Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Propiedades de la Multiplicación en Números Enteros

Propiedad Conmutativa

Establece que si se cambia el orden de los factores, no se altera el producto.

Ejemplo: [3 . (-2)] . 8 = 3 . [(-2) . 8] → (-6) . 8 = 3 . (-16) → -48 = -48

Propiedad Asociativa

Establece que si se agrupan los factores de distintas formas, se obtiene el mismo producto.

Ejemplo: [3 . 24] . 2 = 3 . [24 . 2] → 72 . 2 = 3 . 48 → 144 = 144

Elemento Neutro

En el conjunto de los números enteros (Z), el elemento neutro de la multiplicación es el número 1.

Ejemplo: (-4) . 1 = -4; 1 . (-6) = -6

Factor Cero

Es el factor que anula a cualquier número.

Ejemplo: 0 . 12 = 0

Propiedad Distributiva

Con respecto a la adición, se aplica cuando uno de los factores es una suma con dos o más... Continuar leyendo "Propiedades de la Multiplicación y Potenciación en Números Enteros" »

Conceptos Básicos de Geometría

Punto, Recta, Semirrecta, Segmento y Curva

• Punto: Intersección de dos líneas.
• Recta: Sucesión de puntos en la misma dirección.
• Semirrecta: Parte de una recta limitada por un punto en uno de sus extremos.
• Segmento: Parte de la recta limitada por dos puntos.
• Curva: Sucesión de puntos que no siguen la misma dirección.

Plano

Un plano puede quedar determinado por tres casos:

1. Tres puntos no alineados.
2. Una recta y un punto.
3. Dos rectas que se cortan.

Lugar Geométrico

El lugar geométrico de unos puntos es el conjunto de puntos del plano o del espacio que cumplen una determinada condición.

Circunferencia: Lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro llamado centro.

Perpendicularidad

Las rectas convergentes... Continuar leyendo "Conceptos Básicos de Geometría: Puntos, Rectas, Ángulos y Circunferencias" »

El Método Científico: Un Camino Hacia el Conocimiento

El trabajo científico es aquella actividad que consiste en descubrir las leyes que rigen la naturaleza mediante un proceso válido y fiable que recibe el nombre de método científico. Este método se compone de varias etapas interconectadas:

1. Observación

La primera etapa del método científico es la observación de hechos o fenómenos. Para que esta observación sea fructífera y conduzca a descubrimientos significativos, debe ser:

• Cuidadosa: Prestando atención a los detalles.
• Exhaustiva: Abarcando todos los aspectos relevantes.
• Exacta: Registrando los datos de forma precisa.

2. Elaboración de Hipótesis

Una hipótesis científica es una suposición o explicación provisional que debe... Continuar leyendo "Método Científico: Observación, Experimentación y Medición" »

Gizarte Zerbitzuen Jatorri eta Eboluzioa Historian

1. Karitatea eta Elkar Laguntza (Erdi Aroa iritsi arte)

• Elkar Laguntza (Betidanik egon den ikuspegia): Familian eta bizikidetza arremanetan oinarritua.
• Gizarte Zerbitzuak: Ongizate Estatuan Gizarte Laneko gradua. 1. maila.
• Kofradia eta Ermandadeen Sorrera: Aaldibidetuko du.

Karitatea (Erdi Arotik aurrera)

• Erlijioan jatorria duen jarrera.
• Miseriari aurre egitea, behar dutenei laguntza.
• Filantropiarekiko ezberdina: gizabanakoaren behar osoari egiten dio arreta.
• Gaur egun ekintza pribatuaren jarduera gisa darrai.

2. Benefizentzia Publikoa (XVII – XVIII Mendeak)

• Bizirauteko prestazio graziagarriak, fondo publikoetatik ordainduak (inongo jarraikortasun konpromisorik gabe, diskrezionalitate printzipioak gidatuta)

Significado de la adición: - Hay dos cantidades iniciales que se combinan dando lugar a una nueva cantidad. - Hay una cantidad inicial que experimenta un cambio al añadirle una segunda cantidad.

Clasificación de las Variables en Investigación

Las variables en investigación se clasifican según diferentes criterios. A continuación, se detallan los principales tipos:

Según su Escala de Medición

1. Variables Cualitativas

Expresan cualidades, características o modalidades. Cada modalidad se denomina atributo o categoría, y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Se subdividen en:

• Dicotómicas: Solo pueden tomar dos valores posibles (ej: sí/no, hombre/mujer).
• Politómicas: Pueden tomar múltiples valores. A su vez, se clasifican en:
  • Ordinales: Sus valores se pueden ordenar siguiendo una escala establecida (ej: leve, moderado, fuerte).
  • Nominales: No siguen un orden lógico (ej: colores).

2. Variables Cuantitativas

Toman... Continuar leyendo "Tipos de variables: clasificación y ejemplos para investigación" »

Lugares Geométricos: Fundamentos y Propiedades

Lugar geométrico: es un conjunto de puntos que cumplen una condición.

Mediatriz

Mediatriz: es la recta perpendicular que divide el segmento en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento.

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas cuando no se cortan en un punto propio. Los puntos de dos rectas paralelas son equidistantes. Dos rectas paralelas se cortan en el punto impropio de la dirección que llevan.

Bisectriz de un Ángulo

Bisectriz de un ángulo: es la recta que divide el ángulo en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Es el lugar geométrico del centro de... Continuar leyendo "Explorando Lugares Geométricos: Definiciones y Propiedades Clave" »

A continuación, se presentan varios ejercicios resueltos relacionados con derivadas, rectas tangentes y el teorema de Bolzano.

Ejercicio 1: Aplicación del Teorema de Bolzano

5. a) ¿Podemos afirmar, aplicando el teorema de Bolzano, que la ecuación tiene alguna solución en el intervalo?

f no es continua en el intervalo. Por lo tanto, no podemos aplicar el teorema de Bolzano. Esto no quiere decir que no haya soluciones, sino que no podemos determinarlo con este teorema.

b) ¿Y en el intervalo [−1, 1]? En caso afirmativo, calcule esta solución con un error menor que 0,1.

f es continua en [−1,1]. Se puede aplicar el teorema de Bolzano.

Ejercicio 2: Recta Tangente en un Punto

Determina la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x²

Teoremas y Propiedades de Figuras Geométricas

Paralelogramos

• Todos los ángulos formados en una misma recta suman 180°.
• La suma de ángulos consecutivos en un paralelogramo es igual a 180°.
• Los ángulos opuestos en un paralelogramo son congruentes.
• La suma de los ángulos internos de un paralelogramo es igual a 360°.
• Los pares de lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.
• Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.
• Las diagonales de un trapecio son congruentes.
• Las diagonales de un rombo son perpendiculares.

Triángulos

• A lados congruentes se oponen ángulos congruentes (y viceversa).
• El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad