Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Tablas Unidimensionales

Las tablas unidimensionales se utilizan para organizar datos de una sola variable (X) junto con sus frecuencias (fi).

Cálculos Esenciales en Tablas Unidimensionales

• fi · xi: Producto de la frecuencia absoluta por el valor de la variable.
• Fi (Frecuencia Acumulada): Es la suma acumulada de los valores de fi.
• fi · xi²: Producto de la frecuencia absoluta por el cuadrado del valor de la variable.

Medidas de Centralización

• Moda: El valor de la variable que presenta la mayor frecuencia (el que más se repite).
• Media Aritmética (Promedio): Se calcula como la suma de (fi · xi) dividida por la suma total de las frecuencias (Σfi).
  Media = Σ(fi · xi) / Σfi
• Mediana: Para localizarla, se calcula N/2 (donde N es la suma total de las

Introducción a los Grafos Bipartidos y Planos

En la teoría de grafos, existen conceptos fundamentales que nos permiten entender la estructura y las propiedades de diversas redes. A continuación, exploraremos definiciones clave relacionadas con los apareamientos, la planaridad y la coloración de grafos.

Condición de Diversidad para Apareamientos

Si G = (V, E) es un grafo bipartido con V = V' ∪ V'', G tiene un apareamiento de V' a V'' si y solo si k vértices en V' (donde k = 1, 2, ..., |V'|) son adyacentes con al menos k vértices en V'' (es decir, hay al menos k vértices en V'' adyacentes con alguno de los k vértices de V').

Condición Suficiente de Apareamiento

Si G = (V, E) es un grafo bipartido con V = V' ∪ V'' y existe t > 0 tal... Continuar leyendo "Principios Esenciales de la Teoría de Grafos: Apareamientos, Planaridad y Coloración" »

Estadística: Conceptos Fundamentales y Clasificación

La Estadística es la ciencia que se encarga de la recopilación, el análisis, la interpretación y la presentación de una gran cantidad de datos. Es fundamental para recolectar información a partir de una muestra y obtener conclusiones válidas sobre una población.

Clasificación de la Estadística

• Estadística Descriptiva

  Se encarga de la organización, la síntesis y la presentación de datos. Se aplica cuando se dispone de la totalidad de los datos de una población o cuando la información proviene de una muestra, con el objetivo de describir sus características principales.

• Estadística Inductiva (o Inferencial)

  Se utiliza cuando se pretende estudiar una característica en una población

Optimización y Cálculo Multivariable: Conceptos Fundamentales

1. Optimización con Restricciones: Método de Lagrange

La función objetivo se define como P(x,y) = (x-y)².

Sujeto a la restricción: x² - y³ = 0.

1.1. Puntos Estacionarios y Multiplicadores de Lagrange

Para encontrar los puntos estacionarios, se construye la función Lagrangiana L(x,y,λ). Si hay múltiples restricciones, se añaden tantos multiplicadores λ como restricciones existan. En este caso, L(x,y,λ) = (x-y)² + λ(-x² + y³).

Se calculan las derivadas parciales de L con respecto a x, y, y λ, y se igualan a cero. Los puntos obtenidos se sustituyen para encontrar los valores de λ. El multiplicador asociado es λ.

1.2. Clasificación de Puntos Estacionarios: Matriz Hessiana

Para... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Optimización y Cálculo Multivariable" »

**Análisis de Regresión Múltiple**

**Introducción**

El análisis de regresión múltiple es una técnica estadística que se utiliza para modelar una variable de respuesta única (Y) en función de múltiples variables predictoras (X₁, X₂, ..., X_n). Para cada uno de los n casos observados, se recopilan los valores de la respuesta y de cada uno de los predictores.

**Hipótesis**

Las hipótesis del análisis de regresión múltiple son similares a las del modelo de regresión simple:

• Los errores no están correlacionados.
• Los errores se distribuyen normalmente con media 0 y varianza constante.

