Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Bertsolaritza

Bertsolaritza

Bertsoa: kantatuz, errimatuz eta neurtuz burutzen den berbaldia.

• XVI. mendetik aurrera zenbait lekukoren arabera bertsolaritza egiten zela.
• Milia Lastus — lehenengo bertsolaritza aztarna.
• XVIII. mendetik aurrekoa ikusiko dugu.
• Ezaugarri garrantzitsuena: bapatekoitasuna.
• Zenbait mendeetan ez dira emakumeak agertuko, XX. menderarte.

XVIII. mende Aroak

Erromantizismo aurrea (1780-1839)

• Pernando Amezketarra / Izuelako Artzaia (bertsolariak).
• Bertsoak herriari esker gorde ziren (ez idatzita), belaunaldiz-belaunaldi transmisioa.
• Nekazari giroa zuten (baserria).
• Bertso desafioak antolatu ziren.

Erromantizismoa (1839-1876)

• Bi gerra karlistak.
• Aro hau "urrezko aro" bezala kontsideratzen da.
• Bilinge / Iparagirre (bertsolari garrantzitsuak)

Tipos de Matrices

Matriz triangular superior (inferior): es toda matriz que tiene nulos todos los elementos que están por debajo (por encima) de la diagonal principal.

Matriz diagonal: es toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal.

Matriz escalonada por filas: es aquella que tiene, al principio de cada fila no nula, al menos un cero más que la anterior.

Propiedades de las Matrices

Es importante señalar que:

• a) El elemento neutro de la suma en el conjunto de matrices M_nxm es la matriz nula, denotada O_nxm.
• b) El elemento neutro del producto en el conjunto de matrices cuadradas M_n es la matriz unidad I_n.
• c) El producto de matrices en M_n no verifica la propiedad conmutativa.

1. (A^t)^t = A para cualquier

Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial e Integral

Funciones: Inyectiva, Suprayectiva y Biyectiva

Una función f: A -> B es:

• Inyectiva: Si cualquier par de elementos distintos de A tiene imágenes distintas. Ejemplo: 2x + 1.
• Suprayectiva: Si el conjunto final (B) coincide con el conjunto imagen. Ejemplo: x³ + 3.
• Biyectiva: Si es inyectiva y suprayectiva a la vez. Ejemplo: 2x.

Cálculo Diferencial

Derivada de una función f(x)

Sea A ⊂ ℝ, f: A -> ℝ y a ∈ (a - δ, a + δ) ⊂ A para algún δ > 0. f es derivable en a si existe y es finito el límite:

lím h->0 [f(a + h) - f(a)] / h

A este límite se le llama derivada y se denota como f'(a). La ecuación de la recta tangente es: y = f(a) + f'(a)(x - a).

Continuidad de una función

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Álgebra

El valor absoluto de un número real *a*, se escribe |*a*|, es el mismo número *a* cuando es positivo o cero, y opuesto de *a*, si es negativo.

Se llama logaritmo de base *a* de un número *N*, al número real *x* al que hay que elevar la base para que nos dé el número *N*.

Propiedades de los logaritmos:

• P≠Q → log_a P≠ log_a Q
• log_a a=1
• log_a 1=0
• log_a(P·Q)=log_a P+log_a Q
• log_a(P:Q)=log_a P-log_a Q
• log_a Pⁿ=n· log_a P
• log_a ⁿ√P= log_a P^1/n= 1/n log_a P

Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio P(*x*) entre un polinomio de la forma (*x*-*a*) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: *x*=*a*.

Trigonometría

Teorema del seno: En un triángulo cualquiera se verifica que los lados... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Álgebra, Trigonometría y Vectores" »

POBLACIÓN - Conjunto de individuos, seres, objetos o elementos que son propósito de nuestro estudio.

TAMAÑO POBLACIÓN - Número de elementos en la población.

MUESTRA - Grupo reducido de la población que utilizaremos para el estudio. Los elementos deben ser elegidos de manera adecuada para que representen a toda la población.

TAMAÑO MUESTRAL - Número de elementos de la muestra.

VARIABLES - Características de la población que nos interesan para el estudio.

