Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Isomorfismo y Grado de un Vértice

Dos grafos no orientados G1=(W1,F1) y G2=(W2,F2) diremos que son isomorfos si existe una aplicación biyectiva tal que: {v,w} ∈ F1 si y solo si {f(v),f(w)} ∈ F2.

Sea G=(W,F) un grafo no dirigido, llamaremos grado de un vértice al número de lados incidentes a dicho vértice. Lo denotaremos por gr(v).

Tipos de Grafos

Grafos Regulares y Completos

Un grafo se dice k-regular si todos sus vértices son de grado k.

Un grafo no orientado se dirá completo si cada vértice es adyacente con todos los demás; esto es, el grado de cada vértice es p-1, o lo que es lo mismo, es (p-1)-regular. Lo denotaremos por Kp.

Grafos Conexos y Distancia

Un grafo no orientado se dirá conexo si para cada par de vértices existe un camino... Continuar leyendo "Exploración de Conceptos Fundamentales en Teoría de Grafos" »

Calculadora Multifunción en C

Este programa en C permite realizar diferentes cálculos matemáticos a través de un menú interactivo. El acceso al menú está protegido por una clave. Una vez dentro, el usuario puede calcular la raíz cuadrada de una ecuación cuadrática, el factorial de un número impar entre 0 y 10, o sumar pares de números.

Código Fuente

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>

/*
Construir la aplicación que, ingresando la clave "santo",
permita mostrar un menú tantas veces como el usuario lo desee,
el cual debe calcular la raíz cuadrada, el factorial de un
número impar entre 0 y 10 y/o sumar n pares de números.
Finalmente, se debe ingresar el número

Aproximació Rectangular Superior

I = h * max(f(x_i), f(x_i+1)), on h = (b-a)/n.

Aproximació Rectangular Inferior

I = h * min(f(x_i), f(x_i+1))

Regla Composta del Trapezi

Amb n intervals, necessitem n+1 punts.

I = (h/2) * (f(x_i) + f(x_i+1))

Per a punts equiespaiats:

I = h * [(f(x₀)/2) + Σ_i=1^n-1 f(x_i) + (f(x_n)/2)]

Mètode de Simpson

Per a punts equiespaiats:

I = (h/3) * (f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂))

Per a punts no equiespaiats, amb m intervals, necessitem 2m+1 punts (m = n/2):

I = (h_i/3) * (f(x_2i-2) + 4f(x_2i-1) + f(x_2i))

Si són equiespaiats:

I = (h/3) * [f(x₀) + 2Σ_i=1^m-1 f(x_2i) + 4Σ_i=1^m f(x_2i-1) + f(x_2m)]

Estimació de l'Error

E_h/2 = |I_h/2 - I_h| / (2^p - 1)

On:

• p = 2 per a la regla del trapezi
• p = 4 per al mètode de Simpson

E_h/2 = |I_h/2 - I_exacte|

Zeros de Funcions: Mètode

Límites de Funciones de Varias Variables

Criterio Negativo: Si lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) a lo largo de la curva x = λy no existe o depende de λ, entonces el límite no existe.

Coordenadas Polares: x = a + rcosθ, y = b + rsenθ. Si el límite en coordenadas polares existe, es finito, no depende de θ y existe una función g(r) tal que |f(a + rcosθ, b + rsenθ) - L| ≤ g(r) y lim_r→0⁺ g(r) = 0, entonces el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L.

Derivadas Parciales y Diferenciabilidad

Gradiente

El gradiente de una función f es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f: ∇f = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ...).

Matriz Jacobiana

La matriz jacobiana de una función f: Rⁿ → R^m es una matriz m x n donde cada fila... Continuar leyendo "Cálculo Avanzado: Límites, Derivadas, Extremos e Integrales Múltiples" »

Evolució dels Mitjans de Comunicació

El Desenvolupament de la Premsa Popular de Gran Tiratge (1871-1914)

A finals del segle XIX i principis del XX, el periòdic es va convertir en un producte de consum habitual.

Factors i Característiques dels Progressos de la Premsa

Continuaven essent les mateixes que en etapes anteriors:

• Generalització de la instrucció.
• Democratització de la vida política.
• Urbanització creixent.
• Desenvolupament dels transports i mitjans de transmissió.
• Perfeccionament de les impremtes.
• La composició es revoluciona amb les màquines de compondre mecàniques.
• La fotografia, descoberta la primera meitat del segle XIX, va tenir la seva reproducció impresa molt més tard.

