Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

• Australopitekoak

  Arbaso antzinakoenak dira. Beren aztarna zaharrenak Kenyan aurkitu ziren (Hegoafrikan ere bai). Australopitekoen artean ospetsuena afarensisa da, eta Lucy izena jarri zioten. Haren hezurdura ia osorik aurkitu zuten, fosil bihurtuta. Emea zen, burezur txikia zuen, zutik ibiltzen zen, eta kumeak izan zituen. Bere aztarnek 3,2 milioi urte dituzte gutxi gorabehera.

• Homo habilis

  "Gizaki trebea" esan nahi du. Tresna xumeak erabiltzen zituztela frogatzen dute hauen aztarnek. Zuhaitzetan ere bizi ziren, ez bakarrik lurrean. Hominido hauen garaiera Australopitekoarenaren antzekoa zen, baina garezurra haiena baino handiagoa zuten. Tanzanian bizi izan ziren, orain dela 1,9-1,6 milioi urte.

• Homo erectus

  Bi oinen gaineko jarrera finkatua zuten,

Vectores Perpendiculares y Producto Escalar (90°)

Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si su producto escalar es cero:

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$

Ejemplo de Vector Perpendicular

Sea $\vec{u} = (3, -4)$. Buscamos $\vec{v} = (v_1, v_2)$ tal que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

La ecuación a resolver es: $3v_1 - 4v_2 = 0$.

Una solución posible es $\vec{v} = (4, 3)$, ya que $3(4) + (-4)(3) = 12 - 12 = 0$.

(Nota: El documento original proponía la solución $\vec{v} = (-4, -3)$, que también es válida, ya que $3(-4) + (-4)(-3) = -12 + 12 = 0$. Se recomienda verificar siempre la condición $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.)

Criterio de Paralelismo entre Vectores

Dos vectores $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2)$ son paralelos si... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra Vectorial: Operaciones, Módulo y Sistemas de Coordenadas" »

Fórmulas Geométricas Esenciales: Áreas y Volúmenes

Recopilación de fórmulas para calcular el área y el volumen de las figuras geométricas más comunes.

Figuras Planas (2D)

• Triángulo

  Área: (b × h) / 2

  Donde: b = base, h = altura

• Círculo

  Área: π × r²

  Perímetro (Circunferencia): 2 × π × r

  Donde: r = radio, π ≈ 3.14159...

• Trapecio

  Área: ((B + b) / 2) × h

  Donde: B = Base mayor, b = base menor, h = altura

• Hexágono Regular

  Área: (3 × √3 × a²) / 2

  Donde: a = longitud del lado

  Alternativa: (Perímetro × apotema) / 2

Cuerpos Geométricos (3D)

• Cubo

  Diagonal: a × √3

  Área Superficial: 6 × a²

  Volumen: a³

  Donde: a = longitud de la arista

• Prisma Recto

  Área Superficial: Perímetro_base × h + 2 × Área_base

  Volumen: Área_base × h

  Donde:

Funciones y sucesiones

Definición de función

Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B.

Definición de sucesión

Una sucesión es una lista de números escritos en un orden específico.

Propiedades de las funciones

Función positiva

Una función es positiva en un intervalo I de su dominio si se verifica que todos los valores de la función en el intervalo I son mayores que 0.

Función creciente

Una función f, definida en un conjunto D, es creciente en dicho conjunto si y sólo si para todo par de números x e y en D, si x es menor que y, entonces f(x) es menor o igual que f(y).

Límites de una función

Definición de límite

Definición de límite de una función en

Estadística: Definición y División

Definimos estadística como la ciencia que recolecta, describe e interpreta una cantidad de datos, los cuales se organizan y procesan para brindar información.

División de la Estadística

• Estadística descriptiva: Se dedica a la organización y resumen de los datos, utilizando fórmulas.
• Estadística inferencial: Permite la emisión de juicios o conclusiones basados en los conocimientos que se tiene de la población o muestra.

