Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Fundamentos de Matemáticas

Funciones

f(x) = [x] (b) es una función valor absoluto
f(x) = √x (i) es una función radical
f(x) = 1/x (a) es una función racional
f(x) = x² (c) es una función cuadrática

Dominio de Funciones

La función f(x) = √(x-3) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≥ 3 }
La función f(x) = (x-2)/(x-9) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≠ 9 }

Propiedades de Funciones

• La gráfica de la función logarítmica pasa por el punto (1,0)
• El recorrido de la función exponencial f(x) = a^x es el intervalo (0 , ∞)
• El recorrido de la función seno es el intervalo [ -1,1]
• Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Logaritmos

Ejercicios de Logaritmos

Ejercicio 1

El log_1/49 -2 ¿cuál es el valor... Continuar leyendo "Fundamentos de Matemáticas: Funciones, Logaritmos y Geometría Analítica" »

Introducción a las Funciones Reales de Variable Real

Se llama función real de variable real a una aplicación de un subconjunto de los números reales en los números reales.

Dominio y Recorrido de una Función

• Dominio de una función (Dom f): Es el subconjunto formado por todos los números reales para los que se puede hallar la imagen de la función f.
• Recorrido de una función: Se llama recorrido de la función al subconjunto de los números reales formado por todas las imágenes de la función.

Simetría de las Funciones

Una función es par o simétrica respecto al eje Y cuando verifica f(x) = f(-x) para todo x ∈ Dom f.

Se dice que una función es impar o simétrica respecto del origen de coordenadas si f(x) = -f(-x) para todo x ∈ Dom f.... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Funciones Matemáticas: Dominio, Simetría y Derivadas" »

Fórmulas Matemáticas para Fracciones

Aquí encontrarás fórmulas que pueden ser útiles para aprender fracciones y sumar y restar números decimales:

Suma de Fracciones

1. Suma de fracciones con el mismo denominador: a/b + c/b = (a+c)/b

2. Suma de fracciones con distinto denominador: a/b + c/d = (ad+bc)/bd

Resta de Fracciones

3. Resta de fracciones con el mismo denominador: a/b - c/b = (a-c)/b

4. Resta de fracciones con distinto denominador: a/b - c/d = (ad-bc)/bd

Conversión de Decimales a Fracciones

5. Conversión de un número decimal a fracción: Veamos el proceso de conversión de un número decimal a fracción utilizando el ejemplo de 0,75:

• El número decimal 0,75 tiene 2 cifras después del punto decimal, por lo que desplazamos el denominador

EJERCICIO 1: Programación Lineal

Sea R la región factible definida por las siguientes inecuaciones:

• $x \geq y$
• $3 \leq x$
• $x \leq 5$
• $y \geq 1$

1. (0.5 puntos) Razone si el punto $(4.5, 1.55)$ pertenece a R.
2. (1.5 puntos) Dada la función objetivo $F(x, y) = 2x - y$, calcule sus valores extremos en R.
3. (0.5 puntos) Razone si hay algún punto de R donde la función $F$ valga $3.5$. ¿Y $7.5$?

EJERCICIO 2: Funciones y Límites (Modelado Empresarial)

En una empresa de montajes, el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días trabajados ($t$) según la función:

$$M(t) = \frac{17t + 11}{t + 12}, \quad \text{donde } t \geq 1$$

donde $t$ es el número de días trabajados.

1. (0.5 puntos) ¿Cuántos montajes realiza el primer día?

• Australopitekoak

  Arbaso antzinakoenak dira. Beren aztarna zaharrenak Kenyan aurkitu ziren (Hegoafrikan ere bai). Australopitekoen artean ospetsuena afarensisa da, eta Lucy izena jarri zioten. Haren hezurdura ia osorik aurkitu zuten, fosil bihurtuta. Emea zen, burezur txikia zuen, zutik ibiltzen zen, eta kumeak izan zituen. Bere aztarnek 3,2 milioi urte dituzte gutxi gorabehera.

• Homo habilis

  "Gizaki trebea" esan nahi du. Tresna xumeak erabiltzen zituztela frogatzen dute hauen aztarnek. Zuhaitzetan ere bizi ziren, ez bakarrik lurrean. Hominido hauen garaiera Australopitekoarenaren antzekoa zen, baina garezurra haiena baino handiagoa zuten. Tanzanian bizi izan ziren, orain dela 1,9-1,6 milioi urte.

• Homo erectus

  Bi oinen gaineko jarrera finkatua zuten,

Vectores Perpendiculares y Producto Escalar (90°)

Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si su producto escalar es cero:

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$

Ejemplo de Vector Perpendicular

Sea $\vec{u} = (3, -4)$. Buscamos $\vec{v} = (v_1, v_2)$ tal que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

La ecuación a resolver es: $3v_1 - 4v_2 = 0$.

Una solución posible es $\vec{v} = (4, 3)$, ya que $3(4) + (-4)(3) = 12 - 12 = 0$.

(Nota: El documento original proponía la solución $\vec{v} = (-4, -3)$, que también es válida, ya que $3(-4) + (-4)(-3) = -12 + 12 = 0$. Se recomienda verificar siempre la condición $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.)

Criterio de Paralelismo entre Vectores

Dos vectores $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2)$ son paralelos si... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra Vectorial: Operaciones, Módulo y Sistemas de Coordenadas" »

Fórmulas Geométricas Esenciales: Áreas y Volúmenes

Recopilación de fórmulas para calcular el área y el volumen de las figuras geométricas más comunes.

Figuras Planas (2D)

• Triángulo

  Área: (b × h) / 2

  Donde: b = base, h = altura

• Círculo

  Área: π × r²

  Perímetro (Circunferencia): 2 × π × r

  Donde: r = radio, π ≈ 3.14159...

• Trapecio

  Área: ((B + b) / 2) × h

  Donde: B = Base mayor, b = base menor, h = altura

• Hexágono Regular

  Área: (3 × √3 × a²) / 2

  Donde: a = longitud del lado

  Alternativa: (Perímetro × apotema) / 2

Cuerpos Geométricos (3D)

• Cubo

  Diagonal: a × √3

  Área Superficial: 6 × a²

  Volumen: a³

  Donde: a = longitud de la arista

• Prisma Recto

  Área Superficial: Perímetro_base × h + 2 × Área_base

  Volumen: Área_base × h

  Donde:

Funciones y sucesiones

Definición de función

Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B.

Definición de sucesión

Una sucesión es una lista de números escritos en un orden específico.

Propiedades de las funciones

Función positiva

Una función es positiva en un intervalo I de su dominio si se verifica que todos los valores de la función en el intervalo I son mayores que 0.

Función creciente

Una función f, definida en un conjunto D, es creciente en dicho conjunto si y sólo si para todo par de números x e y en D, si x es menor que y, entonces f(x) es menor o igual que f(y).

Límites de una función

Definición de límite

Definición de límite de una función en