Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Producto Vectorial en R³: Definición y Características

El producto vectorial de dos vectores, que definiremos a continuación, es una operación fundamental en R³. Se trata de una aplicación de R³ × R³ en R³, tal que a una pareja de vectores (u, v) le hace corresponder otro vector u × v (escrito a veces u ∨ v) que denominaremos su producto vectorial, externo o cruzado (cross product).

Antes de definir formalmente este producto, observamos que, dados dos vectores arbitrarios u = (x₁, x₂, x₃) y v = (y₁, y₂, y₃), un tercer vector w = (n₁, n₂, n₃) será perpendicular a ambos si los productos escalares u ⋅ w = 0 y v ⋅ w = 0 son cero. Esto equivale a que los números reales n₁, n₂, n₃ sean solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:... Continuar leyendo "Producto Vectorial en R³: Conceptos Fundamentales y Propiedades Esenciales" »

Arriostramiento de Cerchas: Fundamentos y Aplicación

Las riostras provisionales deben aplicarse a tres planos fundamentales del conjunto de cerchas:

• El plano de los pares, piezas que reciben el tablero de la techumbre.
• El plano de los tirantes, que recibe la subestructura a la cual se fija el cielo.
• El plano vertical, compuesto por las diagonales en ángulo recto con el plano de las cerchas.

Figura 11-30: Planos en los que se deben realizar los arriostramientos de las cerchas.

La escuadría de estas riostras no debe ser inferior a una pieza de 2" x 4" y deben ser tan largas como sea práctico, con un mínimo de 2.4 metros. Se deben fijar con 3 clavos de 4" en cada intersección.

Es crucial mantener el espaciamiento exacto entre cerchas mientras se... Continuar leyendo "Arriostramiento de Cerchas: Técnicas de Instalación y Tipos de Riostras para Estructuras de Techo" »

Conceptos Clave en Muestreo Estadístico

• Muestreo: Conjunto de operaciones para determinar una muestra.
• Población: Totalidad de elementos de interés para el estudio.
• Muestra: Subconjunto de elementos elegidos de la población para su estudio.
• Censo: Relación completa de los elementos de la población.
• Error muestral: El error imputable a estudiar solo una parte de la población.
• Error no muestral: Resto de errores no atribuibles al proceso de muestreo.
• Marco muestral: Lista de elementos de la población objetivo.
• Unidad de muestreo: Unidad básica disponible para seleccionar en alguna fase del muestreo.
• Elemento de muestreo: Unidad de la que interesa obtener información.
• Parámetro: Cálculo sobre alguna característica en la población.
• Estadístico:

*  Sin reacción química

 Reacción química

C=componentes   r=reacciones

Π=no. De fases   a=electronegatividad

Calcular el no. De grados de libertad para mezcla gaseosa de Hidrógeno, Nitrógeno y amoniaco que no reaccionan entre si

C=3  π=1  r= 0  A=0

*Ec de Antoine  ETANOL-H2O

*Sistema binario

Se grafica pvsx y Pvsy

Calculadaα 

*Forma Gráfica

*xi vs P   y      Y vs p

* r1=           r2=               

        X2=1-X1  Error=... Continuar leyendo "Fundamentos de Equilibrio de Fases y Cálculos Termodinámicos" »

1A:

N=12 El número de datos, la media de X y la media de Y.

X̅ = ∑x/n = 120/12=10

Ȳ= ∑y/n= 291/12 = 24.25

b) Indique el valor de las varianzas de X e Y.

S²_x = (∑x²/n) - X̅² = (1240/12) - 10² = 3.3333

S²_y = (∑y²/n) - Ȳ² = (7137/12) - 24.25² = 6.6875

c) Calcule el valor de la desviación típica de los datos de X e Y.

S_x = √S²_x = √3.3333 = 1.8257

S_y = √S²_y = √6.6875 = 2.5860

d) Determine el valor de la covarianza entre X e Y.

