Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Matrices

Definición. Una matriz es un conjunto ordenado en filas y columnas de números reales. Se caracteriza por sus filas y columnas. Con las matrices se pueden realizar operaciones como suma, resta y multiplicación.

Propiedades de la multiplicación de matrices

• Es una operación interna (si las dimensiones son compatibles).
• Es asociativa: (AB)C = A(BC).
• No es, en general, conmutativa: AB ≠ BA en general.
• Existe un elemento neutro, la matriz identidad I, tal que AI = IA = A.

Teorema de la matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada. A tiene inversa si y solo si det(A) ≠ 0. En tal caso, la inversa puede expresarse mediante la matriz de cofactores (adjunta) transpuesta:

A^-1 = (1 / det(A)) · adj(A)^T.

Además, por las propiedades del determinante:... Continuar leyendo "Matrices, Determinantes e Introducción a Sistemas y Teoremas de Cálculo" »

Etika eta Morala

Erantzukizuna

Askeak izatetik datorkigun giza ahalmena da, eta gure ekintzen ondorioez jabetzean datza. Ondorio horiek kanpokoak (inguruan eta besteenganako eraginak) eta barnekoak (gure buruan dituzten eraginak) izan daitezke.

• Askeak izanik: Nahiz eta erabat aske ez izan, askatasun mugatua dugulako.
• Gure ekintzak: Kontzienteki burututakoak izan behar dira (ez nahigabe eginak, bai nahimenez egiten ditugunak, ez gainditzeko ezjakintasuna).
• Ondorioak: Balorazio morala dute gure ekintzek. Bi alderdi dituzte:
  • Kanpo-eragina: Gu bizi garen gizartean uzten dute aztarna.
  • Barne-eragina: Gure ongizatearen alde ala aurka izan daiteke.

Arau Moralak

Ekintza konkretuak egin behar diren modua erakusten duten jarraibideak dira. Arau Moralek Balore... Continuar leyendo "Erantzukizuna, Gizartekoitasuna eta Estatu Demokratikoa" »

Estudio de Funciones: Pasos Esenciales

1. Dominio

   Determinar el conjunto de valores para los cuales la función está definida.

2. Puntos de corte con los ejes

   • Eje OY (Ordenadas): Calcular f(0). El punto de corte es (0, f(0)), si 0 pertenece al dominio.
   • Eje OX (Abscisas): Resolver la ecuación f(x) = 0. Las soluciones son las abscisas de los puntos de corte (x, 0).

3. Regiones (Signo de la función)

   Estudiar el signo de f(x) en los intervalos definidos por los puntos de corte con el eje OX y los puntos fuera del dominio.

4. Simetrías

   • Función Par (Simetría respecto al eje OY): Si f(x) = f(-x) para todo x en el dominio.
   • Función Impar (Simetría respecto al origen): Si f(-x) = -f(x) para todo x en el dominio.

5. Periodicidad

   Una función es periódica, de período T

Conceptos Clave de Matemáticas

Operaciones Matemáticas

• Cuadrado de una suma:
• Cuadrado de una diferencia:
• Suma por diferencia:
• Decimal exacto: cuando el número de cifras decimales es infinito.
• Números: Naturales (N); Enteros (Z) (-2, -1, 0, +1, +2); Racionales (Q): {?; ¾, etc. además de los N y Z}; Irracionales (R) {? y los anteriores}.
• Error absoluto: E = N - n;
• Error relativo:

Logaritmos

• Logaritmo: En base positiva y distinta de uno, de número x, a otro número y que es el exponente al que hay que elevar la base (a) para reproducir el número dado x; se escribe:
• Logaritmo de un producto:
• Logaritmo de un cociente:
• Logaritmo de una potencia:
• Logaritmo de una raíz:

Porcentajes

• Para aumentar: C + 0,08 x C = (1 + 0,08) x C = 1,08 x C
• Para disminuir: C -

Ejercicios Resueltos de Cálculo Diferencial e Integral

Funciones y sus Propiedades

1. 1. ¿Cuál de las siguientes gráficas no es una función?

