Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Definición de Investigación

Investigación: Acción y efecto de investigar.

Investigar: Hacer diligencias para descubrir una cosa. Realizar actividades intelectuales y experimentales de modo sistemático para aumentar los conocimientos de una determinada materia.

Representaciones Gráficas de las Distribuciones Unidimensionales

Tipo I: No tiene sentido.

Tipo II: Diagrama de barras o polígono de frecuencias.

Tipo III: Histogramas.

Medidas de Tendencia Central, Dispersión, Posición y Forma

Medidas de Tendencia Central

Son medidas estadísticas que pretenden resumir en un solo valor a un conjunto de valores. Ejemplos: Media, mediana, moda.

Medidas de Posición

Permiten situar una distribución. Ejemplos: Centiles, percentiles.

Medidas de Dispersión

Miden... Continuar leyendo "Explorando la Estadística: Investigación, Representaciones Gráficas y Medidas Clave" »

Explica cómo se define formalmente la adición en los números Racionales. (+): QxQàQ

([a/b],[c/d])à[ad+bc/bd]

Que propiedades cumple y que estructura tiene el conjunto de los Números racionales con esta operación? Y el conjunto (Q,+,.) que estructura Tiene?

Independientemente De los representantes escogidos cumplen: Asociativa, conmutativa, elemento Neutro [0/b], A(revés)bEZ*, elemento Simétrico de [a/b] es [-a/b] pues ab+b(-a)/bb es un elemento de clase de 0/b.//El elemento simétrico por adición de Cualquier racional se le llama opuesto (Q,+) tiene estructura de grupo Abeliano. Y el conjunto (Q,+,.) es un cuerpo conmutativo.

Explica como se define formalmente la multiplicación con números Racionales (.): QxQàQ

([a/b],[c/d])à[ac/bd]... Continuar leyendo "Fundamentos Matemáticos de los Números Racionales: Adición, Multiplicación y Estructura de Cuerpo" »

Medidas Estadísticas

Medidas de Tendencia Central

Media Aritmética: Promedio

Mediana: Ordenados de menor a mayor -> 50% menor que M - 50% mayor = Mediana

Moda: La que más se repite. Puede ser unimodal o bimodal.

Media Geométrica

Columna de índice -> Hoy/Ayer -> Media Geométrica - 1 = Tasa de Cambio Promedio (T.C.P)

Pronóstico = (Valor final del índice * (T.C.P + 1))

Medidas de Variabilidad

Dispersión de las observaciones.

Rango: Diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo. R = Vmáx - Vmín.

Varianza: Siempre positiva. La varianza de una constante es 0. La varianza de la suma de una variable y una constante es igual a la varianza de la variable.

• Muestral: var.s
• Poblacional: var.p

Desviación Estándar: Indica, en promedio, cómo... Continuar leyendo "Medidas Estadísticas: Descripción y Aplicaciones" »

Este documento explora los conceptos fundamentales de la geometría diferencial, incluyendo las formas fundamentales, las curvaturas y los teoremas clave que definen las propiedades de las superficies.

Formas Fundamentales

Primera Forma Fundamental

g_ij = x_i · x_j

Segunda Forma Fundamental

L_ij = x_ij · n

Símbolos de Christoffel y Fórmulas de Gauss

Símbolos de Christoffel

Γ^k_ij = Σ_l (x_ij · x_l)g^lk = 0.5 * Σ_l ((∂g_il/∂u^j) - (∂g_ij/∂u^l) + (∂g_lj/∂uⁱ))g^lk. Esta última se demuestra calculando las derivadas.

Fórmulas de Gauss

x_ij = L_ij * n + Σ_k Γ^k_ij * x_k se demuestra.

x_ij = a_ij * n + b_{1 ij} * x₁ + b_{2 ij} * x₂. Calculamos <x_ij, x_l> y la sustituimos en la fórmula de los símbolos de Christoffel.

Curvatura Normal y Geodésica

Curvatura normal

Principio de Le Chatelier

El principio de Le Chatelier establece que si se presenta una perturbación externa sobre un sistema en equilibrio, este se ajustará de tal manera que se contrarreste la perturbación, alcanzando un nuevo equilibrio. Es relativamente asequible demostrar cómo afecta al equilibrio el avance de una reacción. Solo es preciso determinar el valor de las derivadas (dEj/dT)_P y (dEj/dP)_T.

Empezamos con la siguiente identidad: (dG/dEj)_T,P = A_G. La diferenciación total sería:

d(dG/dEj) = d/dT(dG/dEj)dT + d/dP(dG/dEj)dP + d/dEj(dG/dEj)dEj.

