Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Otros cursos

Formulación Fuerte y Débil en Sólidos Elásticos

La formulación fuerte en un sólido elástico B se expresa mediante las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales del equilibrio para cualquier punto x ∈ B, acompañadas de las condiciones de contorno naturales y esenciales. Estas ecuaciones en 3D toman, en general, la forma ∇σ + q = 0, que, expresadas en función del campo incógnita de desplazamientos u(x), incluyen derivadas segundas de los mismos.

La formulación débil se obtiene mediante la ponderación de la ecuación anterior con un campo arbitrario η(x), integrando en el dominio B y transformando esta integral mediante integración por partes o el teorema de Gauss. La ecuación resultante es:

-∫σ∇η dV + ∫ηt dS +

1. Números racionales: Operaciones

Suma y resta:

(a/b) ± (c/d) = (a·d ± c·b)/(b·d)

Proceso:

1. Buscar el mcm de los denominadores.
2. Convertir a fracciones equivalentes con el mismo denominador.
3. Sumar/restar numeradores.
4. Simplificar.

Multiplicación:

(a/b) · (c/d) = (a·c)/(b·d)

División:

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) · (d/c)

Potenciación:

• (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
• (a/b)⁻ⁿ = bⁿ / aⁿ
• (a/b)⁰ = 1

2. Porcentajes

• Cálculo de un t% de q: (t/100) · q
• Aumentar q en t%: q · (1 + t/100)
• Disminuir q en t%: q · (1 - t/100)

3. Ecuaciones de primer grado

Forma general: ax + b = 0

Solución: x = -b/a (si a ≠ 0)

Con dos incógnitas: ax + by = c. La solución presenta infinitas posibilidades; se despeja una variable en función de la otra.

4. Ecuaciones de segundo grado

Forma

Media:(x̄):Es el promedio, se suman todos los datos y el total se divide en la cant. De datos.

Mediana (Me):Los datos de menor a mayor y se ve cuál es el dato central (del medio)

ej:  Si la muestra es impar  ej:    5,7,6,4,3,8,7  = 3,4,5,6,7,7,8   Me=6                          Si la muestra es par   ej: 4,5,5,5,6,7,8,9,9,9  = 7+6= 13:2= 6,5 Me

Desv. Esatandar:  Medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio. 

 Moda (Mo):N que mas se repite

Frecuencia (f):Cant. De veces que se repite el dato, al final va el n total

Frecuencia relativa: (f/n) 

Frec. Abs acumulada (F): 1ero pongo el mismo n de f y luego lo sumo con el de abajo y así

Coef de variación (cv))=( S (varianza) /x̄) *100

  Para el

Estadística Inferencial: Estimación del Tiempo Medio de Entrega

Este documento aborda dos problemas matemáticos distintos: el primero, un ejercicio de estadística inferencial centrado en la construcción de intervalos de confianza para estimar el tiempo medio de entrega de pedidos; el segundo, un problema de álgebra que implica la formulación y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro.

Problema 1: Estimación del Tiempo de Entrega de Pedidos

Un local de comida a domicilio busca estimar el tiempo medio que sus repartidores tardan en entregar un pedido desde que lo recogen. Para ello, se ha tomado una muestra de 200 pedidos, obteniendo un tiempo medio de 17.5 minutos. Se asume que el tiempo de reparto sigue una distribución

Teoremas Fundamentales de Integración

Teorema de Integración por Sustitución

Sea f:[a,b] → ℝ una función continua y sea g:[α,β] → [a,b] una función de clase C¹, tal que g(α) = a y g(β) = b. Entonces, se cumple que:

∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ᵅᵝ f(g(t)) · g'(t) dt

Demostración

Sea F una primitiva de f, es decir, F'(x) = f(x). Por la regla de la cadena, tenemos que:

(F ∘ g)'(t) = F'(g(t)) · g'(t) = f(g(t)) · g'(t).

Luego, por el Teorema Fundamental del Cálculo:

∫ᵅᵝ f(g(t)) · g'(t) dt = (F ∘ g)(β) − (F ∘ g)(α).

Como g(α) = a y g(β) = b, entonces:

(F ∘ g)(β) − (F ∘ g)(α) = F(b) − F(a).

