Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Problema 1: Estadio Deportivo

El perímetro a vallar medirá: 2y + 2πx/2 = 2y + πx. Para poder expresar el perímetro en función de x, hay que buscar la relación entre x e y. La relación la obtendremos a partir del valor de la superficie del estadio (10000 m²). El estadio está formado por un rectángulo y dos semicírculos:

• Rectángulo de lados x e y → A_R = xy
• Dos semicírculos de radio x/2 → A_SC = (1/2)π(x/2)² = (1/2)π(x²/4) = πx²/8

El área de los dos semicírculos será: 2πx²/8 = πx²/4

Área del estadio: xy + π/4 x², luego 1000 = xy + π/4 x². Despejamos y:

Finalmente: p(x) = 2(10000/x - π/4 x) + πx = 20000/x - π/2 x + πx = 2000/x + π/2x

b) Coste vaya: f(x) = 1.2(10000/x - π/4 x) + 2πx = 20000/x - π/2 x + 2πx = 20000/x... Continuar leyendo "Optimización de Áreas y Costos: Problemas Resueltos" »

Aquest document recull paraules catalanes amb la seva transcripció fonètica, corregint-ne l'ortografia i la forma normativa. Les transcripcions originals s'han mantingut tal com apareixen en el document.

Paraules amb a, b i c

agressió (agrasio), acció (aksio), alzina (alzina), anestèsia (anastℇzia), acceptació (aksapsio), Àsia (azia), accés (akss), ànec (anak), anglès (anglℇs), atria (atrℇja), àlgid (alxit), anàlisi (analizi), avís (aßis), àmfora (àmfura), bulldog (buldok), bogeria (boxeria), Bíblia (biblia), bossa (bosa), binari (banait), bínit (banℇjt), calaix (kalaʃ), cauen (kawen), cafè (kafℇ), quota (kuota), crisi (krizi), caiguda (kajguða), casa (kaza), colla (koʎa), creieu (krajℇw), creiem (krajℇm),... Continuar leyendo "Guia d'ortografia catalana: paraules i pronúncia" »

Cosinus angle suma: cos(?+?)=cos?·cos?-sin?·sin?

Cosinus angle diferencia: cos(?-?)cos(?+(-?))=cos?·cos(-?) - sin?·sin(-?)=cos?·cos? + sin?·sin?.

Sinus angle suma: sin(?+?) cos(90º-(?+?))=cos((90-?)-?)=cos(90-?)·cos? + sin(90-?)·sin?=sin?·cos?+cos?·sin?

Sinus angle resta: sin(?-?)=sin(?+(-?))=sin?·cos(-?) - cos?·sin(-?)=sin?·cos? - cos?·sin?.

Tangent angle suma: tg(?+?) = [sin?+?]/[(cos(?+?)= [sin?·cos? + cos?·sin?]/[cos?·cos? - sin?·sin?],  dividint num i deno. x: cos?·cos? i simplfcnt= [tg?+tg?]/[1-tg?·tg?]

Tangent angle diferencia: cal subst. angle ?, per: (-?)--> tg(?-?)= tg(?+(-?)=[tg?·tg(-?)]/[1-tg?·tg(-?)]= [tg?-tg?]/[1+tg?·tg?]. Angle Doble: sinus: sin2?=sin(?+?)=sin?·cos? + cos?·sin?=2·sin?·cos?; cosinus:

Integrales Fundamentales

• ∫ k dx = kx + c

• ∫ (1/x) dx = ln|x| + c

• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c (para n ≠ -1)

• ∫ e^x dx = e^x + c

• ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + c (para a > 0 y a ≠ 1)

• ∫ sen(x) dx = -cos(x) + c

• ∫ cos(x) dx = sen(x) + c

• ∫ sec²(x) dx = tan(x) + c

• ∫ csc²(x) dx = -cot(x) + c

• ∫ tan(x) sec(x) dx = sec(x) + c

• ∫ cot(x) csc(x) dx = -csc(x) + c

• ∫ (1/√(1-x²)) dx = arcsen(x) + c

• ∫ (1/(1+x²)) dx = arctan(x) + c

• ∫ (1/(|x|√(x²-1))) dx = arcsec(x) + c

Identidades Trigonométricas Esenciales

• sen²(x) + cos²(x) = 1

• 1 + tan²(x) = sec²(x)

