Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Otros cursos

Definición de Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz.

Elementos de la Parábola

• F(α, β): Foco de la parábola.
• d: y = λ: Directriz de la parábola.
• P(x, y): Punto genérico de la parábola.

Ecuación de la Parábola

La definición de la parábola implica que la distancia entre un punto P(x, y) de la parábola y el foco F(α, β) es igual a la distancia entre el punto P(x, y) y la directriz d: y = λ.

d(P, d) = d(P, F)

Donde:

• d(P, d): Distancia del punto P a la recta d (directriz).
• d(P, F): Distancia del punto P al punto F (foco).

Estimación Puntual y por Intervalo (99%) para Asalariados con Estudios Superiores

Se busca estimar la proporción de asalariados con estudios superiores (Nivel de estudios 7) que tienen un salario mensual bruto de al menos 1000 euros.

1. Definición del Modelo

   Sea X una variable aleatoria Bernoulli:

   • X = 1: si el asalariado con estudios superiores tiene un salario bruto ≥ 1000 euros.
   • X = 0: si el asalariado con estudios superiores tiene un salario bruto < 1000 euros.

   El objetivo es estimar la proporción poblacional p de individuos con X=1.

2. Estimación Puntual

   La estimación puntual de la proporción poblacional p es la proporción muestral:

   &pcirc; = X̄ = 0.911111

3. Pivote y Distribución

   Para construir el intervalo de confianza para una proporción

Ecuaciones Diferenciales Lineales

La forma canónica de una ecuación diferencial lineal es:

dy + p(x)y dx = Q(x) dx

Sabemos que y = u.v, entonces dy = u.dv + v.du. Sustituyendo, obtenemos:

u.dv + v.du + P(x)u.v dx = Q(x) dx

Agrupamos términos e incorporamos la condición de que se iguale a cero:

u.dv + v(du + P(x)u dx) = Q(x) dx

Sabemos que u.dv = Q(x) dx. Resolvemos el término du + p(x)u dx igualando a 0 y dividiendo todo por u:

du + P(x)u dx = 0 → du/u = -P(x) dx

Integramos: ∫ du/u = - ∫ P(x) dx + C

Considerando la solución particular de C = 0, nos queda ln(u) = -∫ P(x) dx. Por definición logarítmica: u = e^-∫P(x)dx. Entonces...

e^-∫P(x)dx dv = Q(x) dx → dv = Q(x)e^∫P(x)dx dx

v = ∫e^∫P(x)dx Q(x) dx + C

Si reemplazamos y = u.v, obtenemos:... Continuar leyendo "Resolución de Ecuaciones Diferenciales: Lineales y Exactas" »

Mètodes d'Estimació de la Supervivència

Es pot estimar la supervivència mitjançant quatre mètodes:

• Mètode directe.
• Mètode actuarial (NO és sinònim de mètode INDIRECTE).

Aquests dos primers es realitza un anàlisi de la supervivència per períodes de temps tancats.

• Mètode de Kaplan-Meier (més utilitzat).
• Estimació paramètrica (model exponencial). Aquest tipus de models els utilitzem en estudis de supervivència de poblacions bacterianes, de cultius cel·lulars, en simulacions demogràfiques i en radioactivitat.

Mètode Directe

- La mortalitat (M) i la supervivència (S=1-M) es calculen per a intervals significatius.

- En el càlcul de la mortalitat, els individus censurats s'eliminen del denominador (Per tant, s'exclouen del càlcul de... Continuar leyendo "Mètodes d'Estimació de la Supervivència: Directe, Actuarial i Kaplan-Meier" »

Anàlisi de Funcions: Derivades i Extrems

Estudi de la Primera Derivada

1. Trobar el domini de la funció. Recorda que si és un polinomi (p. ex., 8x² + 4x - 3), el domini són tots els reals (ℝ).
2. Calcular la primera derivada (f'(x)) i trobar els valors de x on f'(x) = 0 o no existeix. Aquests són els punts crítics.
3. Crear una taula d'intervals utilitzant els punts crítics, les restriccions del domini i ±∞.
4. Substituir valors de prova dins de cada interval a la primera derivada f'(x):
   • Si f'(x) > 0 (+), la funció és creixent en aquest interval.
   • Si f'(x) < 0 (-), la funció és decreixent en aquest interval.
5. Assenyalar els màxims i mínims locals: hi ha un màxim si la funció canvia de creixent a decreixent, i un mínim si canvia de decreixent

