Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Conceptos Básicos de Teoría de Conjuntos

• Universo (U): Conjunto que contiene todos los elementos.
• Vacío (∅): Conjunto que no tiene ningún elemento.
• Subconjunto: Agrupaciones de elementos que forman parte de un conjunto mayor.
• Unión (A ∪ B): Conjunto que contiene todos los resultados que pertenecen a A o a B.
• Intersección (A ∩ B): Evento que consiste en todos los resultados comunes tanto a A como a B.
• Complemento (A'): Conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A respecto al universo.
• Diferencia (A - B): Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B.

Fundamentos de Probabilidad

• Experimento: Acción o proceso cuyo resultado está sujeto a la incertidumbre.
• Evento: Recopilación o subconjunto de resultados contenidos

Medidas de Tendencia Central

La Media: Medida de tendencia central. Es un valor único que representa el centro de un conjunto de valores.

La Mediana: Valor de una variable estadística que, al ordenar los datos, ocupa la posición central.

Variable Continua: Aquella con datos agrupados en intervalos.

Clase Mediana: Frecuencia absoluta acumulada que sobrepasa la mitad de los datos. Como valor aproximado de la mediana, puede tomarse esta clase.

Moda: Valor que presenta la mayor frecuencia absoluta.

• Supuesto 1: Cuando la variable es discreta, la moda se obtiene buscando el valor que más se repite. Puede ser única, bimodal o trimodal.
• Supuesto 2: Cuando la variable es continua y los datos están agrupados en intervalos.

Medidas de Dispersión

Las Medidas

Ejercicio 1: Medidas Descriptivas para Datos Agrupados

A continuación, se presenta una tabla de distribución de frecuencias con el número de paquetes enviados (X) y su frecuencia (n_i):

Preguntas:

1. Calcula la media del número de paquetes enviados.
2. Calcula la varianza muestral. (P.D.: Σ x_i²n_i = 430000)
3. ¿Qué valor de X deja el 50% de las observaciones a la izquierda? (Calcula la mediana)
4. El coste total de envíos diarios (en cientos de euros) se estima como Y = 2 + 0.8X. Calcula la media y varianza de Y.

Resolución del Ejercicio 1

Para resolver las preguntas, primero construimos la tabla de frecuencias completa con las marcas de clase (x_i), frecuencias acumuladas (N_i)... Continuar leyendo "Estadística Aplicada: Resolución de Problemas de Medidas, Probabilidad y Regresión" »

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

• ¿Para qué se utiliza el criterio de convergencia?
  Para aumentar la posibilidad de determinación de una solución en un sistema de ecuaciones con un método iterativo.
• ¿Cuál de estos dos métodos son muy semejantes en su procedimiento?
  Gauss-Seidel y Jacobi.
• ¿Cuál de estos métodos se puede utilizar para calcular la inversa de una matriz?
  Gauss-Jordan.
• En un sistema de ecuaciones lineales, ¿a qué es igual el jacobiano?
  A una matriz con los coeficientes de cada variable.
• ¿Qué valores se encuentran en la diagonal principal de una matriz identidad?
  Unos.

Solución de Ecuaciones No Lineales

Métodos Cerrados

• ¿Qué característica tienen los “métodos cerrados” para solución de ecuaciones?
  Requieren dos

1. Modus Ponendo Ponens (MPP)

Modo en que afirmando, se afirma.

p → q
p
____
q

2. Modus Tollendo Tollens (MTT)

Modo en que negando, se niega.

p → q
¬q
____
¬p

3. Modus Tollendo Ponens (MTP)

Modo en que negando, se afirma.

