Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Conceptos Básicos de Relaciones y Funciones

• Relación: Cuando existe alguna correspondencia entre elementos de dos conjuntos no vacíos.
• Función: Regla o correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto A uno y solo un elemento del conjunto B.
• Dominio: Elementos del conjunto de partida que tienen imagen.
• Codominio: Es el conjunto de llegada.
• Rango: Es el conjunto de imágenes de los elementos del dominio.
• Grafo: Es el conjunto de pares ordenados de una relación.
• Par ordenado: Formado por dos elementos que mantienen un orden que no se puede cambiar.
• Producto cartesiano: Formado por todos los pares ordenados de los elementos de los dos conjuntos.

El número total de pares se obtiene al multiplicar el número de elementos de los dos conjuntos;... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Funciones y Rectas en Matemáticas" »

Este documento presenta la evaluación de dos proyectos de inversión utilizando el criterio de la Tasa Interna de Retorno (TIR).

Planteamiento del Problema

Una empresa considera ampliar su gama de productos y dispone de dos proyectos de inversión diferentes:

• Proyecto A: Desembolso inicial de 170.000€ que generará un único ingreso de 210.000€ al cabo de 5 años.
• Proyecto B: Desembolso inicial de 140.000€ que generará ingresos de 70.000€ al finalizar el primer año y 80.000€ al finalizar el segundo año.

Se debe determinar qué proyecto de inversión elegiría la empresa según el criterio de selección de la TIR (Tasa Interna de Retorno), realizando las operaciones con al menos 4 decimales.

Flujos de Caja de los Proyectos

Para visualizar... Continuar leyendo "Evaluación de Proyectos de Inversión: Cálculo y Comparación con la TIR" »

Clasificación de Triángulos

Según sus Ángulos

• Acutángulos: Tienen sus tres ángulos agudos (menores de 90°).
• Rectángulos: Tienen un ángulo recto (igual a 90°). Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.
• Obtusángulos: Tienen un ángulo obtuso (mayor a 90° y menor a 180°).

Líneas y Puntos Notables en un Triángulo

• Mediana: Recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. (Vértice: Punto donde se unen dos lados).
• Baricentro: Punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.
• Mediatriz: Línea perpendicular a un lado que pasa por su punto medio.
• Circuncentro: Punto de intersección de las tres mediatrices. Es el centro de la circunferencia circunscrita

Context: elaboració d'una recepta (xatonada)

Si volem adaptar els ingredients d'una recepta per a 12 persones, podem utilitzar la multiplicació. Per exemple, si la recepta original és per a 4 persones i inclou 30 ametlles, per a 12 persones necessitarem 30 x 3 = 90 ametlles. El mateix procediment es pot aplicar a la resta d'ingredients.

En aquest cas, l'infant demostra que entén la idea de sumar tres vegades o multiplicar per arribar a la quantitat necessària per a 12 persones. No obstant això, comet un error en el cas de l'all, on la recepta original indica ½ gra d'all per a 4 persones. L'infant interpreta que cal ½ gra d'all per persona, en comptes de ½ gra d'all per cada grup de 4 persones.

Aquest error es deu al fet que l'infant no... Continuar leyendo "Anàlisi de l'aprenentatge de fraccions en un infant" »

Teorema de la reducción ortogonal de una forma cuadrática

Sea Q una forma cuadrática en Rⁿ que, respecto de la base canónica B de Rⁿ, viene dada por Q(x) = X^tAX para todo x perteneciente a Rⁿ, con X = [x]_B. Si la matriz A de la forma cuadrática Q tiene rango r, entonces existe una transformación ortogonal X = PY, siendo P = Id_AB con A base ortonormal de Rⁿ formada por vectores propios de A, B base canónica de Rⁿ e Y = [y]_A = (y₁, y₂, ..., y_n)^T, que transforma Q en una suma de cuadrados donde α₁, α₂, ..., α_r son los valores propios no nulos de A. A los vectores de la base A se les denomina direcciones principales.

