Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Definiciones Clave

Matrices y Formas Escalonadas

Teorema 32: Existencia de la Forma Escalonada Reducida de una Matriz

Dada una matriz A ∈ M_m×n(K), existen operaciones elementales sobre filas que transforman A en una única matriz en forma escalonada reducida por filas R. La matriz R recibe el nombre de forma escalonada reducida de A.

Definición 35: Rango de una Matriz

Dada una matriz A ∈ M_m×n(K), llamaremos rango de A al número de unos principales de la forma escalonada reducida de la matriz A y lo denotaremos por ρ(A).

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Teorema 41: Teorema de Existencia y Unicidad de Soluciones de Rouché-Frobenius

Si se considera el sistema Ax = b y (A|b) es su matriz ampliada,... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra Lineal: Teoremas Esenciales y Definiciones Clave de Matrices y Espacios Vectoriales" »

Tipos de Variables

28.- ¿Cuáles son los tipos de variables?

• Cualitativas
• Cuantitativas (Pág. 84)

29.- Dentro de las variables cuantitativas se clasifican en:

• Discretas
• Continuas (Pág. 84)

Medidas de Posición Central

30.- ¿Cuáles son las principales medidas de posición central?

Media, mediana y la moda (Pág. 89)

39.- ¿Qué son las medidas de posición central?

Informan sobre los valores medios de la serie de datos (pág. 89)

40.- Según las medidas de posición central explique qué es la moda?

Es el valor que más se repite con mayor frecuencia en la muestra. (pág. 90)

Medidas de Posición No Central

31.- ¿Qué son las medidas de posición no central?

Estas permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores... Continuar leyendo "Tipos de Variables, Medidas Estadísticas y Análisis en SPSS y Project" »

Introducción a la Estadística

1. ¿Qué es la estadística?

Es el estudio científico relativo al conjunto de métodos encaminados a la obtención, representación y análisis de observaciones numéricas, con el fin de describir la colección de datos obtenidos.

2. Conceptos Clave

• Inferencias: Sinónimo de predecir.
• Estimaciones: Supuesto valor.
• Hipótesis: Respuesta a que algo puede pasar.

3. ¿Qué es la estadística descriptiva?

Es el estudio que incluye la obtención, organización, presentación y descripción de información numérica.

4. ¿Qué es la estadística inferencial?

Es la técnica mediante la cual se obtienen generalizaciones o se toman decisiones en base a una información parcial o completa obtenida mediante técnicas descriptivas.... Continuar leyendo "Introducción a la Estadística: Conceptos Fundamentales y Tipos de Variables" »

Análisis Factorial de Correspondencias (AFC)

Técnica de interdependencia para variables cualitativas cuyo objetivo es encontrar la relación entre dos variables cualitativas (AFC) o entre tres o más (AFCM).

Requisitos:

• Dos variables cualitativas, con cualquier número de modalidades.
• Variables dependientes (estadístico chi-cuadrado con significación menor a 0,5).
• Se parte de la tabla de contingencia de las dos variables.

Etapas:

1. Estudio de perfiles fila y columna:

• Si los perfiles fila son parecidos al perfil medio, indican que la variable fila se comporta igual en todas las categorías de la otra, por lo que son independientes y no destacan.
• Si dos filas tienen perfiles parecidos, indican asociaciones entre dichas filas, es decir, se evaluaron

Gráficos y Cuadros de Diálogo

• Gráficos: Dispersión/puntos
• Dispersión simple: Definir variables x (independiente) e y (dependiente)

Análisis de Gráficos de Dispersión

Haga un gráfico de dispersión y comente:

R: De este gráfico se puede observar que los datos tienen un comportamiento aproximadamente lineal con pendiente (positiva o negativa), (con o sin) presencia de datos atípicos que se alejan notoriamente de la nube de puntos. (Si se alejan, son posibles datos atípicos). Esto quiere decir que, mientras mayor sea x, (mayor o menor) será y.

