Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

guiá de matemáticas
inicio de la probabilidad
Hace más de tres siglos, unos jugadores preguntaron al científico italiano Galileo Galilei por
qué al lanzar tres dados la suma de 10 es más frecuente que la suma de 9. En 1654, el
caballero de Meré consultó al matemático francés Pascal sobre la rentabilidad de apostar a
que un doble seis saldría en 24 tiradas de dos dados. Este problema planteado por Meré
marcó el inicio de la teoría matemática de la probabilidad.
permutaciones
Definición: Una permutación es una disposición de todos los elementos de un conjunto en
un orden específico.
Según la naturaleza de los elementos sean iguales o distintos, las agrupaciones reciben el
nombre de variaciones, permutaciones o combinaciones simples o... Continuar leyendo "Fundamentos de la Probabilidad y Combinatoria: Orígenes Históricos y Definiciones Matemáticas Esenciales" »

Medidas de Tendencia Central

La Media: Medida de tendencia central. Es un valor único que representa el centro de un conjunto de valores.

La Mediana: Valor de una variable estadística que, al ordenar los datos, ocupa la posición central.

Variable Continua: Aquella con datos agrupados en intervalos.

Clase Mediana: Frecuencia absoluta acumulada que sobrepasa la mitad de los datos. Como valor aproximado de la mediana, puede tomarse esta clase.

Moda: Valor que presenta la mayor frecuencia absoluta.

• Supuesto 1: Cuando la variable es discreta, la moda se obtiene buscando el valor que más se repite. Puede ser única, bimodal o trimodal.
• Supuesto 2: Cuando la variable es continua y los datos están agrupados en intervalos.

Medidas de Dispersión

Las Medidas

Ejercicio 1: Medidas Descriptivas para Datos Agrupados

A continuación, se presenta una tabla de distribución de frecuencias con el número de paquetes enviados (X) y su frecuencia (n_i):

Preguntas:

1. Calcula la media del número de paquetes enviados.
2. Calcula la varianza muestral. (P.D.: Σ x_i²n_i = 430000)
3. ¿Qué valor de X deja el 50% de las observaciones a la izquierda? (Calcula la mediana)
4. El coste total de envíos diarios (en cientos de euros) se estima como Y = 2 + 0.8X. Calcula la media y varianza de Y.

Resolución del Ejercicio 1

Para resolver las preguntas, primero construimos la tabla de frecuencias completa con las marcas de clase (x_i), frecuencias acumuladas (N_i)... Continuar leyendo "Estadística Aplicada: Resolución de Problemas de Medidas, Probabilidad y Regresión" »

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

• ¿Para qué se utiliza el criterio de convergencia?
  Para aumentar la posibilidad de determinación de una solución en un sistema de ecuaciones con un método iterativo.
• ¿Cuál de estos dos métodos son muy semejantes en su procedimiento?
  Gauss-Seidel y Jacobi.
• ¿Cuál de estos métodos se puede utilizar para calcular la inversa de una matriz?
  Gauss-Jordan.
• En un sistema de ecuaciones lineales, ¿a qué es igual el jacobiano?
  A una matriz con los coeficientes de cada variable.
• ¿Qué valores se encuentran en la diagonal principal de una matriz identidad?
  Unos.

Solución de Ecuaciones No Lineales

Métodos Cerrados

• ¿Qué característica tienen los “métodos cerrados” para solución de ecuaciones?
  Requieren dos

Conceptos Fundamentales de Estadística y Probabilidad

1. Exploración de Datos y Medidas de Resumen

A continuación, se presentan afirmaciones sobre el análisis exploratorio de datos y medidas de resumen, con su correspondiente validación y explicación.

• a) Comparación Visual de Variables Cualitativas

  Afirmación: Si se desea comparar de manera visual dos variables cualitativas, se requiere de gráficos de caja.

