Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Conceptos Fundamentales del Límite de una Función

El concepto de límite es esencial en el cálculo y se puede definir de varias maneras, cada una aportando una perspectiva diferente:

1. Definición Intuitiva

   lim f(x) = L cuando x→a. Esto significa que f(x) se aproxima al número L tanto como se desee cuando x se aproxima lo suficiente al valor 'a' (con x ≠ a).

2. Definición Basada en Distancia

   lim f(x) = L cuando x→a. Esto implica que la distancia d(f(x), L) es tan pequeña como se quiera, siempre que d(f(x), L) > 0 sea suficientemente pequeña.

3. Definición Epsilon-Delta (Formal Simplificada)

   lim f(x) = L cuando x→a. Para cualquier ξ > 0 (épsilon, una cantidad pequeña), la distancia d(f(x), L) < ξ, siempre que la distancia d(x,

Plano que contiene a r y es paralelo a s:

Como tienes r, R es un punto de π y dr un vector paralelo a π. Como s es paralelo, ds es // a π. Calculamos el plano con eso.

Plano paralelo y equidistante a r y s:

Como es paralelo a ambos, su vector normal es dr x ds → 4x - 2y + z + d = 0. Para sacar d, calculo dist(R, π) que es la mitad de dist(r, s); como la d está en valor absoluto, hay 2 resultados. Para saber cuál es, calculo dist(S, π). Tendrán que tener la misma d.

Recta que pasa por P y corta a r y s:

Hago un plano que pasa por P y corta a r y s, al cortarlos significa que también los contiene. Hago el plano con P, dr y ds, también me valen PR y PS. Hallo la intersección entre la recta r y el plano, el punto de intersección, llamado... Continuar leyendo "Resolución de Problemas Geométricos: Planos, Rectas y Distancias" »

Fundamentos y Conceptos Básicos de Estadística

Afirmaciones Clave (Verdadero o Falso)

• El **error estándar** es un modo frecuente de denominar la **desviación estándar** de una distribución. (Respuesta: **Verdadero**)
• Cuanto mayor sea la muestra, mayor será el error de muestreo. (Respuesta: **Verdadero**)
• Una **muestra** es una selección de los datos que necesito y no es proporcional al tamaño de la población. (Respuesta: **Verdadero**)
• El principal inconveniente de la **mediana** es que se ve muy afectada por los extremos. (Respuesta: **Falso**)
• La **media** es sensible a los valores extremos ya que solo le influyen los valores centrales. (Respuesta: **Falso**)
• En el cálculo de la **moda** no intervienen todos los valores de la distribución.

Fundamentos de Geometría Analítica: Las Cónicas

Circunferencia

Lugar geométrico de los puntos (ptos) de un plano que están a la misma distancia de su punto llamado centro. Esa distancia es el radio.

Elipse

Lugar geométrico tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante igual a 2a (eje mayor).

Hipérbola

Lugar geométrico tal que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos llamados focos sea una constante e igual a 2b (eje real).

Parábola

Lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Conceptos Clave de Álgebra Lineal

Matriz

Es un cuadro con números reales o complejos, ordenados en filas y columnas. Se las designa con... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Álgebra Lineal y Geometría: Cónicas, Matrices y Teoremas" »

Funciones y Límites

f(x) = 5x - 13 si x <= -2 y x^2 + 2x - 13 si -2 < x < 7 y V7 + 12 si x >= 7

lim_x->-2 5*-x - 13 = -23 // lim_x->7 7^2 + 2*7 - 13 = 50 //

lim_x->-2 -2^2 + 2x - 13 = -21 // lim_x->7 V7 - 7 + 12 = 12 //

No existe continuidad en -2 / No existe continuidad en 7

Recta Tangente y Normal

y = x^3 - 2x^2 + 4 (x=2, y=4) Ecuación de la recta: y - y₁ = M*(x - x₁)

1) Recta tangente

y' = x^3 - 2x^2 + 4 = 3x^2 - 4x Ahora reemplaza x:

= 3*2^2 - 4*2 = 4 mt //

2) Recta normal m_n = -1/m_t => -1/4

y - y₁ = m*(x - x₁) => y - 4 = -1/4 (x - 2) =>

y = -1/4x + 1/2 + 4 => y = -1/4x + 9/2 //

3) y - y₁ = M*(x - x₁)

y - 4 = 4*(x - 2) => y = 4x - 8 + 4 => y = 4x - 4

Puntos Críticos y de Inflexión

y = 2x^4 - x^3 - 9x^2 - 4x +... Continuar leyendo "Análisis de Funciones y Cálculo de Volúmenes en Matemáticas" »

Teoría de Conjuntos

Cardinalidad: Es la que indica el número o la cantidad de elementos; su símbolo es “N”.

