Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Fundamentos de Geometría Analítica: Las Cónicas

Circunferencia

Lugar geométrico de los puntos (ptos) de un plano que están a la misma distancia de su punto llamado centro. Esa distancia es el radio.

Elipse

Lugar geométrico tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante igual a 2a (eje mayor).

Hipérbola

Lugar geométrico tal que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos llamados focos sea una constante e igual a 2b (eje real).

Parábola

Lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Conceptos Clave de Álgebra Lineal

Matriz

Es un cuadro con números reales o complejos, ordenados en filas y columnas. Se las designa con... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Álgebra Lineal y Geometría: Cónicas, Matrices y Teoremas" »

Funciones y Límites

f(x) = 5x - 13 si x <= -2 y x^2 + 2x - 13 si -2 < x < 7 y V7 + 12 si x >= 7

lim_x->-2 5*-x - 13 = -23 // lim_x->7 7^2 + 2*7 - 13 = 50 //

lim_x->-2 -2^2 + 2x - 13 = -21 // lim_x->7 V7 - 7 + 12 = 12 //

No existe continuidad en -2 / No existe continuidad en 7

Recta Tangente y Normal

y = x^3 - 2x^2 + 4 (x=2, y=4) Ecuación de la recta: y - y₁ = M*(x - x₁)

1) Recta tangente

y' = x^3 - 2x^2 + 4 = 3x^2 - 4x Ahora reemplaza x:

= 3*2^2 - 4*2 = 4 mt //

2) Recta normal m_n = -1/m_t => -1/4

y - y₁ = m*(x - x₁) => y - 4 = -1/4 (x - 2) =>

y = -1/4x + 1/2 + 4 => y = -1/4x + 9/2 //

3) y - y₁ = M*(x - x₁)

y - 4 = 4*(x - 2) => y = 4x - 8 + 4 => y = 4x - 4

Puntos Críticos y de Inflexión

y = 2x^4 - x^3 - 9x^2 - 4x +... Continuar leyendo "Análisis de Funciones y Cálculo de Volúmenes en Matemáticas" »

Teoría de Conjuntos

Cardinalidad: Es la que indica el número o la cantidad de elementos; su símbolo es “N”.

Conjunto vacío: Es el que no tiene elementos y se denota o se escribe mediante llaves vacías { }.

Conjunto finito: Son los que tienen un número de elementos conocidos y, por ende, se pueden contabilizar.

Conjunto infinito: Es cuando posee una cantidad ilimitada de elementos y, por ende, son difíciles de contabilizar.

Conjunto universo: Es el conjunto de todos los elementos considerados en un problema o situación.

Probabilidad y Técnicas de Conteo

Probabilidad: Es el cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla.

Permutación: Es un modo en el que se pueden representar conteos y objetos en donde el... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística Matemática" »

Productos Vectoriales y sus Aplicaciones Geométricas

Producto Escalar

El Producto Escalar se define como: A · B = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃.

Una propiedad fundamental es la condición de perpendicularidad: A ⊥ B ⇔ A · B = 0 (ángulo de 90º).

Producto Vectorial

El Producto Vectorial se calcula mediante el determinante de los vectores unitarios i, j, k y las componentes de los vectores A (a₁, a₂, a₃) y B (b₁, b₂, b₃):

A x B = C, donde el resultado es un vector C = (c₁, c₂, c₃) = c₁i + c₂j + c₃k.

• Propiedades: El vector resultante C es perpendicular a ambos vectores originales: C ⊥ B y C ⊥ A.
• Interpretación Geométrica: El módulo |C| = √(c₁² + c₂² + c₃²) representa el Área del Paralelogramo formado

Parte 1. Modelos de Probabilidad Lineal (MPL) y No Lineal (Probit y Logit)

a) Diferencias y Limitaciones

Discuta las principales diferencias entre los modelos de probabilidad lineal (MPL) y no lineal (Probit y Logit). ¿Qué limitaciones presenta el modelo MPL y qué ventajas presentan los modelos Probit y Logit?

