Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Conceptos Básicos de Derivadas

Si X es un intervalo abierto, f: X->R una función continua en a ∈ X, se dice que f es derivable en a si existe el límite:

y es un número real (es decir, no es infinito). El valor del límite lo denominamos derivada de f en x = a, y lo representamos por f’(a), Df(a) o por df/dx (a).

Derivada por la Derecha

Si X es un intervalo, f: X -> R una función y a ∈ X, se dice que f es derivable por la derecha en a si existe el límite por la derecha y es finito:

Al valor del límite lo llamamos derivada por la derecha de f en x = a, y lo representamos por f’(a+). Es decir, la variable se aproxima al punto por la derecha, y por tanto es siempre x > a.

Derivada por la Izquierda

Si X es un intervalo, f: X ->... Continuar leyendo "Derivadas y Teoremas de Rolle, Cauchy y Valor Medio: Conceptos Básicos" »

Derivada por Definición de Límite

La derivada de una función f(x) se define formalmente mediante el límite:

lim_h→0   ^{f(x+h) - f(x)}⁄_h

Ejemplo Práctico: Derivación de f(x) = x² + x - 3

Aplicaremos la definición de límite para encontrar la derivada de f(x) = x² + x - 3:

lim_h→0   ^{((x+h)2 + (x+h) - 3) - (x2 + x - 3)}⁄_h

Expandimos el término (x+h)² y simplificamos:

lim_h→0   ^{(x2 + 2xh + h2 + x + h - 3 - x2 - x + 3)}⁄_h

Agrupamos y cancelamos términos:

lim_h→0   ^{(2xh + h2 + h)}⁄_h

Factorizamos h en el numerador y simplificamos:

lim_h→0   ^{h(2x + h + 1)}⁄_h

Esto nos deja con:

2x + h + 1

Finalmente, sustituimos h = 0 en la expresión resultante:

2x + 0 + 1 = 2x + 1

Por lo tanto, la derivada de f(x) = x² + x - 3 es f'(x) = 2x + 1.

Ecuación de

Ejercicios de Probabilidad Resueltos de Selectividad (2006-2011)

A continuación, se presentan una serie de ejercicios de probabilidad tomados de exámenes de Selectividad de diferentes años, desde 2006 hasta 2011. Estos problemas cubren una variedad de temas dentro del campo de la probabilidad, incluyendo sucesos aleatorios, probabilidad condicionada, sucesos independientes y más.

Año 2011

• En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y…
• Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene…
• Un examen consta de una parte teórica y una parte…
• Pedro vive en una ciudad donde el 40% de…
• Sean los sucesos, A y B, tales que…
• Una compañía aseguradora realiza operaciones de…
• Un jugador lanza a la vez un dado y una moneda…
• Una

Combinatoria: Fundamentos y Conceptos Clave

La combinatoria es la rama de las matemáticas que se dedica a obtener todas las agrupaciones posibles de un conjunto de elementos.

Principios Fundamentales de la Combinatoria

• Principio de Multiplicación

  El principio de multiplicación establece el número de maneras distintas de realizar varias tareas sucesivas e independientes.

• Permutación

  La permutación de un número natural n (n ≥ 1), representada por n!, es el producto de todos los números enteros positivos desde n hasta 1. Para n = 0, se define 0! = 1.

• Permutación de n Elementos

  Las permutaciones de n elementos son las n! maneras diferentes de ordenar dichos elementos (P_n).

• Variaciones (Números Combinatorios)

  El número de maneras de elegir ordenadamente

Fundamentos de Matemáticas

Funciones

f(x) = [x] (b) es una función valor absoluto
f(x) = √x (i) es una función radical
f(x) = 1/x (a) es una función racional
f(x) = x² (c) es una función cuadrática

Dominio de Funciones

La función f(x) = √(x-3) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≥ 3 }
La función f(x) = (x-2)/(x-9) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≠ 9 }

Propiedades de Funciones

• La gráfica de la función logarítmica pasa por el punto (1,0)
• El recorrido de la función exponencial f(x) = a^x es el intervalo (0 , ∞)
• El recorrido de la función seno es el intervalo [ -1,1]
• Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Logaritmos

Ejercicios de Logaritmos

Ejercicio 1

El log_1/49 -2 ¿cuál es el valor... Continuar leyendo "Fundamentos de Matemáticas: Funciones, Logaritmos y Geometría Analítica" »

Introducción a las Funciones Reales de Variable Real

Se llama función real de variable real a una aplicación de un subconjunto de los números reales en los números reales.