• 1 + cot²(x) = csc²(x)

• tan(x) = sen(x) / cos(x)

• csc(x) = 1 / sen(x)

• sec(x) = 1 / cos(x)

• cot(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sen(x)

• sen(a + b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)

• cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

• sen(a - b)

Ecuaciones Fundamentales en Geometría Vectorial

Ecuación de la Recta

• Forma General: (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ(v1,v2,v3)
• Forma Paramétrica:
  • x = a1 + v1λ
  • y = a2 + v2λ
  • z = a3 + v3λ
• Forma Continua: (x-a1)/v1 = (y-a2)/v2 = (z-a3)/v3
  • Nota: Para pasar de la forma paramétrica a la continua, se cambian los signos de las coordenadas del punto (a1, a2, a3).
  • Consideración: En la forma continua, si un numerador no tiene término (ej. x-0), se asume 0. Si un denominador es 0 (ej. /0), la variable correspondiente no varía, y la ecuación se expresa como un sistema de dos planos. Si un denominador no tiene término (ej. /1), se asume 1.

Ecuación del Plano

• Forma General: (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ(v1,v2,v3) + ω(u1,u2,u3)
• Forma Implícita (General): Ax+By+Cz+D=

Posición Relativa de Elementos Geométricos

Posición Relativa de Dos Rectas

Caso 1: Rectas dadas por un punto y un vector

Para determinar la posición relativa de dos rectas dadas por un punto y un vector director, se construye la matriz de coeficientes (M) y la matriz ampliada (M*).

• Coincidentes: rango(M) = 1, rango(M*) = 1
• Secantes: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
• Paralelas: rango(M) = 1, rango(M*) = 2
• Se cruzan: rango(M) = 2, rango(M*) = 3

Caso 2: Rectas dadas en forma implícita

Si las rectas vienen dadas en forma implícita, se consideran sus matrices (M y M*):

• Coincidentes: rango(M) = 2, rango(M*) = 2
• Secantes: rango(M) = 3, rango(M*) = 3
• Paralelas: rango(M) = 2, rango(M*) = 3
• Se cruzan: rango(M) = 3, rango(M*) = 4

Posición Relativa de Recta y Plano

Para... Continuar leyendo "Geometría en el Espacio: Posición Relativa, Distancias y Ecuaciones de Rectas y Planos" »

1. Identificación de una Hipótesis Científica

¿Cuál de los siguientes enunciados consideras que es una hipótesis científica? Justifica tu respuesta.

• El arcoíris es un fenómeno relacionado con el comportamiento de la luz.
• La lluvia es un fenómeno relacionado con el medio ambiente.
• Albert Einstein es el físico matemático más grande que ha existido.

Justificación Detallada

La afirmación "El arcoíris es un fenómeno relacionado con el comportamiento de la luz" es la única que califica como una hipótesis científica. Esto se debe a que es una proposición verificable y falseable. Sabemos que la luz solar se refracta y refleja en las gotas de agua, dando como resultado el arcoíris. Este fenómeno puede ser observado, medido y explicado... Continuar leyendo "Fundamentos de Medición y Razonamiento Científico" »

LLAMAMOS Función F DEL CONJUNTO A EN EL CONJUNTO B A
UNA Relación DE DEPENDENCIA EN LA QUE A CADA ELEMENTO
X DE A LE CORRESPONDE UN Único ELEMENTO Y DE B.

LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN F ES LA REPRESENTACIÓN EN

UNOS EJES DE COORDENADAS DE TODOS LOS PARES DE LA FORMA

( X, F( X)), SIENDO X UN ELEMENTO DEL DOMINIO DE F.

UNA Función ES BIYECTIVA SI ES A LA VEZ INYECTIVA Y

SOBREYECTIVA.

UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA (O POR DIFERENCIA)

ES UNA  Sucesión DE Términos DE TAL MANERA QUE,

PARA OBTENER EL SIGUIENTE TERMINO A PARTIR DEL ANTERIOR,

 AUMENTAMOS UN MISMO NUMERO QUE PUEDE

SER POSITIVO O NEGATIVO, AL QUE SE LLAMA DIFERENCIA (D).