   D)

2. 2. El dominio de la función f expresada por la siguiente gráfica es:

   

   A)

3. 3. El dominio de la función es:

   B)

4. 4. El rango o imagen de la función representada por la siguiente gráfica es:

   

   A)

5. 5. El rango o imagen de la función es:

   C)

6. 6. Dadas las funciones , la composición de funciones es:

   D)

7. 7. Dadas las funciones , el dominio de la composición de funciones es:

   D)

8. 8. Si , la función inversa es:

   B)

9. 9. La gráfica que representa es:

   A)

Límites y Continuidad

10. 10. Al determinar el límite se obtiene:

    B)

11. 11. Al calcular el límite se obtiene:

    D)

12. 12. Al calcular el límite se obtiene:

    C) 8

13. 13. Al calcular

Conceptos Clave de Cálculo

Asíntotas

• Asíntota Horizontal (AH): Se define como y = nº, donde nº es el valor del límite de la función cuando x tiende a infinito.
• Asíntota Vertical (AV): Se define como x = nº, donde nº es un valor que no pertenece al dominio de la función y el límite de la función cuando x tiende a ese valor es infinito.
• Asíntotas Oblicuas (AO): Si existe una asíntota horizontal, no puede haber una asíntota oblicua. Para calcularla:
  • m es igual al límite de la función dividida por x cuando x tiende a infinito.
  • n es igual al límite de la función menos mx cuando x tiende a infinito.

Continuidad

Una función es continua en un punto a si el límite de la función cuando x tiende a a por la derecha (a+) es igual al límite... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Cálculo: Asíntotas, Continuidad, Derivabilidad y Optimización" »

Bigarren Industria Iraultza: Garapena eta Eragina

Bigarren Industria Iraultza, 1870etik 1914ra bitartean, aurrekaririk gabeko garapena izan zuen industriaren eta finantzen sektoreetan. Bigarren Industria Iraultzan izandako arrakastaren arrazoietako bat oinarrizko garapen zientifikoa izan zen. Matematika, fisika eta antzeko arloetan garapen handiak izan ziren.

Energia-iturri Berriak

Elektrizitatea eta petrolioa finkatu ziren energia-iturri gisa, eta ikatzarekin eta lurrun-makinarekin lehiatu ziren. Grammek dinamoa asmatu zuen 1872an, Edisonek bonbilla asmatu zuen, eta Bellek telefonoa asmatu zuen. Industriaren sektorean petrolioa ezartzea ere mantso gertatu zen, autoaren garapenari lotuta.

Puntako Sektore Berriak

Siderurgia eta metalurgia garatu... Continuar leyendo "Bigarren Industria Iraultza: Garapena eta Eragina (1870-1914)" »

Condiciones de Optimización en Cálculo Multivariable

Condición Suficiente de Optimalidad (Criterio de la Segunda Derivada)

Si para una función escalar f, se cumple que:

• Si el gradiente de f en a es cero (∇f(a) = 0) y la matriz Hessiana Hf(a) es definida positiva, entonces f tiene un mínimo local en a.
• Si el gradiente de f en a es cero (∇f(a) = 0) y la matriz Hessiana Hf(a) es definida negativa, entonces f tiene un máximo local en a.

Optimización Convexa

Una función f es convexa en un conjunto A si para cualquier x, y en A y cualquier λ en [0, 1], se cumple:

f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)

Teoría Local-Global

Sea A un conjunto convexo y f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ una función escalar. Se verifica que:

• Si f es cóncava, entonces todo

Divisió de Polinomis

Es posa en forma de divisió de tota la vida. Es busca un número que multiplicat pel primer que divideix doni el primer número de l'esquerra. Aquest número que trobem el multipliquem pels altres dos números que divideixen i els anem apuntant. Fem la resta dels números que hem obtingut amb els del principi. Anem repetint afegint números fins arribar a grau 2.

Ruffini

Dividir pel número que et donen canviant de signe (el de fora de la caixa). Es baixa el primer número i es multiplica pel de fora de la caixa i es fica el resultat a la dreta. Se suma el que hem posat amb el de dalt i anotem el resultat a baix, i així amb tots.

Arrel d'un Polinomi

Passar d'un polinomi fins a grau 1. Diverses solucions. Primer s'iguala a... Continuar leyendo "Divisió de Polinomis, Ruffini i Factorització: Guia Completa" »

Conceptos Fundamentales de Álgebra

Sistemas de Ecuaciones con Dos Incógnitas

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas puede representar rectas que se comportan de las siguientes maneras:

• Se cortan en un punto.
• Son coincidentes (misma pendiente y ordenada en el origen).
• Son paralelas (misma pendiente, diferente ordenada en el origen).

Por lo tanto, el conjunto solución puede tener:

• Un solo punto (sistema compatible determinado).
• Infinitos puntos (sistema compatible indeterminado).
• Ningún punto (sistema incompatible).

En resumen, los sistemas se clasifican en:

• Compatibles
  • Determinados (un punto de intersección, perpendiculares).
  • Indeterminados (infinitos puntos).
• Incompatibles (paralelas, sin punto de solución).

Cuadrado y Cubo de Binomios

• Cuadrado