Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

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Fundamentos Esenciales del Cálculo Diferencial e Integral: Definiciones y Teoremas Clave

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Límites

Se dice que la **función** $y=f(x)$ tiene **límite** y vale $L$ cuando $x$ tiende al valor $A$, si y solo si la diferencia entre la función y el límite, en su **valor absoluto** $|f(x) - L|$, se puede hacer tan pequeño como se quiera, con solo tomar valores de $x$ suficientemente próximos al valor $A$.

Infinitésimos

Se dice que una **función** $y=f(x)$ es un **infinitésimo** en $x=a$ si y solo si el límite de $f(x)$ cuando $x \to a$ es igual a $0$.

Derivadas

Dada una función $y=f(x)$, se llama **derivada primera** de la función, y se escribe $f'(x)$, al límite (si existe) del **cociente incremental** $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ cuando el incremento de la **variable independiente** ($\Delta x$) tiende a $0$.

Cociente Incremental

Es

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Compendio de Fórmulas y Métodos Esenciales de Álgebra y Geometría

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Escrito el en español con un tamaño de 5,54 KB

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Método Gráfico

  1. Despejamos la variable x o y en ambas ecuaciones.
  2. Se elabora una tabla de valores para cada ecuación.
  3. Dibujamos los puntos obtenidos y trazamos las rectas. La solución es el punto de corte.

Método de Sustitución

  1. Despejamos x o y en alguna ecuación.
  2. Sustituimos la expresión obtenida en el paso 1 en la otra ecuación.
  3. Resolvemos la ecuación obtenida en el punto anterior.
  4. Calculamos el valor de la otra variable sustituyendo el valor obtenido.

Método de Igualación

  1. Despejamos x o y en ambas ecuaciones.
  2. Igualamos las dos expresiones obtenidas.
  3. Resolvemos la ecuación resultante.
  4. Calculamos el valor de la otra variable sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones originales.

Método de Reducción

  1. Multiplicamos
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Conceptes Fonamentals d'Estadística Descriptiva

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Mesures de Tendència Central i Posició

Mediana: Representa el valor de la variable central en un conjunt de dades ordenades.

Mitjana: És la suma de tots els valors dividida pel nombre de valors del conjunt.

Coeficient de Correlació de Pearson

El Coeficient de Correlació de Pearson és una mesura de la relació lineal entre dues variables aleatòries quantitatives. A diferència de la covariància, la correlació és independent de l'escala de mesura de les variables. Si el resultat és positiu (+), la correlació és directa. Quan el coeficient de correlació està molt pròxim a 1, la correlació és molt forta. Es calcula com: Covariància / (desviació típica X * desviació típica Y).

Mesures de Dispersió i Variabilitat

El Rang i la Moda

El... Continuar leyendo "Conceptes Fonamentals d'Estadística Descriptiva" »

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Análisis Estadístico: Variables, Distribuciones y Muestreo

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Escrito el en español con un tamaño de 3,16 KB

Variable Estadística Bidimensional

En numerosas ocasiones, interesa estudiar simultáneamente dos o más caracteres de una misma población. En el caso de dos o más variables estudiadas conjuntamente, se habla de variable bidimensional (o multidimensional).

Diagrama de Dispersión

Es un tipo de diagrama que utiliza las coordenadas cartesianas para mostrar los valores de dos variables para un conjunto de datos. Los datos se muestran como un conjunto de puntos, cada uno con el valor de la variable que determina la posición en el eje horizontal y el valor de la otra variable determinado por la posición en el eje vertical. Un diagrama de dispersión se llama también gráfico de dispersión.

Distribución Exponencial

Es una distribución de probabilidad... Continuar leyendo "Análisis Estadístico: Variables, Distribuciones y Muestreo" »

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Cálculo de Continuidad, Derivadas y Rectas Tangentes en Funciones Definidas a Trozos

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Ejercicio 1: Análisis de Continuidad y Derivabilidad

Sea la función:

f(x) = x^2 - bx + 1 & \text{si } x < 2 \\ 2x + a & \text{si } x \geq 2

a) Estudio de la continuidad en x = 2

Para que la función sea continua en x = 2, los límites laterales deben ser iguales:

  • Límite por la izquierda: limx→2- (x2 - bx + 1) = 4 - 2b + 1 = 5 - 2b
  • Límite por la derecha: limx→2+ (2x + a) = 4 + a

