Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Definición de Función Racional

La función racional es una fracción donde el numerador y el denominador son polinomios. Su fórmula general es f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) es un polinomio en el numerador y Q(x) es un polinomio en el denominador, el cual no puede ser igual a 0 (porque no se puede dividir entre cero).

Ejemplo: f(x) = (2x + 3) / (x² - 4). En este caso, el polinomio del numerador es 2x + 3 y el polinomio del denominador es x² - 4.

Dominio y Rango en una Función Racional

Para determinar el comportamiento de la función, existen tres casos principales basados en el grado del polinomio (el exponente máximo de la variable):

• Caso 1: Cuando el grado del numerador (GN) es igual al grado del denominador (GD), la asíntota horizontal

Modelos Log-Lineal y Elasticidades

En los modelos log-lineal, los coeficientes betas representan las elasticidades.

Si B4 y B5 son bienes sustitutos, entonces poseen elasticidad cruzada. El logaritmo de x representa las variables explicativas. Los betas son parámetros poblacionales desconocidos y no existe la certeza absoluta de que el logaritmo de x se conecte de manera lineal con el logaritmo de y.

Interpretación de los Betas

• B2 (Elasticidad ingreso de la demanda de pollos): Mide el cambio porcentual en Y ante un cambio porcentual en x2. Ejemplo: Si b2 = 0,7, si el ingreso de las familias aumenta un 1%, el consumo promedio de pollos debería aumentar en un 0,7%, manteniendo constantes las demás variables. Valor esperado: B2 > 0 (bien normal

Unitat 0: Repàs d'Àlgebra i Percentatges

Activitats de percentatges: [obtenir el % d'una part = part / TOTAL = %] [%? = el que costava - el que costa = x; x / el que costava · 100 = %]

[3% de 12 → 0,03 · 12 = 0,36] [augmenta 1, / disminueix 0,]

Equacions i Sistemes

• Equacions de primer grau: normals, amb parèntesis, amb fraccions; passar les x i els nombres a costats diferents.
• Equacions de segon grau:
  • Completes: [ -b ± √(b² - 4ac) / 2a ]
  • Incompletes: [x² - 6x = 0; x(x - 6) = 0; x = 0 i x - 6 = 0 → x = 6]
• Equacions biquadrades: t = x² / t² = x⁴

Sistemes d'equacions lineals

• Substitució: aïllar x o y de la 1a equació; després substituir el resultat a la 2a; substituir aquest resultat a la 1a.
• Igualació: aïllar en totes les equacions

Estadística Descriptiva: Conceptos Clave

La Estadística Descriptiva está relacionada con la extracción de información a partir de datos medidos en individuos, como tamaño, peso o concentración.

Frecuencia

La Frecuencia de un evento se define como la cantidad de veces que este se repite, dividida por el número total de observaciones (N). Al multiplicar la frecuencia por 100, se obtiene el porcentaje de ocurrencia del evento.

Desviación Estándar y Varianza

La Desviación Estándar es una medida del promedio de la varianza de los datos, indicando cuánto se dispersa el promedio del grupo con respecto a la media. Por ejemplo, si la media es 10 y la desviación estándar es 5, los datos se dispersan entre 5 y 15 (10-5 = 5 y 10+5 = 15).

La Varianza... Continuar leyendo "Explorando la Estadística Descriptiva: Frecuencia, Desviación Estándar y Correlación" »

Relaciones entre Ángulos en Líneas Paralelas

• Correspondientes: Ocupan la misma posición (A = E).
• Alternos internos: Uno a la derecha arriba y otro a la derecha abajo (D = F).
• Externos: A = G; son los de la orilla, fuera de las líneas paralelas.
• Adyacentes: Suman 180°.
• Conjugados internos: Suman 180°, situados uno sobre el otro.
• Conjugados externos: Suman 180°, pero externamente, uno sobre el otro.
• Opuestos por el vértice: Están enfrente del vértice (A = C).

