Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

POBLACIÓN FINITA número de elementos se pueden contar o saber su fin

POBLACIÓN INFINITA número de elementos no se puede contar o saber su fin

VARIABLE CUALITATIVA no se puede medir numéricamente (nacionalidad, sexo, estado civil, color de piel y ojos)

CUALITATIVA ORDINAL tiene un orden (ganadores 1º, 2º y 3º lugar)

CUALITATIVA NOMINAL tiene una condición específica(sexo, masculino o femenino. Carrera, derecho, medicina, gastronomía)

VARIABLE CUANTITATIVA tiene valor númerico (edad, precio, ingresos anuales, peso, temperatura)

CUANTITATIVA DISCRETA  tiene valores enteros (1,2,8,-4)

CUANTITATIVA CONTINUA toma cualquier valor, entero o fracción (litros de leche, 1.5, 2.5, 10.3)

DIAGRAMA VEEN U=uníón (suma) ∩= elementos que se

1) Ecuaciones de la Recta

Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y un vector director →v = (v₁, v₂, v₃):

• Vectorial: (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t · (v₁, v₂, v₃)
• Paramétricas:

  { x = a1 + t · v1
  y = a2 + t · v2
  z = a3 + t · v3 }

• Continua: (x - a₁) / v₁ = (y - a₂) / v₂ = (z - a₃) / v₃

Intersección de Dos Planos (Forma Implícita de la Recta)

Una recta puede definirse como la intersección de dos planos:

{ A x + B y + C z + D = 0
A' x + B' y + C' z + D' = 0 }

2) Ecuaciones del Plano

Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y dos vectores directores no paralelos →u = (u₁, u₂, u₃) y →v = (v₁, v₂, v₃):

• Vectorial: (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t · (u₁, u₂, u₃) + s · (v₁, v₂, v₃)
• Paramétricas:

  { x = a1 + t · u1 + s · v1
  y = a2 + t · u2 + s · v2
  z = a3 + t · u3 + s · v3

Grafikoaren deskribapena

1913tik 1924ra bitartean, Espainian izandako grebalarien kopuruaren bilakaera zehatza aztertzen dugu. Grafiko mota hau lineala, sinplea eta izaera sozioekonomikoa du. Historia liburu batetik aterata dagoenez, publikoa da eta historiazaleei zuzenduta dago. Bigarren mailako iturri historikoa da. Bertikalki grebalarien kopurua agertzen zaigu, hamar milaka; horizontalki, aztertutako urteak.

Datu garrantzitsuenak honakoak dira: gorabeherak izan arren, bi aldi desberdin agertzen dira. Batetik, grebalarien kopurua handitzen doan aldia, eta bestetik, orokorrean beherantz doan etapa. Bi etapetan, segida aldatzen duten gorabeherak agertzen dira. Punturik altuena 1920an gertatzen da, 250.000 grebalari inguru agertzen direlarik;... Continuar leyendo "Greba Mugimendua Espainian (1913-1924): Analisia eta Testuingurua" »

En este documento, exploraremos los determinantes y algunas de sus propiedades fundamentales, las cuales nos serán de gran utilidad para la aplicación de la Regla de Sarrus en la resolución de sistemas de ecuaciones.

Matrices: Definición y Elementos

Una matriz es un arreglo rectangular de números o expresiones, organizados en filas y columnas, y encerrados entre paréntesis o corchetes.

Ejemplo de Matriz A:

A = [[0, -2],
     [1, -3]]

Elementos de una Matriz

Los números individuales que forman parte de la matriz se denominan elementos de la matriz. En el ejemplo de la matriz A, los elementos son 0, -2, 1 y -3.

Diagonales de una Matriz

Las líneas que conectan ciertos elementos de una matriz cuadrada se conocen como diagonales. Estas pueden... Continuar leyendo "Matrices y Determinantes: Conceptos Esenciales y Aplicación de la Regla de Sarrus" »

Glosario Esencial de Cálculo Diferencial e Integral

Cálculo Diferencial

• La razón tiende a $\frac{dy}{dx}$ tiene un límite llamado derivada: Derivada.
• Una cantidad que tiene valor fijo se llama constante: Constante.
• La variable $v$ tiende a la constante $L$: Límite.
• Puede ser derivada y así sucesivamente: Derivada sucesiva.
• Funciones que se componen de otras funciones: Funciones algebraicas.
• Cuando $x$ tiende a $0$: Fórmula de la pendiente.
• $y - y_1 = -\frac{1}{m}$: Ecuación de la normal.
• Es igual al producto de su derivada: La diferencial de $f(x)$.
• Si existe un intervalo $(a, b)$ mayor: Máximo relativo de $f$.
• Si existe un intervalo $(a, b)$ menor: Mínimo relativo de $f$.
• Separa arcos de una curva de una concavidad: Puntos de inflexión.
• En problemas

Fundamentos de Estadística Descriptiva

La estadística se divide en:

• Estadística descriptiva: Conjunto de procedimientos para organizar, describir y sintetizar datos sin que se extraigan conclusiones.
• Estadística inferencial: Conjunto de procedimientos para hacer inferencias y generalizaciones respecto a una totalidad, partiendo del estudio de un número limitado de casos tomados.