Dominio y Recorrido de una Función

• Dominio de una función (Dom f): Es el subconjunto formado por todos los números reales para los que se puede hallar la imagen de la función f.
• Recorrido de una función: Se llama recorrido de la función al subconjunto de los números reales formado por todas las imágenes de la función.

Simetría de las Funciones

Una función es par o simétrica respecto al eje Y cuando verifica f(x) = f(-x) para todo x ∈ Dom f.

Se dice que una función es impar o simétrica respecto del origen de coordenadas si f(x) = -f(-x) para todo x ∈ Dom f.... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Funciones Matemáticas: Dominio, Simetría y Derivadas" »

Fórmulas Matemáticas para Fracciones

Aquí encontrarás fórmulas que pueden ser útiles para aprender fracciones y sumar y restar números decimales:

Suma de Fracciones

1. Suma de fracciones con el mismo denominador: a/b + c/b = (a+c)/b

2. Suma de fracciones con distinto denominador: a/b + c/d = (ad+bc)/bd

Resta de Fracciones

3. Resta de fracciones con el mismo denominador: a/b - c/b = (a-c)/b

4. Resta de fracciones con distinto denominador: a/b - c/d = (ad-bc)/bd

Conversión de Decimales a Fracciones

5. Conversión de un número decimal a fracción: Veamos el proceso de conversión de un número decimal a fracción utilizando el ejemplo de 0,75:

• El número decimal 0,75 tiene 2 cifras después del punto decimal, por lo que desplazamos el denominador

EJERCICIO 1: Programación Lineal

Sea R la región factible definida por las siguientes inecuaciones:

• $x \geq y$
• $3 \leq x$
• $x \leq 5$
• $y \geq 1$

1. (0.5 puntos) Razone si el punto $(4.5, 1.55)$ pertenece a R.
2. (1.5 puntos) Dada la función objetivo $F(x, y) = 2x - y$, calcule sus valores extremos en R.
3. (0.5 puntos) Razone si hay algún punto de R donde la función $F$ valga $3.5$. ¿Y $7.5$?

EJERCICIO 2: Funciones y Límites (Modelado Empresarial)

En una empresa de montajes, el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días trabajados ($t$) según la función:

$$M(t) = \frac{17t + 11}{t + 12}, \quad \text{donde } t \geq 1$$

donde $t$ es el número de días trabajados.

1. (0.5 puntos) ¿Cuántos montajes realiza el primer día?

• Australopitekoak

  Arbaso antzinakoenak dira. Beren aztarna zaharrenak Kenyan aurkitu ziren (Hegoafrikan ere bai). Australopitekoen artean ospetsuena afarensisa da, eta Lucy izena jarri zioten. Haren hezurdura ia osorik aurkitu zuten, fosil bihurtuta. Emea zen, burezur txikia zuen, zutik ibiltzen zen, eta kumeak izan zituen. Bere aztarnek 3,2 milioi urte dituzte gutxi gorabehera.

• Homo habilis

  "Gizaki trebea" esan nahi du. Tresna xumeak erabiltzen zituztela frogatzen dute hauen aztarnek. Zuhaitzetan ere bizi ziren, ez bakarrik lurrean. Hominido hauen garaiera Australopitekoarenaren antzekoa zen, baina garezurra haiena baino handiagoa zuten. Tanzanian bizi izan ziren, orain dela 1,9-1,6 milioi urte.

• Homo erectus

  Bi oinen gaineko jarrera finkatua zuten,