Clasificación de los Ángulos y Ejemplos Prácticos

• Agudo interno: Son ángulos que se encuentran dentro de dos líneas paralelas cuando son cortadas por una transversal. Ejemplo: Los ángulos dentro de una habitación rectangular.
• Externos: Son los ángulos que están afuera de dos líneas

Ejercicios de Tasa de Variación y Aplicaciones de la Derivada

1. Tasa de Variación (TV)

a) ¿Cuál es la tasa de variación de la hora 2 a la hora 5?

Procedimiento:

TV = f(final) - f(inicial)
TV = f(5) - f(2)
TV = 1543 - 1125
Resultado: 418 tornillos

b) ¿Cuál es la tasa de variación de la hora en donde hubo menor producción a la hora en la cual hubo mayor producción?

TV = 1845 - 1125

2. Tasa de Variación Media (TVM)

1. Evaluar en x = 6: f(6) = 3(6)² - 4(6) + 2 = 3(36) - 24 + 2 = 108 - 24 + 2 = 86
2. Evaluar en x = 2: f(2) = 3(2)² - 4(2) + 2 = 3(4) - 8 + 2 = 12 - 8 + 2 = 6
3. Calcular TVM: (f(6) - f(2)) / (6 - 2) = (86 - 6) / 4 = 80 / 4

Resultado: TVM = 20

3. Tasa de Variación Instantánea (TVI)

1. Obtener la derivada: f'(x) = 0.4 + 2.4x - 0.402x²
2. Evaluar

1. Operaciones Básicas (Multiplicación, División y Mismo Denominador)

• Multiplicación ( · ): Se realiza de forma directa. (A/B) · (C/D) = (A · C) / (B · D). Nota: No realices la propiedad distributiva al principio; deja la expresión indicada para simplificar o "tachar" términos comunes.
• División ( : ): Se debe invertir la segunda fracción y transformar la operación en una multiplicación: (A/B) : (C/D) = (A/B) · (D/C).
• Suma/Resta con Mismo Denominador: El denominador se mantiene igual. En el numerador, se opera directamente agrupando las x con las x y los números con los números.
  • Ejemplo de Resta: (5x + 4) / (x - 3) - (2x + 1) / (x - 3) = (5x + 4 - 2x - 1) / (x - 3) = (3x + 3) / (x - 3).
  • Importante: El signo menos cambia todos los

Función Lineal

La función lineal es una línea recta que pasa por el origen (0,0). Su expresión algebraica es del tipo y = mx.

Características de la Función Lineal

• Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen (0,0).
• El número m se llama pendiente.
• La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.
• El ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo si m > 0 y obtuso si m < 0.
• Su relación con la función potencia: a = m y n = 1.

Función Afín

La función afín es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = mx + n, siendo m un número cualquiera distinto de 0 y n ≠ 0. Su gráfica es una línea recta que no pasa por el origen.

Características de la Función Afín

• Su gráfica es una línea

Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones

Método de Sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método de Igualación

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen

guiá de matemáticas
inicio de la probabilidad
Hace más de tres siglos, unos jugadores preguntaron al científico italiano Galileo Galilei por
qué al lanzar tres dados la suma de 10 es más frecuente que la suma de 9. En 1654, el
caballero de Meré consultó al matemático francés Pascal sobre la rentabilidad de apostar a
que un doble seis saldría en 24 tiradas de dos dados. Este problema planteado por Meré
marcó el inicio de la teoría matemática de la probabilidad.
permutaciones
Definición: Una permutación es una disposición de todos los elementos de un conjunto en
un orden específico.
Según la naturaleza de los elementos sean iguales o distintos, las agrupaciones reciben el
nombre de variaciones, permutaciones o combinaciones simples o... Continuar leyendo "Fundamentos de la Probabilidad y Combinatoria: Orígenes Históricos y Definiciones Matemáticas Esenciales" »