Igualando los límites laterales: 5 - 2b = 4 + a => a + 2b = 1

Como la función tiene un mínimo en x = 1, la primera derivada en ese punto debe ser cero:

f'(x) = 2x - b (para x < 2)

f'(1) = 0 => 2(1) - b = 0 => b = 2

Sustituyendo en la ecuación anterior: a + 2(2) = 1 => a = -3

b) Cálculo de la recta tangente en x = -2

La función, con los

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Estadística Aplicada: Fiabilidad de Medidas y Regresión Lineal

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Evaluación de Medidas y Modelos de Regresión

1. Evaluación de la Fiabilidad y Concordancia de Medidas

La evaluación de la fiabilidad de medidas y la concordancia se refiere a la situación en la que comprobamos si existe acuerdo entre dos mediciones de un mismo evento, realizadas con dos instrumentos de medida diferentes. Es fundamental determinar el grado de reproducibilidad existente entre estas mediciones.

1.1. Índice Kappa

El Índice Kappa se utiliza para analizar la concordancia entre dos métodos de medición o dos mediciones diferentes de una variable nominal (Y). Permite ajustar el grado de concordancia al efecto que el azar ha tenido en los datos observados. Su valor oscila entre 0 y 1:

  • Si Kappa = 1: Concordancia perfecta.
  • Si Kappa
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Resumen de Conceptos Matemáticos: Funciones, Trigonometría y Geometría

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Funciones

Definición

Función: Relación entre dos magnitudes por la que a cada valor de una de ellas corresponde un valor determinado de la otra.

Dominio y Recorrido

Dominio: Conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente.

Recorrido: Conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente.

Continuidad y Discontinuidad

Continuidad: Una función es continua en los puntos de un intervalo si su gráfica no presenta saltos ni interrupciones en dicho intervalo.

Discontinuidad: Son los puntos donde la gráfica de una función presenta saltos o interrupciones.

Tasa de Variación (TV)

TV: La TV de una función f(x) en un intervalo [a, b] es el aumento o disminución que experimenta el valor de la función al pasar la variable... Continuar leyendo "Resumen de Conceptos Matemáticos: Funciones, Trigonometría y Geometría" »

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Conceptos Fundamentales de Estadística y Cálculo de Conicidad

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Estadística Descriptiva

  • Media: Se suman todos los diámetros y se divide el resultado entre el número total de diámetros.
  • Mediana: Se identifican los datos centrales; si son dos, se suman y se dividen entre 2.
  • Moda: Es el dato que más veces se repite en el conjunto de la muestra.
  • Recorrido de Rango: Se calcula restando el valor más pequeño al valor más grande.
  • Frecuencia: Es el número de veces que se repite un dato dividido entre el total de medidas y multiplicado por 100. Ejemplo: (4 / 12) * 100 = 33.33%.
  • Sigma o Desviación: A cada medida se le resta la media, el resultado se eleva al cuadrado y se multiplica por el número de veces que se repite. Después, se suman todos estos resultados, se dividen entre el número total de medidas menos
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Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Sucesos, Independencia y Extracciones

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Problema 1: Probabilidad de Sucesos A y B

Dados dos sucesos A y B, se sabe que P(A) = 0.5 y P(A∪B) = 0.8.

A) Probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos

La probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos se expresa como P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)). Dado que estos dos sucesos (A∩Bᶜ y B∩Aᶜ) son incompatibles, podemos escribir:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A∩Bᶜ) + P(B∩Aᶜ)

Sabemos que P(A∩Bᶜ) = P(A) - P(A∩B) y P(B∩Aᶜ) = P(B) - P(A∩B). Por lo tanto:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A) - P(A∩B) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B).

También se nos informa que P(Aᶜ∪Bᶜ) = 0.7. Por las leyes de De Morgan, sabemos que (Aᶜ∪Bᶜ) = (A∩B)ᶜ. Así, podemos determinar P(A∩B):

P((A∩B)ᶜ)... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Sucesos, Independencia y Extracciones" »

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Estudio de Funciones Mediante Derivadas: Monotonía, Curvatura, Extremos y Asíntotas

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Estudio de una Función a partir de su Derivada

Se conoce la función derivada de f: f'(x) = 3x2 - 8x + 5.

a) Monotonía y Extremos Relativos

Estudiamos el signo de la primera derivada f'(x) para determinar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento).

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos (posibles extremos relativos):

f'(x) = 0 ⇒ 3x2 - 8x + 5 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos: x = 1 y x = 5/3 ≈ 1.67.

Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:

  • Intervalo (-∞, 1): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 0. f'(0) = 3(0)2 - 8(0) + 5 = 5 > 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en (-∞, 1).
  • Intervalo (1, 5/3): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 1.
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