Definiciones Fundamentales

Vector propio

Sea A perteneciente a M_n×n(C), b un vector no nulo de Cⁿ y α perteneciente a C un... Continuar leyendo "Fundamentos de la Reducción Ortogonal y la Forma Canónica de Jordan" »

Problema 4. Probabilidades (periódico y café)

En una sala hay 20 personas. 14 de ellas leen el periódico, 10 toman café y 8 hacen ambas cosas. Seleccionamos al azar una de estas personas. Calcular las siguientes probabilidades.

• a) Tome el café y no lea el periódico.
• b) Lea el periódico pero no tome café.
• c) Tome café, sabiendo que lee el periódico.

Datos y probabilidades básicas

• Población total: 20 personas.
• Lectores (L): 14 → P(L) = 14/20 = 0.70.
• Tomadores de café (C): 10 → P(C) = 10/20 = 0.50.
• Ambos (L ∩ C): 8 → P(L ∩ C) = 8/20 = 0.40.

Resolución

Enseñanza de Números y Suma en Educación Primaria

Uso de Bloques Multibase para Enseñar Números (2º Primaria)

Segundo de primaria es una etapa donde los niños aprenden los números de dos cifras (10, 11, 12...). Los bloques multibase son una herramienta muy útil para que los niños visualicen y comprendan los números con mayor facilidad. Con estos bloques, disponemos de bloques compactos que representan decenas (bloques largos) y bloques individuales que representan unidades.

Es fundamental enseñarles que los bloques largos representan 10 bloques individuales, para que asimilen esta representación simbólica.

Para contar entre el 20 y el 30, partiremos de la base: 2 bloques largos equivalen a 20 unidades individuales, representando el

Problema 1: Estadio Deportivo

El perímetro a vallar medirá: 2y + 2πx/2 = 2y + πx. Para poder expresar el perímetro en función de x, hay que buscar la relación entre x e y. La relación la obtendremos a partir del valor de la superficie del estadio (10000 m²). El estadio está formado por un rectángulo y dos semicírculos:

• Rectángulo de lados x e y → A_R = xy
• Dos semicírculos de radio x/2 → A_SC = (1/2)π(x/2)² = (1/2)π(x²/4) = πx²/8

El área de los dos semicírculos será: 2πx²/8 = πx²/4

Área del estadio: xy + π/4 x², luego 1000 = xy + π/4 x². Despejamos y:

Finalmente: p(x) = 2(10000/x - π/4 x) + πx = 20000/x - π/2 x + πx = 2000/x + π/2x

b) Coste vaya: f(x) = 1.2(10000/x - π/4 x) + 2πx = 20000/x - π/2 x + 2πx = 20000/x... Continuar leyendo "Optimización de Áreas y Costos: Problemas Resueltos" »

Cosinus angle suma: cos(?+?)=cos?·cos?-sin?·sin?

Cosinus angle diferencia: cos(?-?)cos(?+(-?))=cos?·cos(-?) - sin?·sin(-?)=cos?·cos? + sin?·sin?.

Sinus angle suma: sin(?+?) cos(90º-(?+?))=cos((90-?)-?)=cos(90-?)·cos? + sin(90-?)·sin?=sin?·cos?+cos?·sin?

Sinus angle resta: sin(?-?)=sin(?+(-?))=sin?·cos(-?) - cos?·sin(-?)=sin?·cos? - cos?·sin?.

Tangent angle suma: tg(?+?) = [sin?+?]/[(cos(?+?)= [sin?·cos? + cos?·sin?]/[cos?·cos? - sin?·sin?],  dividint num i deno. x: cos?·cos? i simplfcnt= [tg?+tg?]/[1-tg?·tg?]

Tangent angle diferencia: cal subst. angle ?, per: (-?)--> tg(?-?)= tg(?+(-?)=[tg?·tg(-?)]/[1-tg?·tg(-?)]= [tg?-tg?]/[1+tg?·tg?]. Angle Doble: sinus: sin2?=sin(?+?)=sin?·cos? + cos?·sin?=2·sin?·cos?; cosinus: