Funciones Polinómicas

Se clasifican según su grado y características:

• Constante: Su gráfica es una recta horizontal.
• Lineal: Pasa por el origen (0,0). El coeficiente 'a' representa la pendiente. Si 'a' es positivo, la recta se inclina hacia la derecha; si es negativo, hacia la izquierda.
• Afín: No pasa por el origen. El coeficiente 'a' es la pendiente, determinando la inclinación (derecha si es positiva, izquierda si es negativa).
• Cuadrática: Su representación es una parábola.

Sistemas de Ecuaciones: Tipos

Los sistemas de ecuaciones se clasifican según el número de soluciones:

• Compatible: Tiene solución.
  • Determinado: Una única solución.
  • Indeterminado: Infinitas soluciones.
• Incompatible: No tiene solución.

Métodos de Resolución de Sistemas

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema del Valor Medio y Derivadas

1. A. Existencia de funciones con la misma derivada: Sí, es posible que existan dos funciones distintas con la misma función derivada. Un ejemplo es la función f(x) = x² y la función g(x) = x² + 1. Ambas tienen la misma función derivada f'(x) = g'(x) = 2x.

   B. Derivabilidad de la función valor absoluto: La función f(x) = |x - 2| tiene dos ramas: una para x < 2 y otra para x > 2. En la rama izquierda (x < 2), f(x) = 2 - x y en la rama derecha (x > 2), f(x) = x - 2. La función no es diferenciable en x = 2, ya que las dos ramas tienen pendientes diferentes en ese punto. Por lo tanto, no se puede calcular la derivada de f(x) en x = 2.

2. Teorema del Valor Medio del

1. En la siguiente tabla se presenta una distribución de frecuencias de la cantidad de minutos por semana que ven televisión 400 estudiantes. De acuerdo con esta tabla, determinar:

a) El límite superior de la quinta clase.

R= 799

b) El límite inferior de la octava clase.

R= 1000

c) La marca de clase de la séptima clase.

R= 949.5 (900+999/2)

d) Las fronteras de clase de la última clase.

e) El tamaño del intervalo de clase.

Factorización de Polinomios: Métodos Avanzados

Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción (T.C.P.A.S.)

Este método se aplica cuando un trinomio no es un cuadrado perfecto, pero puede transformarse en uno mediante la suma y resta de un término adecuado.

Ejemplo Resuelto: Factorizar x⁴ + 3x² + 4

1. Expresión inicial: x⁴ + 3x² + 4
2. Ajuste para T.C.P.: Se suma y se resta x² para obtener el término central necesario (4x²):

   x⁴ + 3x² + 4 + x² - x²

3. Asociación conveniente:

   (x⁴ + 4x² + 4) - x²

4. Factorización del Trinomio Cuadrado Perfecto:

   (x² + 2)² - x²

5. Factorización de la Diferencia de Cuadrados: Se aplica la regla a² - b² = (a+b)(a-b):

   [(x² + 2) + x] [(x² + 2) - x]

6. Eliminación de signos de agrupación y ordenamiento:

   (x² + x + 2) (x² - x + 2)

Resultado

Conceptos Fundamentales de Conjuntos y Probabilidad

A continuación, se presentan los conceptos clave relacionados con conjuntos y probabilidad:

Tipos de Conjuntos

• Conjunto independiente: Un elemento no puede pertenecer simultáneamente a dos conjuntos.
• Conjuntos mutuamente excluyentes: Caso especial de conjuntos independientes donde, además de no poder pertenecer simultáneamente a dos conjuntos, los elementos de un conjunto nunca podrán pasar a otro.
• Conjuntos relacionados: Aquellos donde los elementos pueden pertenecer simultáneamente a dos o más conjuntos.

Operaciones entre Conjuntos

• Unión de conjuntos independientes: A + B = A ∪ B (siempre que los conjuntos sean independientes).
• Unión de conjuntos relacionados: A + B = A ∪ B - (intersección)

Elementos Geométricos Fundamentales

Punto

Punto: Conjunto de puntos alineados.

Recta

Recta: Conjunto de puntos alineados.

Segmento

Segmento: Porción de recta comprendida entre dos puntos llamados extremos.

Punto Exterior

Punto Exterior: Punto que no pertenece a una recta.

Puntos no Alineados

Puntos no Alineados: Puntos que no pertenecen a una misma recta.

Congruente

Congruente: Que mide lo mismo o tiene la misma forma y tamaño.

Punto Medio

Punto Medio: Punto de un segmento que lo divide en dos partes congruentes.

Ángulos y Relaciones entre Líneas

Ángulo

Ángulo: Espacio comprendido entre dos semirrectas con un punto en común llamado vértice.

Bisectriz

Bisectriz: Recta que divide a un ángulo en dos partes congruentes.

• Propiedad: La distancia desde cualquier

BPG Biztanleko (1931-1973): Autarkiatik Garapenera

Grafikoaren Azterketa eta Iturria

Aurrean daukagun grafikoa lineala da eta BPG/biztanleko datuak ematen dizkigunez, izaera ekonomikoa du. Grafikoa denez, bigarren mailako dokumentu historiografikoa dugu, publikoki argitaratua dagoelako. Iturria eman ez badigute ere, Prados de la Escosura-ren Spain's Gross Domestic Product (1995) liburuan agertzen da.

Atentzioa deitzen digun lehena izenburua da: 1931-1973 arteko datuak iragartzen baditu ere, 1931-1939 bitartekoak ez dira grafikoan agertzen. Agertzen denarekin bi garai nabarmen bereiz daitezke: 1951-1953 aurrekoa eta data honen ondorengoa.

1939-1953: Autarkia eta Atzerakada Ekonomikoa

Hasierako datuak baxuak dira, ez dira 100.000ra iristen. 1943rako... Continuar leyendo "BPG Biztanleko (1931-1973): Autarkiatik Garapenera" »

Sistema de Coordenadas Universal Transversal de Mercator (UTM)

El sistema de coordenadas universal transversal de Mercator (UTM) es un sistema de coordenadas basado en la proyección cartográfica transversal de Mercator. Se construye como la proyección de Mercator normal, pero en vez de hacerla tangente al Ecuador, se la hace secante a un meridiano. A diferencia del sistema de coordenadas geográficas, expresadas en longitud y latitud, las magnitudes en el sistema UTM se expresan en metros.

Las ventajas de este formato son:

• Se conservan los ángulos.
• No se distorsionan las superficies en grandes magnitudes, por debajo de los 80º de latitud (no se usa en zonas polares porque produce una gran distorsión cuanto mayor es la distancia al Ecuador,

Ikuspegi honetan, botere publikoen esku-hartzea ordezko bat baizik ez da, eta ekintza pribatu ez-irabazlearen osagarri bat.

Bolondres Sektorearen Lau Hutsune Nagusiak

Funtsean, bolondres sektorearen lau hutsune aipa daitezke:

• Filantropia gabezia
• Berezitasunerako joera
• Jarrera paternalista
• Profesionaltasun ez nahikoa esku-hartzeetan

1. Filantropia Gabezia

Erakunde ez-irabazleek ezin diete gizarte modernoetan gertatzen diren giza eta gizarte arazo guztiei erantzun, besteak beste free rider jarreragatik. Horrez gain, elkartasun eskasa gaur egungo bizitzaren konplexutasunari lotua izan daiteke, garapena lagundu duten aldaketa ekonomikoekin. Izan ere, gerta daiteke elkartasuna erakusten duten pertsonak beharrean dauden pertsonak laguntzeko ezintasunean... Continuar leyendo "Bolondres Sektorearen Hutsuneak eta Erronkak" »