  FALSO. El gráfico de caja se utiliza para variables cuantitativas, mostrando su distribución, mediana, cuartiles y posibles valores atípicos. Para comparar variables cualitativas, se emplean gráficos de barras (simples, agrupadas o apiladas) o gráficos de sectores, que permiten visualizar las frecuencias o proporciones de las categorías.

Ejercicio 1: Cálculo de todas las razones trigonométricas

1. Identifica el cuadrante: Escribe que, al estar en el III cuadrante, el seno y el coseno deben ser negativos.

2. Halla el Coseno: Usa la fórmula 1 + tg² α = 1 / cos² α. Sustituye la tangente por 3, despeja cos² α y realiza la raíz cuadrada (elige el valor negativo).

3. Halla el Seno: Usa la relación sen α = tg α · cos α. Multiplica los valores que ya has obtenido.

4. Halla las razones inversas:

   • ctg α = 1 / tg α

   • sec α = 1 / cos α

   • cosec α = 1 / sen α

5. Racionaliza: Asegúrate de que no queden raíces en el denominador (multiplica el numerador y el denominador por la raíz).

Ejercicio 2: Razones de 30°, 45° y 60°

1. Dibuja los polígonos:

   • Para 30° y 60°: Dibuja un triángulo equilátero

Conceptos Fundamentales de las Ecuaciones Lineales

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad.

Componentes de una Ecuación

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Términos

Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros de una ecuación.

Incógnitas

Las incógnitas de una ecuación son las letras que aparecen en la ecuación. Es una cantidad desconocida.

Soluciones

Las soluciones de una ecuación son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

Repitiendo la definición inicial:

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad.

Los miembros... Continuar leyendo "Fundamentos de Ecuaciones Lineales: Componentes Clave y Definiciones" »

Resolución de Problemas Matemáticos

ETE con la ? en el Ei. P tenía uvas y L le ha dado 2, ahora tiene 7. ¿Cuántas tenía P antes del regalo? ? en T. P tenía 7 uvas, L le ha robado algunas, ahora P tiene 2. ¿Cuántas le ha robado L? ? en Ef P tenía 7 uvas y L le ha robado 2. ¿Cuántas tiene ahora P? EEE P tiene 7 uvas y L tiene 5. ¿Cuántas tienen en total? ECE con la ? en Ec P tiene 11 uvas más que L, L tiene 32. ¿Cuántas tiene P? ? en C P tiene 32 uvas, si L tiene 11, ¿Cuántas uvas más o menos que P tiene L? ? en Er P tiene 32 uvas. Tiene 11 menos que L. ¿Cuántas tiene L? TTT A P le dan 32 uvas el lunes, le dan 11 el martes. ¿Cuántas ha recibido en total? CTC con la ? en T P tenía 32 uvas menos que L antes; ahora tiene... Continuar leyendo "Resolución de Problemas Matemáticos: Estrategias y Errores Comunes" »

1. Números racionales: Operaciones

Suma y resta:

(a/b) ± (c/d) = (a·d ± c·b)/(b·d)

Proceso:

1. Buscar el mcm de los denominadores.
2. Convertir a fracciones equivalentes con el mismo denominador.
3. Sumar/restar numeradores.
4. Simplificar.

Multiplicación:

(a/b) · (c/d) = (a·c)/(b·d)

División:

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) · (d/c)

Potenciación:

• (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
• (a/b)⁻ⁿ = bⁿ / aⁿ
• (a/b)⁰ = 1

2. Porcentajes

• Cálculo de un t% de q: (t/100) · q
• Aumentar q en t%: q · (1 + t/100)
• Disminuir q en t%: q · (1 - t/100)

3. Ecuaciones de primer grado

Forma general: ax + b = 0

Solución: x = -b/a (si a ≠ 0)

Con dos incógnitas: ax + by = c. La solución presenta infinitas posibilidades; se despeja una variable en función de la otra.

4. Ecuaciones de segundo grado

Forma