Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

(Dios creou aos seres humanos libres. Por iso, rexeitar o plan de Dios e inclinarse cara ao mal é unha opción permanente das persoas.) A Biblia recolle os nosos interrogantes:

Os relatos da Biblia sobre a orixe do mundo

Non pretenden dar unha explicación científica de como sucederon as cousas. Os xudeus crentes que os escribiron buscaban explicar a razón profunda pola que as persoas poden causar o mal a sí mesmas, aos demais e á natureza. Os relatos do Xénesis presentan a creación como algo bo. O home e a muller foron creados á imaxe e semellanza de Dios, e Dios lles deu todo para ser felices (Gn 1,26-31). Sen embargo, o desenvolvemento da vida mostra todo o contrario.

O relato do paraíso

O paraíso simboliza o que Dios quere para o... Continuar leyendo "O pecado e a liberdade humana: a inclinación ao mal e a grandeza da liberdade" »

Conceptos Básicos de Estadística

Tipos de Variables

En estadística, las variables son características o propiedades que pueden medirse u observarse en los individuos o elementos de una muestra o población. Se clasifican en dos grandes grupos:

• Variables cualitativas: no se pueden expresar a través de números, se especifican mediante palabras. A su vez, se dividen en:
  • Nominales: no tienen ningún tipo de ordenación.
  • Ordinales: admiten algún tipo de ordenación.
• Variables cuantitativas: se expresan a través de números. Pueden ser:
  • Discretas: solo pueden tomar un número limitado de valores. Ejemplo: el número de hijos.
  • Continuas: pueden tomar cualquier valor dentro de un rango numérico. Ejemplo: la altura.

Frecuencias

• Frecuencia total (ft):

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

La Media

• Propiedades: La suma de las desviaciones de un conjunto de observaciones respecto a su media es igual a cero.
• El valor de la media puede verse muy afectado por unas pocas observaciones con valores muy diferentes de los demás. Un solo valor atípico (outlier) “arrastra” la media hacia arriba.
• El valor de la media puede no ser representativo del conjunto de los valores, especialmente en poblaciones o muestras pequeñas, cuando una observación es muy diferente de las otras.
• En general, cuando el gráfico que representa la distribución de valores no es simétrico, sino sesgado, la media está desviada, en relación con la mayoría de los valores, hacia la cola más larga de la distribución.

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Álgebra

El valor absoluto de un número real *a*, se escribe |*a*|, es el mismo número *a* cuando es positivo o cero, y opuesto de *a*, si es negativo.

Se llama logaritmo de base *a* de un número *N*, al número real *x* al que hay que elevar la base para que nos dé el número *N*.

Propiedades de los logaritmos:

• P≠Q → log_a P≠ log_a Q
• log_a a=1
• log_a 1=0
• log_a(P·Q)=log_a P+log_a Q
• log_a(P:Q)=log_a P-log_a Q
• log_a Pⁿ=n· log_a P
• log_a ⁿ√P= log_a P^1/n= 1/n log_a P

Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio P(*x*) entre un polinomio de la forma (*x*-*a*) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: *x*=*a*.

Trigonometría

Teorema del seno: En un triángulo cualquiera se verifica que los lados... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Álgebra, Trigonometría y Vectores" »

Estudio de una Función de Beneficio

El siguiente documento detalla el estudio de una función de beneficio, expresado en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa durante el año pasado. Se abordan aspectos de continuidad, derivabilidad y optimización.

a) Continuidad y Derivabilidad de la Función de Beneficio B(t)

La función de beneficio B(t) se define a trozos. Para determinar su continuidad y derivabilidad en el punto de unión, t = 6, procedemos con los siguientes pasos:

1. Estudio de la Continuidad en t = 6

Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función en ese punto debe ser igual a los límites laterales en dicho punto.

• Valor de la función en t = 6:
  B(6) = (6² / 8) - 6 + 5 = 36/8 - 6 + 5 = 9/2 - 1 = 7/2.
• Límite

A cada uno de los enunciados selectividad por letra P en adelante
Las expresiones no no es cierto no es verdad no es el caso de que no es posible es falso: ¬ no
Las expresiones y e más pero ni: ٧ y
Las expresiones o o..o bien..bien ya..ya: ٨ o
Las expresiones sí entonces luego por tanto en consecuencia cuando con tal de: → si entonces
Las expresiones sí y solo si equivale a es igual a vale por es lo mismo que: ↔ si y solo si
El conjuntor aquella conectiva que da lugar a una proposición compleja que es verdadera solamente cuando son verdad de las dos simples
p:1100 q:1010 p٨q: 1001
El disyuntor aquella conectiva que da lugar a una proposición compleja que es verdadera solamente cuando una o ambas proposiciones son verdaderas
p:1100 q:1010... Continuar leyendo "Lógica proposicional y conectivas" »

Dadas dos funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙), se cumple que 𝒅 𝒅𝒙 (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙) + 𝒅 𝒅𝒙𝒈(𝒙), es decir, la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. Verdadero. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas individuales. [f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x).

Dadas dos funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙), se cumple que 𝒅 𝒅𝒙 (𝒇𝒈)(𝒙) = [ 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙)][ 𝒅 𝒅𝒙𝒈(𝒙)], es decir, la derivada de un producto es igual al producto de las derivadas. Falso. La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma del producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función... Continuar leyendo "Propiedades matemáticas y matrices: verdadero o falso" »

Conceptos Clave y Fórmulas Esenciales de Matemáticas

Optimización de Funciones

Para optimizar una función, sigue estos pasos:

1. Identifica la condición y despeja una variable.
2. Define la función objetivo (lo que se busca maximizar o minimizar).
3. Sustituye la variable despejada en la función objetivo.
4. Deriva la función resultante.
5. Iguala la derivada a cero y resuelve para encontrar los puntos críticos.
6. Sustituye los puntos críticos en la función original para encontrar los valores óptimos.

Fórmulas Trigonométricas y Geométricas

• Longitud de la circunferencia: 2πr (donde 'r' es el radio).
• Área del círculo: πr².
• Tangente (tg): cateto opuesto / cateto contiguo.
• Seno (sen): cateto opuesto / hipotenusa.
• Coseno (cos): cateto contiguo / hipotenusa.

Relaciones entre Distribuciones de Probabilidad

Relación entre la Distribución Hipergeométrica y Binomial

Cuando el tamaño de la población N es bastante grande comparado con el tamaño de la muestra n, se considera que la distribución Binomial es una aproximación adecuada para resolver una distribución Hipergeométrica. En general, puede mostrarse que si n y por lo tanto r es muy pequeño comparado con N₁ y N₂, entonces: si se toma una muestra muy pequeña de una población muy grande, entonces la falta de reemplazo (Distribución Hipergeométrica) y el reemplazo (Distribución Binomial) dan resultados aproximadamente idénticos.

Relación entre la Distribución Binomial y de Poisson

Cuando el número de pruebas n es grande y por otra parte... Continuar leyendo "Relaciones entre las Distribuciones Hipergeométrica, Binomial y de Poisson" »