Cov(x,y) = (∑xy/n) - X̅ * Ȳ = (2949/12) - 10 * 24.25 = 3.25

III. Determine el modelo de Regresión Lineal, estimando los parámetros A

La estimación de parámetros en los modelos de la Teoría de Respuesta al Ítem (IRT) se centra en determinar la probabilidad de respuesta correcta en función de la aptitud del examinado (θ) y los parámetros característicos del ítem. Los parámetros desconocidos (tanto del ítem como θ) se estiman a partir de las respuestas de los sujetos. El objetivo es buscar los valores que mejor se ajustan a los datos, utilizando métodos como la regresión lineal (mínimos cuadrados) y la máxima verosimilitud.

Máxima Verosimilitud

La estimación por máxima verosimilitud es un método computacional. Puesto que Pi (probabilidad de acierto) y Qi (probabilidad de error) son funciones de θ y de los parámetros del ítem, la función de verosimilitud... Continuar leyendo "Estimación de Parámetros en Modelos de Respuesta al Ítem (IRT)" »

Fundamentos Esenciales de la Estadística

La Estadística es una colección de métodos para planear experimentos, obtener datos y después organizar, resumir, presentar, analizar, interpretar y llegar a conclusiones basadas en dichos datos.

Definiciones Preliminares

• Datos: Observaciones recolectadas.
• Población: Es la colección completa de todos los elementos a estudiar.
• Muestra: Es un subconjunto de miembros seleccionados de una población.

Mediciones Descriptivas

• Parámetro: Una medición numérica que describe alguna característica de una población.
• Estadístico: Es una medición numérica que describe alguna característica de una muestra.

Clasificación de los Datos

Tipos de Datos por Naturaleza

Datos Cuantitativos

Consisten en números que representan... Continuar leyendo "Fundamentos de Estadística: Conceptos Clave y Tipos de Datos" »

Conceptos Fundamentales de Variables Aleatorias

Variable Aleatoria Continua Unidimensional

Una variable con recorrido infinito no numerable es una Variable Aleatoria Continua en un determinado intervalo de números reales, si existe una función real que, en dicho intervalo, cumpla con las siguientes condiciones:

1. Sea no negativa.
2. Cubra una superficie (área bajo la curva) igual a uno.

Función de Densidad de Probabilidad (FDP)

Función real que cumpla con la condición de no negatividad y con la condición de cierre (área total igual a 1). Una Función de Densidad de Probabilidad está definida únicamente en el recorrido de la variable aleatoria, generalmente el intervalo [a;b]. Fuera de ese intervalo, la función es nula.

Función de Distribución

Un... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de Estadística Descriptiva y Probabilidad" »

Medidas de Tendencia Central

Media Aritmética

Es una medida de centralización que se define como el cociente de dividir la suma de todas las observaciones de la población (o muestra) entre el tamaño de la misma.

Mediana

La mediana de una distribución de frecuencias es el valor que ocupa el centro de la distribución. Es decir, el valor que deja a su izquierda el 50% de las observaciones (ordenadas de menor a mayor) y a su derecha el otro 50%. Se denota como Me.

Variables Discretas

• a) Si cada observación aparece una sola vez (f_i = 1):
  • Si n es impar, la mediana es el valor del término central (datos ordenados de menor a mayor).
  • Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales (datos ordenados de menor a mayor).
• b) Si

Multiplicación

La **suma reiterada** es uno de los significados de la multiplicación. Es un significado “económico”, en vez de calcular 3+3+3+3, se calcula 4x3 y se lee “cuatro veces tres”. Generalizando: Sean *a* y *b* números naturales, el producto de *a* x *b* se define como: *a* x *b*, ∀ *a*, *b* ∈N = *b* + *b* + … + *b* (*a* veces), sii *a*≠0. En el caso de que *a*=0, tendremos 0 x *b* = 0. Símbología: *a*.*b*; *a*x*b*; *a* * *b*; *ab*. El número que se repite (*b*) es el **multiplicando** y las veces que se repite es el **multiplicador** (*a*). Se puede definir también su significado cardinal como **producto cartesiano** de conjuntos (sin acudir a la adición para definirla) f: N x N → N.

Las propiedades de la... Continuar leyendo "Explorando la Multiplicación y División en Números Naturales: Conceptos y Aplicaciones" »