Análisis de Regresión Lineal

Analizar: Regresión -> Lineales -> Escoger dependiente (y) e independiente (x)

• Estadísticos: Estimaciones, intervalo de confianza (si no lo dan, 95%), diagrama

Concepto frecuentista de probabilidad

Se entiende por probabilidad frecuentista que, cuantas más veces se repita un experimento, al final las posibilidades de que ocurra cada uno de los sucesos se regularizarán. Aunque cualquier comportamiento sea aleatorio, por proceso empírico llegaremos a una regularidad.

Definición axiomática de probabilidad

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.

Regla de Laplace

Si los sucesos elementales observables tienen todos la misma probabilidad (equiprobables), entonces la probabilidad de cualquier suceso A se obtiene como el cociente entre el número de resultados favorables... Continuar leyendo "Conceptos clave de probabilidad y variables aleatorias" »

Tipos de muestreo y conceptos estadísticos

Muestreo no probabilístico

1. Un tipo de muestreo donde los sujetos son seleccionados en base al conocimiento y juicio del investigador.

Muestreo no probabilístico o muestreo no aleatorio

Estadística descriptiva

2. ¿Qué es la estadística descriptiva?

Es la rama de la estadística que recolecta, analiza y caracteriza un conjunto de datos (peso de la población, etc.).

Variables cualitativas ordinales

3. ¿Es un ejemplo de variable cualitativa ordinal?

No son numéricos: colores, días, etc.

Muestreo aleatorio

4. Características de la muestra donde cualquier sujeto puede ser seleccionado para la muestra con la misma probabilidad.

Muestreo aleatorio

Métodos de muestreo

5. Método utilizado para elegir una... Continuar leyendo "Conceptos básicos de estadística y muestreo: ejemplos y ejercicios" »

Funciones de Redondeo

• REDONDEA.IMPAR: Redondea un número hacia arriba hasta el entero impar más próximo.
• REDONDEA.PAR: Redondea un número hasta el entero par más próximo.
• REDONDEAR: Redondea un número al número de dígitos especificado.
• REDONDEAR.MAS: Redondea un número hacia arriba, en dirección contraria a cero.
• REDONDEAR.MENOS: Redondea un número hacia abajo, en dirección hacia cero.

Funciones Estadísticas

• CONTAR.BLANCO: Cuenta el número de celdas en blanco de un rango.
• CONTAR.SI: Cuenta el número de celdas, dentro del rango, que cumplen el criterio especificado.
• CONTAR.SI.CONJUNTO: Cuenta el número de celdas, dentro del rango, que cumplen varios criterios.
• CONTARA: Cuenta cuántos valores hay en la lista de argumentos.
• JERARQUIA.EQV:

Condición Necesaria y Suficiente para la Diagonalización

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Habiendo n valores propios (repetidos o no), la condición necesaria y suficiente para que A sea diagonalizable es que las multiplicidades geométricas sean iguales a las correspondientes multiplicidades algebraicas.

Si λ₁, ..., λ_k son los valores propios distintos de A, de multiplicidad algebraica m₁, ..., m_k, cumpliéndose m₁ + m₂ + ... + m_k = n, y si s₁, s₂, ..., s_k son sus multiplicidades geométricas, se verifica que A es diagonalizable si y solo si s_i = m_i para i = 1, 2, ..., k.

Sea E₁, E₂, ..., E_k los subespacios propios asociados a los valores propios distintos λ₁, ..., λ_k respectivamente. La suma F = E₁ + E₂ + ... + E_k es directa.

• dim(F)

Inversa Generalizada y Soluciones de Mínimos Cuadrados

La inversa generalizada de una matriz A (denotada como A⁺) permite encontrar la solución de mínimos cuadrados de norma mínima, x*, para un sistema de ecuaciones lineales Ax = b. Esta solución se expresa como: x* = A⁺b.

Casos para el Cálculo de la Inversa Generalizada

• Caso 1: r(A) = n (rango de A igual al número de columnas)
  La solución de mínimos cuadrados es: x* = (A^TA)^-1A^Tb.
  Por lo tanto, la inversa generalizada es: A⁺ = (A^TA)^-1A^T.
• Caso 2: r(A) = m (rango de A igual al número de filas)
  La inversa generalizada es: A⁺ = A^T(AA^T)^-1.
• Caso 3: r(A) = k, con k < n y k < m (rango de A menor que el número de filas y columnas)
  La inversa generalizada se calcula mediante una descomposición