Finalmente, aplicando nuevamente el Teorema Fundamental del Cálculo, sabemos que F(b) − F(a) = ∫ₐᵇ f(x) dx. Por lo... Continuar leyendo "Fundamentos de Cálculo: Teoremas de Integración y Diferenciabilidad" »

Estudio sobre la Composición Corporal y la Frecuencia Cardíaca en Deportistas

Objetivos de la Investigación

• Analizar el porcentaje de grasa corporal en los deportistas de élite y su frecuencia cardíaca máxima (FCmax).
• Comparar la relación entre la grasa corporal y la FCmax en deportistas de élite.
• Identificar el nivel de actividad física (AF) realizada en los últimos 7 días de la investigación.

Hipótesis del Estudio

• A menor índice de porcentaje de masa corporal, mayor será la FCmax.
• Un aumento del porcentaje de grasa corporal influye en el aumento de la FCmax.
• A mayor índice de grasa corporal, menor es la actividad física que realizan los deportistas de élite.

Tipo de prueba: Descriptiva, correlacional.

Interpretación de Resultados

Identificación y formulación de cada modelo (FRME)

Identificar cada modelo expuesto y formular FRME: Beneficio estimado 4 modelos: Todos llevan ^ en la parte izquierda. En LOG-LIN: ponemos ln a la izquierda (ln Beni^ ) y el resultado lo exponenciamos. En LOG-LOG, por ejemplo, sería: 13,47 + 2,31 × ln(INGi) …

Modelo recomendado y criterios de selección

Modelo recomendado: Seleccionar modelos atendiendo a criterios estadísticos. Buscaremos:

• Mayor: R cuadrado corregido, log-verosimilitud.
• Menor: criterios de información como Akaike (AIC), Hannan-Quinn (HQ) y Schwarz (BIC).

Organizamos los modelos en grupos, por ejemplo G1 (LIN, LIN-LOG) y G2 (otros). Escogemos, dentro de cada grupo, el mejor modelo según los criterios anteriores. Ponemos cada... Continuar leyendo "Selección e interpretación de modelos econométricos para estimar beneficios" »

Demostración de Identidades Trigonométricas

Para demostrar estas identidades, aplicaremos la denominada "Regla de Oro":

1. Elige el lado más complejo: Es más fácil simplificar una expresión que expandirla.
2. Pasa todo a Senos y Cosenos: Facilita la visualización de términos comunes y simplificaciones.
3. Usa álgebra: Aplica suma de fracciones, factorización y simplificación de términos.

Ejercicio V

Expresión: (cot a - tan a) / (cot a + tan a) = cos(2a)

Paso 1: Convertir a senos y cosenos (Lado Izquierdo)

• Numerador: (cos a / sen a) - (sen a / cos a)
• Denominador: (cos a / sen a) + (sen a / cos a)

Paso 2: Suma y resta de fracciones

• Numerador: (cos² a - sen² a) / (sen a * cos a)
• Denominador: (cos² a + sen² a) / (sen a * cos a)

Paso 3: Simplificar (

Transformaciones Geométricas Elementales

Las transformaciones geométricas elementales (traslación, escalado, rotación y reflexión) se fundamentan en el uso de vectores de tres coordenadas y se representan mediante una matriz M.

Si deseamos aplicar una transformación a múltiples puntos simultáneamente, multiplicamos la matriz M por una matriz donde cada columna representa las coordenadas homogéneas de cada punto.

1. Traslación

La traslación desplaza un punto (x, y) al punto (x + α, y + β), donde α y β son los parámetros de traslación.

Función en código:

def translacion(alpha, beta):
    M = matrix(RR, identity_matrix(3))
    M[0, 2] = alpha
    M[1, 2] = beta
    return M

Ejemplo 1:

M = translacion(1, 2)
punto = vector(RR, [2, 3,

Grados de Libertad (GDL)

El Grado de Libertad (GDL) se define como el número de coordenadas independientes o mínimas necesarias para describir la posición o configuración de un sistema.

Representación Espacial

Representación de la Posición

La posición de un objeto puede ser descrita mediante diversos sistemas de referencia:

• Sistema Cartesiano de Referencia
• Coordenadas Cartesianas
• Coordenadas Polares y Cilíndricas
• Coordenadas Esféricas

Herramientas Matemáticas para Localización Espacial

Estas herramientas permiten especificar la posición y orientación en el espacio de piezas, herramientas y, en general, de cualquier objeto.

Representación de la Orientación

La orientación se puede describir utilizando:

• Matrices de Rotación (también conocidas