​​

p v q                                              p  v q 

¬p                                  o               ¬q 

_____                                           ______

q                                                   p

​4. Simplificación (SIMPL)

Si existen dos proposiciones unidas por una conjunción, se pude obtener como conclusión cualquiera de las dos.

p ∆ q                                       ... Continuar leyendo "Reglas de Inferencia Lógica: Fundamentos y Aplicaciones" »

Conceptos Fundamentales de Estadística y Probabilidad

1. Exploración de Datos y Medidas de Resumen

A continuación, se presentan afirmaciones sobre el análisis exploratorio de datos y medidas de resumen, con su correspondiente validación y explicación.

• a) Comparación Visual de Variables Cualitativas

  Afirmación: Si se desea comparar de manera visual dos variables cualitativas, se requiere de gráficos de caja.

  FALSO. El gráfico de caja se utiliza para variables cuantitativas, mostrando su distribución, mediana, cuartiles y posibles valores atípicos. Para comparar variables cualitativas, se emplean gráficos de barras (simples, agrupadas o apiladas) o gráficos de sectores, que permiten visualizar las frecuencias o proporciones de las categorías.

Resolución de Ecuaciones Trigonométricas

Resolver una ecuación consiste en encontrar los valores del ángulo x (en el intervalo de 0° a 360°) que hacen que la igualdad sea verdadera. Recuerda que, en la mayoría de los casos, habrá más de una solución válida.

Estrategia General para la Resolución

1. Uniformar: Asegúrate de que toda la ecuación utilice la misma función trigonométrica (por ejemplo, convertir todo a senos o todo a cosenos).
2. Despejar: Trata a sen(x) o cos(x) como si fueran una incógnita algebraica común.
3. Factorizar: Si hay términos al cuadrado, iguala la ecuación a cero y procede a factorizar.
4. Cuadrantes: Ubica todas las soluciones posibles considerando el signo de la función en los diferentes cuadrantes del círculo

Clasificación de Variables Estadísticas

Las variables son fundamentales para el estudio de los datos y se dividen en:

• Variables cualitativas: describen cualidades.
• Nominales: sin orden (ej: color de bola, tipo de moneda).
• Ordinales: con orden (ej: nivel de satisfacción, puesto en ranking).
• Cuantitativas: valores numéricos.
• Discretas: valores enteros (ej: nº de monedas, aciertos).
• Continuas: valores decimales (ej: diámetro, ingresos, peso).
• Variable aleatoria: resultado numérico o categórico de un experimento.

Métodos de Muestreo

El muestreo es el proceso de selección de una parte de la población para su estudio:

• Muestreo aleatorio simple: todos tienen la misma probabilidad (ej: sorteo, números al azar).
• Sistemático: se elige cada k-ésimo

Ejercicio 1: Cálculo de todas las razones trigonométricas

1. Identifica el cuadrante: Escribe que, al estar en el III cuadrante, el seno y el coseno deben ser negativos.

2. Halla el Coseno: Usa la fórmula 1 + tg² α = 1 / cos² α. Sustituye la tangente por 3, despeja cos² α y realiza la raíz cuadrada (elige el valor negativo).

3. Halla el Seno: Usa la relación sen α = tg α · cos α. Multiplica los valores que ya has obtenido.

4. Halla las razones inversas:

   • ctg α = 1 / tg α

   • sec α = 1 / cos α

   • cosec α = 1 / sen α

5. Racionaliza: Asegúrate de que no queden raíces en el denominador (multiplica el numerador y el denominador por la raíz).

Ejercicio 2: Razones de 30°, 45° y 60°

1. Dibuja los polígonos:

   • Para 30° y 60°: Dibuja un triángulo equilátero

Conceptos Fundamentales de las Ecuaciones Lineales

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad.

Componentes de una Ecuación

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Términos

Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros de una ecuación.

Incógnitas

Las incógnitas de una ecuación son las letras que aparecen en la ecuación. Es una cantidad desconocida.

Soluciones

Las soluciones de una ecuación son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

Repitiendo la definición inicial:

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad.

Los miembros... Continuar leyendo "Fundamentos de Ecuaciones Lineales: Componentes Clave y Definiciones" »