- NUMÉRICAS O CUANTITATIVAS -

• DISCRETAS (números enteros)
• CONTINUAS (cualquier intervalo, medida como 1.24)

- CATEGÓRICAS O CUALITATIVAS -

• ORDINALES (tienen un orden: alto, bajo, mediano)
• NOMINALES (no hay orden)

AMPLITUD INTERVALO - Diferencia entre los límites del intervalo.

xi= li-li-... Continuar leyendo "Estadística Descriptiva: Población, Muestra, Variables y Medidas de Tendencia Central" »

Estudio de una Función de Beneficio

El siguiente documento detalla el estudio de una función de beneficio, expresado en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa durante el año pasado. Se abordan aspectos de continuidad, derivabilidad y optimización.

a) Continuidad y Derivabilidad de la Función de Beneficio B(t)

La función de beneficio B(t) se define a trozos. Para determinar su continuidad y derivabilidad en el punto de unión, t = 6, procedemos con los siguientes pasos:

1. Estudio de la Continuidad en t = 6

Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función en ese punto debe ser igual a los límites laterales en dicho punto.

• Valor de la función en t = 6:
  B(6) = (6² / 8) - 6 + 5 = 36/8 - 6 + 5 = 9/2 - 1 = 7/2.
• Límite

Estadística Descriptiva: Tipos Fundamentales

• Distribución: Mide la frecuencia de cada valor en un conjunto de datos.
• Tendencia Central: Incluye la Media, Mediana y Moda.
• Variabilidad: Comprende la Desviación Estándar, el Rango y la Varianza.

Chi Cuadrado (χ²)

Si el p-valor es mayor que 0.05, no podemos rechazar la hipótesis nula, por lo que no se puede asegurar que exista una diferencia estadísticamente significativa.

Coeficiente de Correlación

Es una medida de la dependencia lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas y continuas. A diferencia de la covarianza, la correlación es independiente de la escala de medida de las variables.

• Covarianza Positiva (+): Ambas variables tienden a aumentar o disminuir simultáneamente.
• Covarianza

Media Aritmética

La media aritmética es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes de clase o los intervalos. Se simboliza como y se encuentra sólo para variables cuantitativas. Se encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el número total de datos.

• Es una medida totalmente numérica, o sea, solo puede calcularse en datos de características cuantitativas.
• En su cálculo se toman en cuenta todos los valores de la variable.
• Es lógica desde el punto de vista algebraico.
• La media aritmética es altamente afectada por valores extremos.

Para datos no agrupados

El promedio aritmético de un conjunto de valores...

Mediana

Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones ordenadas. El 50%... Continuar leyendo "Medidas de Tendencia Central y Dispersión" »

El Número Áureo

El número áureo, representado comúnmente por la letra griega Φ (fi), es un número irracional con un valor aproximado de 1.618. Se encuentra en la naturaleza, obras arquitectónicas, arte y se ha considerado como la "razón áurea" ya que encierra belleza y armonía.

Una forma de construirlo geométricamente es a partir de un cuadrado de lado 7 cm (por ejemplo). Se divide el cuadrado a la mitad, obteniendo dos rectángulos. Se traza la diagonal de uno de estos rectángulos. Luego, a partir del punto medio de la base (7/2), se mide con un compás la longitud de la diagonal y se continúa el trazo hasta la recta horizontal que coincide con la base del cuadrado. La altura del rectángulo áureo resultante está dada por la... Continuar leyendo "Número Áureo, Grafos, Camino Crítico y Cónicas: Conceptos Matemáticos" »

Cascada de la Coagulación

La cascada de la coagulación es un proceso complejo que involucra una serie de reacciones enzimáticas para formar un coágulo de fibrina estable. Se divide en tres vías principales:

Vía Intrínseca

Comienza con la activación del quininógeno, lo que convierte la precalicreína en calicreína. La calicreína activa el factor XII, transformándolo en factor XIIa. El factor XIIa activa el factor XI, transformándolo en factor XIa. El factor XI, también conocido como factor antihemofílico C, es un factor cuya carencia origina la hemofilia C. El factor XIa (activado) transforma el factor IX en factor IXa (activado). El factor IX, o factor antihemofílico B, cuya carencia genética produce la hemofilia B. El factor... Continuar leyendo "Mecanismos de Coagulación Sanguínea y Fibrinólisis: Vías, Factores y Pruebas Diagnósticas" »