Conceptos útiles para describirlos estadísticamente son:

• Población: Conjunto de personas, cosas u objetos con ciertas características comunes.
• Elemento: Es cada uno de los componentes de una población.
• Variable: Característica de los sujetos de la población que puede tomar cualquiera de los valores de un conjunto y que se evalúa por medio de una muestra.

Clasificación

1. Cálculo de Volumen en Cuerpos Geométricos

Para un contenedor cilíndrico de $8\text{ cm}$ de radio:

$$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$$

$$V = \pi \cdot (8\text{ cm})^2 \cdot (12)$$

$$V = \dots \dots \dots \dots$$

$$V = \pi \times \dots$$

$$V = 2412,743\text{ cm}^3$$

a) Hallar el volumen de la esfera

$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$

$$V = \frac{4}{3} \pi (2,9\text{ cm})^3$$

$$V_e = \frac{4}{3} \pi (24,389)\text{ cm}^3$$

$$V_e = \frac{306,481212}{3}$$

$V_e = 102,16\text{ cm}^3$

Para el volumen total ($V_t$):

$$V_t = V + V_e$$

$$V_t = 2412,743 + 102,16$$

$V_t = 2514,903\text{ cm}^3$

Para hallar la altura ($H$) a partir del volumen total:

$$V_T = \pi r^2 \cdot H \implies H = \frac{V_t}{\pi r^2}$$

$$h = \frac{2514,903\text{ cm}^3}{\pi (8\text{ cm})^2}$$

$h = 12,51\text{

Estrategias Puras y Mixtas en Juegos de Suma Cero

Estrategias Puras

En el estudio de las estrategias puras, el procedimiento inicial consiste en calcular el mínimo de cada fila y, de esos valores mínimos, seleccionar el máximo (criterio maximin). Paralelamente, se calculan los máximos de cada columna y, de estos, se elige el mínimo (criterio minimax).

Si ambos valores coinciden, la solución indica que se sigue una estrategia pura con un punto de silla o valor de juego (X), considerándose el juego como estrictamente determinado. Las estrategias óptimas para cada jugador se definen de la siguiente manera:

• Po (J1): Se representa como un vector (0, 0, 0, 0) donde se coloca un 1 en la posición correspondiente al punto de silla.
• Qo (J2): Se procede

La transformación de primera diferencia para eliminar autocorrelación supone que el coeficiente de autocorrelación B es -1.

F: Para eliminar la autocorrelación se requiere que el coeficiente de autocorrelación sea B +1, lo que indica que las perturbaciones están correlacionadas positivamente.

En el esquema AR(1), una prueba de hipótesis b=1 puede realizarse modificando el estadístico g de Berenblutt-Webb, así como mediante el estadístico d de Durbin-Watson.

F: En la prueba d de Durbin-Watson, la hipótesis nula es que b=0. En cambio, en la prueba g de Berenblutt-Webb, la hipótesis nula es b=1. Sin embargo, para probar la significancia del estadístico g, se pueden utilizar las tablas de Durbin-Watson.

En presencia de autocorrelación,

Distribuciones de Probabilidad de Variable Continua

La distribución de probabilidad de una variable continua se define a partir del área que hay debajo de una función, la cual se denomina “función de densidad”.

Condiciones de la Función de Densidad

• No puede tomar valores negativos (f(x) ≥ 0).
• El área total bajo la curva de la función de densidad y sobre el eje X debe ser igual a 1.

Cálculo de Probabilidades en Distribuciones Continuas

• En una distribución continua, la probabilidad de cualquier valor concreto es cero (P[x=a] = 0).
• La probabilidad entre dos valores es igual al área de la función que queda entre ellos.

La Distribución Normal

Se denotará una distribución normal como N (μ, σ).

Hay muchas situaciones que siguen una distribución... Continuar leyendo "Distribuciones de Probabilidad Continua y la Distribución Normal" »