**Objetivos**

El análisis de regresión múltiple se utiliza para:

• Obtener estadísticas descriptivas generales, incluidas las correlaciones entre predictores

Contar y calcular

Contar es el proceso seguido para asignar a cada elemento de un conjunto finito su número ordinal. Es establecer una relación entre elementos de una colección y palabras-números.

Calcular es establecer una relación directa entre cantidades de unidades de un conjunto, que nos son dadas por su cardinal, sin pasar por la construcción de colecciones, cuyos elementos se cuentan.

Leyes de composición interna

Una ley de composición interna es una norma o una regla que nos dice la manera de hacer corresponder a dos elementos de un conjunto otro elemento del mismo conjunto.

Adición de números naturales

La adición de números naturales es una ley de composición interna. Esto quiere decir que la suma de dos números naturales es... Continuar leyendo "Operaciones básicas con números naturales: suma y resta" »

Examen 2:

1) Elección de Opciones

Nos dan a1 y a2 con sus q y nada de % pero misma probabilidad. ¿Cuál opción es mejor?

Respuesta: Hacemos matriz y luego E(a1) y E(a2) y elegimos en función de gastos o beneficios la mejor = RER.

2) Actuario y Probabilidad Condicional

Hay un actuario que cobra 50$ y si hay probabilidad condicional es INF IMPERF. ¿Pagaría o qué haría?

P(x1/q1) -> P(x2/q1) y abajo igual; hacemos la tabla con x1 y x2; qilP(xi/qi)lP(qi)*(Pxi/qi)lP(qi/xi.

Hacemos E(a1/x1) y multiplicamos por los 2 de la última fila y abajo (a2/x1) y luego optamos en función de beneficios o no; después lo mismo con x2; hacemos REII = P(X1)(suma de la fila de la tabla) * opt + (x2)(suma) * opt x2; hacemos VEll = REll - RER; se plantea aplicar... Continuar leyendo "Estrategias de Decisión en Situaciones de Riesgo y Probabilidad" »

La Inversión Geométrica: Definición y Fundamentos

La inversión es una transformación geométrica en la que a una figura corresponde otra, y en la que se cumplen las siguientes propiedades fundamentales:

• Dos puntos inversos ($A$ y $A’$) están alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión ($O$).
• El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante ($K$), denominada Potencia de Inversión.

Matemáticamente, esto se expresa como:

$$OA \cdot OA’ = OB \cdot OB’ = OT \cdot OT’ = K$$

Características Clave de la Inversión

La inversión posee propiedades distintivas que definen su comportamiento en el plano:

1. Dos pares de puntos inversos no alineados forman

Fundamentos de Combinatoria, Sucesiones y Recurrencias

Fórmulas Esenciales de Conteo (Combinatoria)

La combinatoria estudia las formas de contar colecciones de objetos. A continuación, se presentan las fórmulas fundamentales:

Permutaciones

• Permutación de orden n (sin repetición): El número de ordenamientos de n elementos distintos.

  Pn = n!

• Permutación con elementos indistinguibles (distintas): El número de ordenamientos que pueden formarse a partir de una colección de n objetos donde el objeto 1 aparece $k_1$ veces, el objeto 2 aparece $k_2$ veces, y así sucesivamente.

  n! / (k1! · k2! · ...)

• Permutación simple de r elementos tomados de n: Una secuencia (lista ordenada) formada por r elementos distintos seleccionados de un conjunto $

Conceptos Fundamentales de Inferencia Estadística

Contraste de Hipótesis

• H₀ (Hipótesis Nula): Lo que se acepta como verdadero y es sometido a comprobación experimental, intentando evaluar si la muestra aporta evidencia para rechazarla.
• H₁ (Hipótesis Alternativa): Hipótesis contraria a la nula.
• Región de aceptación: Conjunto complementario de muestras para las cuales el estadístico toma valores con los que se acepta la hipótesis nula.
• Región crítica: Conjunto de muestras para las cuales el estadístico toma valores para los que se rechaza la hipótesis nula.

Fases de un contraste de hipótesis

1. Formular H₀ y H₁.
2. Determinar el estadístico.
3. Seleccionar el nivel de significación.
4. Determinar la función crítica o de rechazo.
5. Calcular