Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Conceptos Fundamentales en Optimización

Conjunto Convexo y Funciones Convexas/Cóncavas

Un concepto crucial en optimización. Se determina mediante:

• 1. El Epígrafo (epi(f)) de una función f es convexo si y solo si f es una función convexa. El Hipógrafo (hip(f)) de una función f es convexo si y solo si f es una función cóncava.
• 2. Para funciones de una variable, el signo de la segunda derivada: si f''(x) ≥ 0, la función es convexa; si f''(x) ≤ 0, la función es cóncava.
• 3. Propiedades adicionales: Las funciones lineales son tanto convexas como cóncavas. La convexidad/concavidad también se puede estudiar analizando la matriz Hessiana para funciones multivariables.

Vector Direccional y Derivada Direccional

Para analizar el comportamiento... Continuar leyendo "Fundamentos de Optimización Matemática: Convexidad, Lagrange y KKT" »

Contrastes de Hipótesis: Fundamentos y Aplicaciones

Estudiaremos en este tema los contrastes de hipótesis, que son una de las herramientas básicas en numerosas ciencias experimentales, así como en el control de calidad de las empresas.

Concepto de Contraste de Hipótesis

Un contraste de hipótesis busca enfrentar dos hipótesis, pero el tratamiento que se les da no es el mismo. Existe una hipótesis principal, denominada hipótesis nula (H₀), que se supone cierta inicialmente. Frente a esta, tendremos una hipótesis alternativa (H₁), que será adoptada cuando se disponga de pruebas concluyentes de que H₀ es falsa.

Ejemplo Ilustrativo: El Juicio

Un ejemplo típico es el de un juicio, en el que una persona es inicialmente inocente (hipótesis... Continuar leyendo "Contrastes de Hipótesis: Conceptos Clave, Errores y Principios de Neyman-Pearson en Estadística" »

Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva y Probabilidad

Este documento explora los conceptos esenciales de la estadística descriptiva y las nociones básicas de probabilidad, fundamentales para el análisis y la interpretación de datos.

Medidas de Tendencia Central

Las medidas de tendencia central son valores que representan el centro de un conjunto de datos. Son útiles para resumir la información de una distribución.

La Media

Es una medida de posición central que se calcula para una variable (discreta o continua). Cuando las distribuciones están agrupadas en intervalos, la media se calcula utilizando la marca de clase.

• Ventajas: Utiliza todos los valores de la distribución, es fácil de calcular y representa el centro de gravedad

Conceptos Fundamentales de Inferencia Estadística

El hecho de estudiar a los sujetos que forman una muestra, en lugar de a toda la población, ocasiona un error denominado error aleatorio. La determinación de este error es el objetivo principal de la inferencia estadística. ¿Qué buscamos con la inferencia? Extrapolar el comportamiento o la modalidad estudiada en una muestra a toda la población y sacar conclusiones referentes a una característica estudiada de la población, a partir de un subconjunto (muestra).

Conceptos

• Estadística descriptiva: Conjunto de procedimientos necesarios para recoger, clasificar, representar y resumir el conjunto de datos que forman una muestra. Permite controlar la calidad de los datos y examinar las variables

Ángulo

Espacio comprendido entre dos semirrectas con un punto en común llamado vértice.

Bisectriz

Semirrecta que divide a un ángulo en dos partes congruentes.

Propiedad: La distancia desde cualquier punto de la bisectriz a las dos rectas es congruente.

Mediatriz

Recta perpendicular a un segmento en su punto medio.

*Aparece la idea de mediatriz como lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos dados y con ella aparece la idea de perpendicularidad y la idea de congruencia de triángulos con los criterios LLL y LAL.

Punto Medio

Punto de un segmento que lo divide en dos partes congruentes.

Perpendicular

Que forman un ángulo de 90º.

Recta

Conjunto de puntos alineados.

Ángulos Adyacentes

Comparten un lado, un vértice y son suplementarios.... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría Plana" »

Distribuciones Teóricas de Probabilidad

Una distribución teórica de probabilidad es un modelo para una variable aleatoria que describe la forma en que los eventos están distribuidos a lo largo de los posibles valores que pudiera tomar dicha variable.

Variables Aleatorias

Cuando en un experimento aleatorio a cada suceso elemental le asignamos un valor numérico, obtendremos una variable aleatoria. Estas pueden ser de dos tipos:

• Discretas: binomial y Poisson.
• Continuas: normal.

Tipos de Distribuciones

Distribución de Bernoulli

Aquel experimento aleatorio que tiene dos resultados posibles, los cuales se denotan como aciertos o fracasos con probabilidad respectiva.

Distribución Binomial

Se basa en el experimento de Bernoulli. Es un experimento aleatorio... Continuar leyendo "Distribuciones de Probabilidad y Variables Aleatorias: Conceptos Clave y Aplicaciones" »

Regresión Lineal Múltiple

Modelo Estimado

Variable dependiente: Porcent

Regresores: p, p

El modelo estimado sería: Porcent= 45+0,01* p -23*p + ui

Bondad de Ajuste

Comprobaremos si el ajuste del modelo es bueno a través del R Cuadrado y el R Cuadrado Ajustado. El ajuste del modelo es bastante bueno, ya que el R Cuadrado es de 0,83 y el R Cuadrado Ajustado de 0,80. Por tanto, el modelo de regresión logra explicar en torno al 80% de la variación muestral de la variable dependiente.

Significancia del Modelo

Comprobaremos si el modelo es significativo en su conjunto. Lo que se pretende contrastar es si el R Cuadrado es igual a 0 o no. Por tanto, planteamos las siguientes hipótesis:

• Ho: R^2=0
• H1:R^2 =I 0

(Tabla Anova): podemos afirmar que el modelo es... Continuar leyendo "Análisis de Regresión Lineal Múltiple" »

Regla de Laplace

ACP. Como podemos ver, trabajamos con un gran número de observaciones, claramente superior a 50. Además, se supera la ratio deseada de variables y observaciones (1:10), ya que hay … variables y … observaciones.

En la matriz de correlaciones que encontramos en la página siguiente vemos que existe una cantidad razonable de correlaciones elevadas (consideraremos que se trata de una correlación elevada si es > |0,3|).

Si atendemos al valor del determinante de la matriz de la página anterior, nos damos cuenta de que su valor es muy próximo a 0. Esto es un claro indicativo de que las variables que nos ocupan están linealmente relacionadas.

Ahora atenderemos a los valores que adopta la diagonal principal de la matriz de correlación anti-... Continuar leyendo "Análisis de Componentes Principales: Guía Práctica y Optimización" »