Progressos Formals dels Periòdics

Des d'un punt de vista... Continuar leyendo "Evolució dels Mitjans de Comunicació: De la Premsa al Segle XX" »

Examen de Enero 2012: Problemas Resueltos de Matemáticas Discretas

Problemas de Desarrollo

Problema 1: Grafos y Combinatoria

1. Demuestre que el número de grafos distintos que se pueden formar con 200 vértices y 50 aristas es:

   

   La expresión C(200, 2) (o (200 sobre 2)) representa las selecciones no ordenadas de un conjunto de 200 elementos, tomados en grupos de 2 elementos. Esto define todas las posibles aristas en un grafo completo con 200 vértices.

   

   Luego, se aplica la misma lógica, pero cambiando 200 por el número total de aristas posibles (C(200, 2)) y 2 por 50 (que es el número de aristas a seleccionar). Así es como se definen todos los grafos con 50 aristas.

   Proponga un ejemplo con 4 vértices y 5 aristas.

   Número de grafos que se pueden

El muestreo estadístico es la herramienta que la Matemática utiliza para el estudio de las carácterísticas de una población a través de una determinada parte de la misma.

1.- Muestreo no probabilístico: no se usa el azar, sino el criterio del investigador.

Muestreo por bola de Nieve .- se toma un dato y este arrastra a otros por ejemplo el comportamiento de las pandillas

2.- Muestreo probabilístico o aleatorio:

Muestreo aleatorio simple: se asigna un número a cada uno de los individuos de la población, y seguidamente se van eligiendo al azar los componentes de la muestra. La elección de un individuo no debe afectar a la del siguiente, por tanto debe reemplazarse el nº, una vez extraído.
2.2.- Muestreo sistemático: se ordenan previamente... Continuar leyendo "Muestreo circunstancial" »

Equilibrio de Fases - Bloque I: Termodinámica

1. Introducción

Fases: estados de agregación de la materia: sólido, líquido y gas (vapor).

Interfases: fases "inmiscibles": L-V, L-L, S-L, S-S, S-V.

Equilibrio: propiedades macroscópicas estáticas; suposición frecuente en ingeniería; cambios a escala microscópica (molecular).

Equilibrio en un sistema monofásico: Temperatura (T), Presión (P) y Concentración (C) homogéneas.

Equilibrio en un sistema multifásico: T homogénea, P homogénea, C homogénea en cada fase, diferente composición en las distintas fases.

Medida de la composición:

• Concentración molar (C_i = n_i/V)
• Concentración másica (M_i = m_i/V)
• Fracción molar (x_i = n_i/n_t)
• Fracción másica (X_i = m_i/m_t)

2. Condiciones de Equilibrio de

1. Estimación de un Intervalo de Confianza para la Media Poblacional (μ) con Muestras Grandes (n ≥ 30)

Cuando se tiene una muestra grande (n ≥ 30), la media muestral (x̄) sigue una distribución normal:

x̄ ~ N(μ, σ²/n)

Donde:

• μ es la media poblacional.
• σ es la desviación estándar poblacional.
• n es el tamaño de la muestra.

Si estandarizamos la media muestral, obtenemos una distribución normal estándar (Z):

(x̄ - μ) / (σ/√n) = Z ~ N(0, 1)

El nivel de confianza (1 - α) representa la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero valor del parámetro poblacional a estimar.

Pasos para construir el intervalo de confianza:

1. P(-Z_α/2 < Z < Z_α/2) = 1 - α
2. P(-Z_α/2 < (x̄ - μ) / (σ/√n) < Z_α/2) = 1 - α
3. P(

• Sistemas de ecuaciones

- **rg(A)=rg(A*) SCD** (1 sol.)

- **rg(A)=rg(A*)**

param. n-rg(A)= G.libertad

- **rg(A)≠rg(A*) SI** (0 sol.)

• Factorización LU

2f₂ -(-f₁) f₃-(-1/6f₂)

f₃-1/2f₁

m1=(-1)

m2=1/2

m3=-1/6

L*U=A

• Gram-Schmidt (ortogonalización)

• Diagonalización

1) A-λI 2) /A-λI/ 3) valores de λ sacar VEP(haciendo ceros diagonal inferior) ->(a,b),(c,d) 4)

D=P^-1AP

• Diagonalización ortogonal (Gram-Schmidt)

1) A-λI 2) /A-λI/ 3) valores de λ sacar VEP 4) aplicar G-S a los VEP 5) D=P^-1AP

• Autoespacios generalizados

-Tras obtener los valores de λ:

λ₁=a m=n

λ₂=b m=p *calcular el sistema n+1, p+1 (un orden más que la multiplicidad). Obtiene la base de vectores.

• Teorema de la descomposición primaria

- Base de autovectores generalizados justo hasta la multiplicidad.... Continuar leyendo "Resumen Completo de Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales" »