Probabilidad

Tiene como significado aquella posibilidad de que un hecho suceda.

Tipos de Datos

• Cuantitativos: Se refieren a la cantidad, es decir, son números que representan un conteo de datos. Ejemplo: el número de años, el peso o la estatura.
  • Discretos: Se refieren a cuando los datos

Vocabulario del hogar en francés

Interior

1. El piso: L'étage

2. El aparador: Le buffet

3. El árbol: L'arbre

4. El armario: L'armoire

5. El armario empotrado: Le placard

6. El ascensor: L'ascenseur

7. El aseo, los servicios: Les toilettes

8. El balcón: Le balcon

9. El barrio: Le quartier

10. El camino: Le chemin

11. El centro de la ciudad: Le centre-ville

12. El chalet: Le pavillon

13. El comedor: La salle à manger

14. El corredor, el pasillo: Le couloir

15. El cuarto de baño: La salle de bains

16. El descansillo: Le palier

17. El despacho: Le bureau

18. El desván: Le grenier

19. El distrito: L'arrondissement

20. El diván: Le divan

21. El dormitorio: La chambre (à coucher)

22. El escritorio: Le bureau

23. El estudio: Le studio

24. El garaje: Le garage

25. El

Institución Educativa Distrital Betania Norte

Actividad de Estadística: Medidas de Tendencia Central y Diagrama de Tallo y Hoja

1. Observación de datos en tabla

A partir de la información suministrada en la tabla, responde las siguientes preguntas:

• a. ¿Cuál es la moda para los hombres?
  R: La moda para los hombres son 35 y 70.
• b. ¿Cuál es la moda para las mujeres?
  R: La moda para las mujeres es 40.
• c. ¿Cuál es la moda para el total de datos?
  R: La moda para el total de datos es 40.

2. Cálculo del promedio de recorridos

Juan hace los siguientes recorridos durante 4 días: 20 cuadras, 25 cuadras, 19 cuadras y 23 cuadras. ¿Cuántas cuadras recorre en promedio cada semana?

Operación:
20 + 25 + 19 + 23 = 87
87 ÷ 4 = 21,75

R: En promedio, recorre 21,

Conceptos Fundamentales de Estadística

La estadística es la ciencia que se encarga de estudiar, recopilar, analizar, interpretar y presentar datos, así como de comprender los procesos aleatorios que los generan.

Conceptos Básicos

• Población: Conjunto completo de individuos u objetos que comparten una característica particular en común.
• Muestra: Subconjunto o parte de la población.
• Muestra aleatoria: Subconjunto de la población seleccionado al azar, donde cada elemento tiene la misma probabilidad de ser elegido.
• Muestra sesgada: Subconjunto de la población en cuya selección interviene la voluntad del investigador o algún otro factor no aleatorio.

Ramas de la Estadística

• Estadística descriptiva: Se enfoca en la recopilación, organización,

Estudio de Funciones Radicales sin Denominador

Consideremos la función: f(x) = √(x² - 4)

1. Dominio y Continuidad

• Dominio: El interior de la raíz debe ser mayor o igual a 0.
  • x² - 4 ≥ 0
  • Factorizando: (x - 2)(x + 2) ≥ 0
  • Los puntos críticos son x = 2 y x = -2.
  • Se traza una línea numérica y se representan los dos valores obtenidos. Luego, se sustituyen valores de cada intervalo en el interior de la raíz para determinar el dominio:
    • Para x = -3: (-3)² - 4 = 9 - 4 = 5 ≥ 0 (Verdadero)
    • Para x = 0: (0)² - 4 = -4 ≥ 0 (Falso)
    • Para x = 3: (3)² - 4 = 9 - 4 = 5 ≥ 0 (Verdadero)
  • Por lo tanto, el dominio de la función es: Dom f(x) = (-∞, -2] ∪ [2, +∞).
• Continuidad: Todas las funciones radicales son continuas en su dominio.

2. Puntos de Corte

• Eje