Conjunto vacío: Es el que no tiene elementos y se denota o se escribe mediante llaves vacías { }.

Conjunto finito: Son los que tienen un número de elementos conocidos y, por ende, se pueden contabilizar.

Conjunto infinito: Es cuando posee una cantidad ilimitada de elementos y, por ende, son difíciles de contabilizar.

Conjunto universo: Es el conjunto de todos los elementos considerados en un problema o situación.

Probabilidad y Técnicas de Conteo

Probabilidad: Es el cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla.

Permutación: Es un modo en el que se pueden representar conteos y objetos en donde el... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística Matemática" »

Productos Vectoriales y sus Aplicaciones Geométricas

Producto Escalar

El Producto Escalar se define como: A · B = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃.

Una propiedad fundamental es la condición de perpendicularidad: A ⊥ B ⇔ A · B = 0 (ángulo de 90º).

Producto Vectorial

El Producto Vectorial se calcula mediante el determinante de los vectores unitarios i, j, k y las componentes de los vectores A (a₁, a₂, a₃) y B (b₁, b₂, b₃):

A x B = C, donde el resultado es un vector C = (c₁, c₂, c₃) = c₁i + c₂j + c₃k.

• Propiedades: El vector resultante C es perpendicular a ambos vectores originales: C ⊥ B y C ⊥ A.
• Interpretación Geométrica: El módulo |C| = √(c₁² + c₂² + c₃²) representa el Área del Paralelogramo formado

Parte 1. Modelos de Probabilidad Lineal (MPL) y No Lineal (Probit y Logit)

a) Diferencias y Limitaciones

Discuta las principales diferencias entre los modelos de probabilidad lineal (MPL) y no lineal (Probit y Logit). ¿Qué limitaciones presenta el modelo MPL y qué ventajas presentan los modelos Probit y Logit?

Limitaciones del Modelo de Probabilidad Lineal (MPL)

El MPL, aunque simple y fácil de interpretar, presenta serias limitaciones cuando la variable dependiente es binaria (0 o 1):

• Predicciones fuera de rango: El MPL predice probabilidades que pueden ser menores que cero o mayores que uno. Esto es inconsistente con la definición de probabilidad.
• Heteroscedasticidad: El error del MPL es inherentemente heteroscedástico, lo que invalida los

Datos Iniciales y Parámetros de Elasticidad

A continuación, se presentan los datos clave para la determinación de las funciones de demanda y oferta, asumiendo un punto de equilibrio inicial de Q = 25.000 piezas y P = $300.

1. Elasticidad Precio de la Demanda del Mercado Local de Sushi:

   E_d = -0.6 (Demanda inelástica).

2. Elasticidad Precio de la Oferta del Mercado Local de Sushi:

   E_o = +0.75 (Oferta inelástica).

3. Efecto de la Menor Producción de la Gran Empresa Extranjera (Pizzas):

   El precio de las pizzas aumentará un 20% debido a la disminución de la oferta.

4. Elasticidad Precio Cruzada de la Demanda de Sushi con Respecto al Precio de las Pizzas:

   E_c = +1.7 (Indica que el sushi y la pizza son bienes sustitutos).

5. Datos de Producción Individual de la Empresa:

Definición de Matriz

Una matriz es un cuadro rectangular de números formado por m filas y n columnas. Los números que componen el cuadro son llamados elementos de la matriz.

Tipos de Matrices

a) Atendiendo a su forma

• Matriz fila: Es aquella que tiene una sola fila. También es llamada vector fila, ya que representa vectores.
• Matriz columna: Es aquella que tiene una sola columna, la cual recibe el nombre de vector columna.
• Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas.
• Matriz transpuesta: Es aquella que resulta de intercambiar las filas por las columnas de una matriz original.

b) Atendiendo a sus elementos

• Matriz nula: Es aquella en la cual todos sus elementos son cero. Se representa por 0 y también se le llama matriz