Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Asíntotas Horizontales

Condición: Grado del numerador ≤ Grado del denominador

1. Calcular el límite cuando x tiende a ∞ de la función. Si el resultado es un número, existe una asíntota horizontal.
2. Calcular el límite de +∞ y -∞ de la función para determinar la dirección de la asíntota.

Asíntotas Verticales

1. Igualar el denominador a 0.
2. Calcular el límite del valor obtenido. Habrá una asíntota vertical si el límite tiende a +∞ o -∞.
3. Calcular los límites laterales del valor para determinar la dirección de la asíntota.

Continuidad y Derivabilidad

1. Para que una función sea derivable, debe ser continua.
2. Para que una función sea continua, los límites laterales y la imagen deben ser iguales.
3. Si la función es continua, calcular la derivabilidad.

Geometría Analítica: Posiciones Relativas, Distancias y Procedimientos Clave

Este documento resume conceptos fundamentales y procedimientos esenciales de la geometría analítica en el espacio, abordando la posición relativa entre elementos geométricos, el cálculo de distancias y la determinación de elementos específicos.

Posición Relativa entre Elementos Geométricos

Posición Relativa de Dos Rectas

Para determinar la posición relativa de dos rectas, r y s, se utilizan las matrices de coeficientes y la matriz ampliada de sus ecuaciones. Sea A la matriz formada por los vectores directores de las rectas (V_r, V_s) y A* la matriz ampliada que incluye también el vector que une un punto de r con un punto de s (P_sP_r).

• Rectas que se cruzan: Si

Muestreo

El muestreo es la selección de un conjunto de elementos que se consideran representativos de una población, con la finalidad de determinar ciertas características de dicha población. Por ejemplo, la prueba de todo un producto puede destruirlo, por lo que solo se necesita una porción o muestra.

Muestreo Estadístico

El muestreo estadístico es una técnica para la selección de una muestra a partir de una población.

Ventajas del Muestreo Estadístico

• Cuando la población es muy grande.
• Las características de la población varían si el estudio se prolonga demasiado tiempo.
• Reducción de costos.
• Rapidez en la obtención de resultados.
• La población es homogénea respecto a la característica de interés.
• El proceso de estudio es destructivo

Este documento presenta una tabla detallada de las consonantes, clasificadas según su punto y modo de articulación, utilizando el Alfabeto Fonético Internacional (IPA). Es una herramienta fundamental para el estudio de la fonética y la fonología de diversas lenguas.

Tabla de Consonantes (IPA)

Aurrean dugun testua, 1855eko ekainaren 6an Gorteek eta Isabel II.ak Espainiar herritarrei idatzitako Burdinbideen Lege Orokorra da, Isabel II.a adin nagusitasunaren erregealdian. Honen asmoa trenbidearen eraikuntza herritarrei zabaltzea da. Jatorriaren aldetik, lehen mailako iturri bat dela esan dezakegu. Forma juridikoa dauka eta edukiaren aldetik ekonomikoa dela nabarmendu dezakegu.

Hitz gakoak

• Gorteak: Espainiako probintzia desberdinetako, 3 estamentuetako ordezkarien batzarra.

Ideia nagusiak

Testuan azaltzen diren ideia nagusiak honela laburbildu daitezke:

• Sarrera: Isabel II.ak Gorteek agindutakoa berresten du eta herritarrei jakinarazten die.
• 4. artikulua: Zerbitzu orokorreko trenbidearen eraikuntzaren kontrola partikularrek, gobernuak eta

Dibujo de Polígonos Regulares en Scratch

Instrucciones

Cuadrado

• Repetir 4 veces:
  • Mover 50 pasos
  • Girar 90º

T

• Apuntar hacia la derecha 90º
• Borrar
• Bajar lápiz
• Mover 50 pasos
• Girar a la izquierda 180º
• Mover 25 pasos
• Girar a la izquierda 90º
• Mover 50 pasos
• Girar a la izquierda 90º

Cuadrado partido por la mitad

• Apuntar hacia la derecha 90º
• Borrar
• Bajar lápiz
• Girar a la izquierda 90º
• Mover 50 pasos
• Girar a la izquierda 90º
• Mover 25 pasos
• Girar a la izquierda 90º
• Mover 50 pasos
• Girar a la izquierda 90º
• Mover 50 pasos
• Girar a la izquierda 90º
• Mover 50 pasos
• Girar a la izquierda 90º
• Mover 25 pasos
• Girar a la izquierda 180º

T con relleno

• Apuntar hacia la derecha 90º
• Borrar
• Bajar lápiz
• Mover 60 pasos
• Girar a la derecha 90º
• Mover 20 pasos
• Girar a la derecha 90º
• Mover 20 pasos
• Girar

Tablas Unidimensionales

Las tablas unidimensionales se utilizan para organizar datos de una sola variable (X) junto con sus frecuencias (fi).

Cálculos Esenciales en Tablas Unidimensionales

• fi · xi: Producto de la frecuencia absoluta por el valor de la variable.
• Fi (Frecuencia Acumulada): Es la suma acumulada de los valores de fi.
• fi · xi²: Producto de la frecuencia absoluta por el cuadrado del valor de la variable.

Medidas de Centralización

• Moda: El valor de la variable que presenta la mayor frecuencia (el que más se repite).
• Media Aritmética (Promedio): Se calcula como la suma de (fi · xi) dividida por la suma total de las frecuencias (Σfi).
  Media = Σ(fi · xi) / Σfi
• Mediana: Para localizarla, se calcula N/2 (donde N es la suma total de las

Introducción a los Grafos Bipartidos y Planos

En la teoría de grafos, existen conceptos fundamentales que nos permiten entender la estructura y las propiedades de diversas redes. A continuación, exploraremos definiciones clave relacionadas con los apareamientos, la planaridad y la coloración de grafos.

Condición de Diversidad para Apareamientos

Si G = (V, E) es un grafo bipartido con V = V' ∪ V'', G tiene un apareamiento de V' a V'' si y solo si k vértices en V' (donde k = 1, 2, ..., |V'|) son adyacentes con al menos k vértices en V'' (es decir, hay al menos k vértices en V'' adyacentes con alguno de los k vértices de V').

Condición Suficiente de Apareamiento

Si G = (V, E) es un grafo bipartido con V = V' ∪ V'' y existe t > 0 tal... Continuar leyendo "Principios Esenciales de la Teoría de Grafos: Apareamientos, Planaridad y Coloración" »