Limitaciones del Modelo de Probabilidad Lineal (MPL)

El MPL, aunque simple y fácil de interpretar, presenta serias limitaciones cuando la variable dependiente es binaria (0 o 1):

• Predicciones fuera de rango: El MPL predice probabilidades que pueden ser menores que cero o mayores que uno. Esto es inconsistente con la definición de probabilidad.
• Heteroscedasticidad: El error del MPL es inherentemente heteroscedástico, lo que invalida los

Datos Iniciales y Parámetros de Elasticidad

A continuación, se presentan los datos clave para la determinación de las funciones de demanda y oferta, asumiendo un punto de equilibrio inicial de Q = 25.000 piezas y P = $300.

1. Elasticidad Precio de la Demanda del Mercado Local de Sushi:

   E_d = -0.6 (Demanda inelástica).

2. Elasticidad Precio de la Oferta del Mercado Local de Sushi:

   E_o = +0.75 (Oferta inelástica).

3. Efecto de la Menor Producción de la Gran Empresa Extranjera (Pizzas):

   El precio de las pizzas aumentará un 20% debido a la disminución de la oferta.

4. Elasticidad Precio Cruzada de la Demanda de Sushi con Respecto al Precio de las Pizzas:

   E_c = +1.7 (Indica que el sushi y la pizza son bienes sustitutos).

5. Datos de Producción Individual de la Empresa:

Definición de Matriz

Una matriz es un cuadro rectangular de números formado por m filas y n columnas. Los números que componen el cuadro son llamados elementos de la matriz.

Tipos de Matrices

a) Atendiendo a su forma

• Matriz fila: Es aquella que tiene una sola fila. También es llamada vector fila, ya que representa vectores.
• Matriz columna: Es aquella que tiene una sola columna, la cual recibe el nombre de vector columna.
• Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas.
• Matriz transpuesta: Es aquella que resulta de intercambiar las filas por las columnas de una matriz original.

b) Atendiendo a sus elementos

• Matriz nula: Es aquella en la cual todos sus elementos son cero. Se representa por 0 y también se le llama matriz

Hipótesis

No error de especificación ni de medida

• No error de especificación ni de medida:

Perturbación = ruido blanco

Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Variables Aleatorias

Definición de Probabilidad

La probabilidad se ocupa del estudio de los fenómenos aleatorios y su objeto es la modelización matemática de estos fenómenos.

Propiedades:

• 1. [Propiedad no especificada en el original, pero se mantiene la numeración.]

Función de Distribución de Variable Aleatoria (V.A.)

Calcula las probabilidades de que la variable aleatoria tome valores en determinados subconjuntos.

Propiedades:

1. $F_X(-\infty)=0$ y $F_X(\infty)=1$.
2. $F_X(\cdot)$ es una función no decreciente.
3. $F_X(\cdot)$ es una función continua por la derecha.

Asignación de Probabilidades

Diferentes enfoques para la asignación de probabilidades:

• Espacio Muestral Discreto: $P(A) = \sum P(x)$. [Fórmula

Medidas de dispersión

Medidas absolutas: rango / RIQ (rango intercuartílico) / varianza / desviación estándar.

Medidas relativas: coeficiente de variación / puntuaciones típicas (Z).

Medidas de forma

Asimetría / Curtosis

Interpretación general

• Más homogéneo: más representativo, menos disperso, menos variable, menor rango intercuartílico, menor variabilidad, menor desviación estándar.
• Más heterogéneo: menos representativo, más disperso, más variable, mayor rango intercuartílico, mayor variabilidad, mayor desviación estándar.

Rango

R = Max – Min

Interpretación: Pepe es más heterogéneo con respecto a sus… porque su rango es mayor.

Rango intercuartílico (RIQ)

50% central

RIQ = Q3 – Q1

Más homogéneo = menor rango (datos menos... Continuar leyendo "Medidas de dispersión y forma: rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación" »