Aplicando la ecuación (dG/dEj)_T,P = A_G y (d²G/d²Ej) = G'', la ecuación se transforma en:

d(dG/dEj) = (dA_G/dT)dT + (dA_G/dP)dP + G''dEj.

A partir de la ecuación fundamental, (dA_G/dT) = - ΔS... Continuar leyendo "Principio de Le Chatelier y Principio Cero de la Termodinámica: Conceptos y Demostraciones" »

Conceptos Fundamentales de Variables Aleatorias

Variable Aleatoria (V.A.)

Asignación numérica a los resultados de un experimento aleatorio.

Variable Aleatoria Discreta

Utiliza un conjunto finito o infinito numerable de números reales, es decir, basta con emplear los números naturales.

Variable Aleatoria Continua

Toma valores en un conjunto infinito no numerable de la recta real, es decir, todos los valores de un intervalo o toda la recta de números reales.

Varianza de una Variable Aleatoria (VAR)

Mide la dispersión de los resultados posibles, lo que se traduce en la precisión de la predicción.

• Alta Varianza (↑V(x)): Indica gran dispersión (ej. semanas con ventas altas y otras bajas).
• Baja Varianza (↓V(x)): Indica poca dispersión (ej. ventas

Validación de Números Aleatorios: Métodos Estadísticos Esenciales

Este documento detalla los procedimientos y criterios para la validación estadística de secuencias de números, asegurando su aleatoriedad y uniformidad. Se abordan tres pruebas fundamentales: la Prueba de Frecuencias, la Prueba de Promedios y la Prueba de Poker, cada una con sus hipótesis, cálculos y reglas de decisión.

Primera Instancia de Pruebas de Aleatoriedad

Prueba de las Frecuencias

Esta prueba evalúa si los números generados se distribuyen de manera uniforme en los intervalos definidos.

• Hipótesis Nula (H₀): Los números se distribuyen uniformemente.
• Hipótesis Alterna (H₁): Los números no se distribuyen uniformemente.

Parámetros y Cálculos:

• k: Número de intervalos,

1. Identificación

Figura 1A

La gráfica BIE (periodo 1988-2004) muestra una tendencia creciente e irregular (incrementos y disminuciones). Se analizan diferentes modelos:

• NONE: Yt = f(yt-1) + Et
• INTERCEPT: YT = û + ^p yt-1 + Et
• TREND + INTERCEPT: Yt = û + ^Bt + ...

Para demostrar la tendencia de una serie, se usa la prueba de raíz unitaria. Si el valor absoluto del estadístico t (T-student) es mayor que 2, se rechaza la hipótesis de raíz unitaria, lo que indica una tendencia estocástica. En este caso, la tendencia sugiere que la serie es no estacionaria (no tiene tendencia constante y varía con el tiempo).

Figura 2A (Gráfica Anual)

Se observa un patrón estacional significativo (variación cíclica predecible). La gráfica representa los... Continuar leyendo "Análisis de Series Temporales: Estacionalidad y Tendencia" »

Escalas de Medición Estadística

Las escalas de medición definen la naturaleza de los valores que se asignan a las variables, determinando qué operaciones matemáticas son válidas.

Escala Nominal

Los datos observados se clasifican en distintas categorías en las que no se aplica ningún orden o jerarquía. Solo permite la identificación y la cuenta de frecuencias.

Escala Ordinal

Los datos observados se clasifican en distintas categorías en las que sí se emplea un orden o jerarquía, pero la diferencia entre las categorías no es cuantificable.

Ejemplos de Variables Ordinales

• Grado alcanzado por el estudiante: 1.º, 2.º, 3.º.
• Satisfacción con un producto: Satisfecho, Insatisfecho, Neutral.
• Rango de un Hotel: Una estrella, Dos estrellas, Tres

Introducción a la Estadística

La estadística es una ciencia que recoge, clasifica, organiza y agrupa datos para interpretarlos y tomar decisiones eficaces.

3 Razones para Estudiar Estadística

1. Información numérica: es prolifera por todas partes.
2. Tomar decisiones: son técnicas que se emplean para tomar decisiones que afectan la vida diaria.
3. El conocimiento de los métodos estadísticos: facilita la comprensión de la forma en que se toman decisiones y para saber hacer un análisis de datos que resultará de utilidad.

Tipos de Estadística

Estadística Descriptiva

Muestra los datos (pasados) de manera informativa.

Estadística Inferencial

Predice el comportamiento de la población según la muestra.

Conceptos Básicos

Población: son todos los individuos... Continuar leyendo "Introducción a la Estadística: Conceptos Básicos y Tipos de Variables" »