre 1 y 100: ');
while(rem(n,2)~=0 | n<1 | n>100)
n=input('ERROR. Introduce un número par comprendido entre 1 y 100: ');
end
for i=1:100-n
fgets(fich);
end
v=fscanf(fich,'%f',[1,inf]);
m=n/2+1;
A=zeros(m,n/2);
A(1,:)=v(1:n/2);
A(2:m,n/2)=v(m:n);
disp(A)
fclose(fich);

2.A

fich=fopen('dat2.txt','w');
n=fix(rand*100+100);
v=zeros(1,2*n);
v(1:2:2*n-1)=rand(1,n)*40-20;
v(2:2:2*n)=fix(rand(1,n)*20-10);
for i=1:2*n/4
fprintf(fich,'%10.6f %5d %10.6f %5d \n',v(4*i-3:4*i));
fprintf('%10.6f %5d %10.6f %5d \n',v(4*i-3:4*i));
end
fclose(

¿Qué características debe tener un sistema de ecuaciones para que sea inconsistente? Justifique gráficamente.

Respuesta: Un sistema de dos ecuaciones lineales es inconsistente cuando las rectas correspondientes son paralelas y distintas. Gráficamente, esto significa que las rectas tienen la misma pendiente pero distinto término independiente, por lo que no se intersecan y no existe ningún punto común (no hay solución).

Justifique por qué se puede decir en los números reales que solo existe la suma

Respuesta: En los números reales la operación básica es la adición. La resta no es una operación primitiva independiente: restar es lo mismo que sumar el inverso aditivo (por ejemplo, a - b = a + (−b)). Por eso se puede decir que, desde... Continuar leyendo "Sistemas de ecuaciones, matrices y operaciones clave en Álgebra Lineal" »

Variable estadística: característica o propietat que s'estudia de la població.

Tipus de variables i valors

Valors de la variable (X_i): cada una de les diferents respostes que es poden donar a l'enquesta. Formen el conjunt de dades.

Classificació de les variables:

• Quantitatives: n'hi ha de dos tipus:
  • Discreta: (ex. nombre de germans).
  • Contínua: (ex. alçada, pes, hora d'anar a dormir).
• Qualitatives: n'hi ha de dos tipus:
  • Nominal: (ex. marca de mobiliari, equip de futbol preferit...).
  • Ordinal: es poden ordenar (ex. notes, mesos de l'any...).

Freqüències

• Freqüència absoluta (n_i): nombre de vegades que es repeteix aquest valor.
• Freqüència absoluta acumulada (N_i): suma de les freqüències absolutes de tots els valors inferiors o iguals al valor

Progresiones Geométricas (PG)

Cálculo de Términos y Suma

Problema: El cuarto término ($a_4$) de una progresión geométrica es 27 veces el primer término ($a_1$). Si la suma de los primeros cuatro términos ($S_4$) es 360° (asumiendo que representan los ángulos de un cuadrilátero), determine el primer término.

Datos y Fórmulas

• Relación: $a_4 = 27 \cdot a_1$
• Fórmula del término general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
• Fórmula de la suma: $S_n = \frac{a_n \cdot r - a_1}{r-1}$

Desarrollo

1. Cálculo de la razón ($r$):

$$a_4 = a_1 \cdot r^{4-1} \implies 27 a_1 = a_1 \cdot r^3$$

$$27 = r^3 \implies \mathbf{r = 3}$$

2. Cálculo del primer término ($a_1$) usando la suma $S_4 = 360$:

$$S_4 = \frac{a_4 \cdot r - a_1}{r-1} \implies 360 = \frac{(27 a_1)... Continuar leyendo "Métodos de Resolución: Progresiones Aritméticas, Geométricas y Ecuaciones Exponenciales" »

Las matrices son agrupaciones de números que están determinados por filas y columnas de números reales. Nos permiten ubicar el valor que necesitamos conocer. Las filas se organizan horizontalmente y las columnas verticalmente.

Dimensión de Matrices

La dimensión de una matriz está determinada por el número de filas y columnas que posee.

Tipos de Matrices

• Matriz Vector: Es aquella que tiene una sola fila o una sola columna.
• Matriz Cuadrada: El número de filas es igual al de columnas.
• Matriz Rectangular: El número de filas no es igual al de columnas.
• Matriz Nula: Todos sus elementos son cero.
• Matriz Triangular: Los elementos que forman un triángulo son cero y pueden ser superior o inferior, formando una matriz cuadrada.
• Matriz Simétrica: Los

Propiedades de la Transformada de Laplace

Definición 6.2.1. Función de Tipo Exponencial

Sea f una función continua por secciones en el intervalo [0, ∞). Se dice que f es de tipo exponencial si existen constantes positivas a, b y t₀ tales que |f(t)| ≤ be^at para todo t ≥ t₀.

Notemos que si existe una constante a tal que el límite lim_t→∞ f(t)/e^at existe y es finito, entonces f es una función de tipo exponencial. En efecto, sea:

L = lim_t→∞ f(t)/e^at

Por la definición de límite se deduce la existencia de un número t₀ > 0 tal que si t ≥ t₀, entonces:

|f(t)/e^at − L|

o equivalentemente,

|f(t)| L| + 1)e^at

y la condición se cumple tomando b = |L| + 1.

Como consecuencia inmediata de este criterio, vemos que las funciones consideradas... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales y Convergencia de la Transformada de Laplace" »

Definición

Un resumen de datos individuales que pueden ser tabulados en una tabla de precisión. Los datos son parte de una muestra representativa de algún trabajo de investigación.

Población

Es el conjunto de todos los elementos que cumplen ciertas propiedades entre los cuales se desea estudiar un determinado fenómeno. Es sinónimo de universo.

Clasificación de las Poblaciones

Población Finita

Se conoce el número exacto de todos los elementos que comprenden el conjunto.

Población Infinita

No se puede conocer el número total de elementos que componen un conjunto, también llamado conjunto universo.

Muestra

Cualquier subconjunto no vacío de una población. Corresponde a la población en estudio.

Variable

Una característica o propiedad asociada... Continuar leyendo "Resumen de datos y Tablas de frecuencia" »