Globalizazioaren Kostuak eta Subiranotasun Nazionala

Globalizazioaren kostuek subiranotasun nazionala mehatxatzen dute. Kezka gero eta handiagoa dago herrialdeek kanpo baldintzapenik gabe lokalki jokatzeko askatasuna izango duten ala ez. Tokian tokiko helburuei eta politikei uko egin eta ekonomia txikien gehiegizko dependentzia eta ziurgabetasuna izan dezakete ekonomia handien aurrean. Gero eta homogeneotasun kultural handiagoa dago. Hazkunde ekonomikoa eta ingurumenaren narriadura ere kezka dira. Ekonomiak natur baliabide ez berriztagarri gehiegi kontsumituko ote dituen eta ingurumen kalteak areagotuko dituen beldurra dago. Diru sarreren ekitaterik eza eta estres pertsonala dakartza. Alde edo desberdintasun gorakada herrialdeen artean eta herrialde... Continuar leyendo "Globalizazioa, Subiranotasuna eta Jabetza Intelektuala: Eragina eta Gatazkak" »

Cuadrado de una Suma

Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que: "El cuadrado de una suma es la suma de los cuadrados MÁS el doble del producto." Es decir, que el resultado de elevar al cuadrado la suma de dos números es el mismo que si sumamos los cuadrados de ambos números y añadimos el doble de su producto. Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:

(a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b²

Ahora vamos a comprobar geométricamente esa misma identidad notable:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Cuadrado de una Diferencia

Los productos notables cumplen con ciertas reglas determinadas cuyo resultado puede escribirse sin verificar la multiplicación. Las letras representan números reales... Continuar leyendo "Identidades Notables: Cuadrado, Suma, Diferencia y Cubo" »

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Regla de Cramer (Sistema Compatible Determinado - SCD)

Un sistema es Compatible Determinado (SCD) si tiene una única solución. Para aplicar la Regla de Cramer, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero (|A| ≠ 0).

Ejemplo de SCD

Consideremos el sistema:

x - y       = 7
2x + y - z  = 3
     y + z  = 3

Primer paso: Calcular el determinante de la matriz de coeficientes |A|.

|A| = | 1  -1   0 |
    | 2   1  -1 |
    | 0   1   1 |

Calculando el determinante, obtenemos |A| = 4. Como |A| ≠ 0, el sistema es un SCD y podemos aplicar la Regla de Cramer.

La Regla de Cramer establece que la solución para cada incógnita (x, y, z) se obtiene dividiendo el determinante de la matriz... Continuar leyendo "Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Regla de Cramer y Rouché-Frobenius" »

Ejercicios de Sucesiones y Series

Ejercicio 1

Hallar los primeros 5 términos de la sucesión: a_n = 2n + (-1)ⁿ - 1

Solución:

• a₁ = 2(1) + (-1)¹ - 1 = 2 - 1 - 1 = 0
• a₂ = 2(2) + (-1)² - 1 = 4 + 1 - 1 = 4
• a₃ = 2(3) + (-1)³ - 1 = 6 - 1 - 1 = 4
• a₄ = 2(4) + (-1)⁴ - 1 = 8 + 1 - 1 = 8
• a₅ = 2(5) + (-1)⁵ - 1 = 10 - 1 - 1 = 8

Ejercicio 2

Hallar los primeros 5 términos de la sucesión recursiva: a₁ = 2, a₂ = -1, a_n = a_n-1 / a_n-2

Solución:

• a₁ = 2
• a₂ = -1
• a₃ = a₂ / a₁ = -1 / 2 = -1/2
• a₄ = a₃ / a₂ = (-1/2) / (-1) = 1/2
• a₅ = a₄ / a₃ = (1/2) / (-1/2) = -1

Ejercicio 3

Hallar una fórmula general para el n-ésimo término de la sucesión 0, 3, 8, 15, 24, 35...

Solución:

a_n = n² - 1

Ejercicio 4

Grafique la sucesión a_n = 3n - 4

Solución:

• a₁ = 3(1) - 4 = -1
• a₂ = 3(2) - 4 = 2
• a₃ = 3(