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Definiciones Fundamentales de las Funciones

Función: Dados dos conjuntos A y B, sea F una función; esta se verifica si todos los elementos del punto de partida están relacionados con un solo elemento del punto de llegada.

• Dominio: Son los elementos del punto de partida que están relacionados con los elementos del punto de llegada.
• Rango: Son los elementos del punto de llegada que son imágenes de algún elemento del dominio.
• Codominio: Es todo objeto formado por objetos reales de alguna contraimagen.

Clasificación de Funciones según su Relación

• Función inyectiva: Para distintos elementos del dominio corresponden distintas imágenes del rango.
• Función sobreyectiva: Se cumple si el conjunto de llegada y el rango son los mismos.
• Función biyectiva:

Curvas Geométricas Fundamentales

Óvalo

El óvalo es una curva cerrada formada por arcos de circunferencia y simetría respecto a dos ejes perpendiculares.

Ovoide

El ovoide es una curva cerrada formada por arcos de circunferencia y simetría respecto a un solo eje.

Voluta

La voluta es una curva formada por arcos de circunferencias tangentes entre sí, siendo los centros sucesivos de estos arcos los vértices de un polígono determinado.

Hélice Cilíndrica

La hélice cilíndrica es una curva alabeada (no plana) sobre una superficie cilíndrica de revolución.

• Paso (P) de la hélice: Es la longitud entre dos pasos sucesivos de la hélice por una misma generatriz del cilindro.
• Espira: Es la parte de la hélice comprendida en un paso, es decir, correspondiente

Introducción a los Entes Fundamentales de la Geometría

El espacio se define como el conjunto de todos los puntos. Una figura geométrica es cualquier subconjunto de puntos del espacio.

Existen tres entes fundamentales e indefinibles en geometría, que solo es posible describir en relación con otros elementos similares. Estos son el punto, la recta y el plano.

El Punto

El punto no posee longitud, área, volumen, ni otra magnitud dimensional. No es un objeto físico, sino que describe una posición en el espacio, determinada respecto a un sistema de coordenadas preestablecido.

La Recta

La recta se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos. Es una sucesión continua e indefinida de puntos en una sola... Continuar leyendo "Fundamentos de Geometría Euclídea: Conceptos Esenciales de Puntos, Rectas y Planos" »

1. Verdadero y Falso

• a) El sistema de ecuaciones es un conjunto: (V)
• b) Las incógnitas son letras: (V)
• c) Un sistema de ecuaciones lineal: (F)
• d) La solución de un sistema de ecuaciones: (V)

2. Composición y Evaluación de Funciones

Dadas las funciones f(x) = 2x² + 1 y g(x) = x + 1:

• (f°g)(x) = 2(x + 1)² + 1 = 2(x² + 2x + 1) + 1 = 2x² + 4x + 2 + 1 = 2x² + 4x + 3
• Evaluación: (f°g)(0) = 2(0)² + 4(0) + 3 = 3
• (g°f)(x) = 2x² + 1 + 1 = 2x² + 2
• Evaluación: (g°f)(-1) = 2(-1)² + 2 = 2 + 2 = 4

3. Sistemas de Ecuaciones: Método de Eliminación

Resolver el sistema:

• 4x - 2y = 18
• 3x + y = 26

Multiplicando la segunda ecuación por 2: 6x + 2y = 52. Sumando ambas ecuaciones: 10x = 70, por lo tanto, x = 7.

Sustituyendo en la primera ecuación: 4(7) - 2y =... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Álgebra: Funciones, Ecuaciones y Parábolas" »

Métodos Esenciales de Factorización Algebraica

1. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos Perfectos

Este método se aplica a binomios que son la suma o diferencia de dos términos elevados al cubo.

Pasos para la Factorización:

• Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.
• Se forma un producto de dos factores: un factor binomio y un factor trinomio.
• El factor binomio es la suma (o diferencia) de las raíces cúbicas obtenidas.
• El factor trinomio se determina así:
  • El cuadrado de la primera raíz.
  • Menos el producto de estas raíces.
  • Más el cuadrado de la segunda raíz.

2. Factorización de una Diferencia de Cuadrados: Dos Binomios Conjugados

La diferencia de cuadrados es uno de los casos de factorización más comunes, resultando siempre... Continuar leyendo "Dominando los 3 Métodos Clave de Factorización de Polinomios" »

Cuadrado de una Suma

Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que: "El cuadrado de una suma es la suma de los cuadrados MÁS el doble del producto." Es decir, que el resultado de elevar al cuadrado la suma de dos números es el mismo que si sumamos los cuadrados de ambos números y añadimos el doble de su producto. Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:

(a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b²

Ahora vamos a comprobar geométricamente esa misma identidad notable:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Cuadrado de una Diferencia

Los productos notables cumplen con ciertas reglas determinadas cuyo resultado puede escribirse sin verificar la multiplicación. Las letras representan números reales... Continuar leyendo "Identidades Notables: Cuadrado, Suma, Diferencia y Cubo" »

Conceptos Básicos de Estadística

Para comprender la estadística, es fundamental definir los siguientes términos:

• Población: Conjunto o totalidad de individuos o elementos bajo estudio.
• Muestra: Subconjunto representativo de la población.
• Variable: Características observables y medibles en la población de estudio.

Ejemplos Prácticos de Aplicación

Caso 1: Visitantes del Museo del Prado

Estudiamos a los españoles que visitan el museo:

• Población: E = {personas de nacionalidad española}.
• Muestra: Las 50 primeras personas que entren hoy al museo.
• Variable continua: Peso en kg.
• Variable discreta: Número de veces que han visitado el museo.
• Variable cualitativa: Género.

Caso 2: Puentes Romanos

Estudiamos las características de los puentes romanos... Continuar leyendo "Entendiendo las Variables Estadísticas: Clasificación y Ejemplos Prácticos" »

PARTE 1: Estimación de Ingresos y Proyección de Costes por Escenarios (2019-2021)

Preparación de Datos Base

El enunciado requiere la proyección de datos desde 2019 hasta 2021.

Copiar la tabla del enunciado hasta la columna Total. Añadir a esta tabla el año 2018, utilizando los mismos números que figuran en el total, y también añadir las proyecciones de 2019 a 2021.

1. Estimación de Ingresos

La estimación de ingresos se calcula mediante las siguientes fórmulas:

Fórmulas de Proyección de Ingresos

• 2019: $I_{2019} = \text{Nº uds} \times (1 + \text{Crecimiento Esperado}) \times \text{Modificador de Precios}$
• 2020: $I_{2020} = \text{Nº uds} \times (1 + \text{Crecimiento Esperado}_{2019}) \times (1 + \text{Crecimiento}_{2020}) \times \text{

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

• fi = ni / N
• di: ni / ai
• Cuartil (Qr): Li-1 + ((Qr/k + Ni-1) / ni) * ai (mirar Ni acum)
• Moda (Mo): Li-1 + ((di+1 / (di-1 + di+1)) * ai) (mirar di o ni)
• Mediana (Me): Li-1 + ((N/2 - Ni-1) / ni) * ai (mirar Ni acum)
• Media (x̄): (Σxi * ni) / N
• Varianza (S²x): (Σxi² * ni) / N (m2 respecto a la media)
• Desviación típica (Sx): √S²x
• Coeficiente de variación (cv): Sx / x̄ (menor cv = más homogénea, mayor dispersión = menos homogénea)

Relación entre Variables

• Covarianza (Sxy): ((Σxi * yj * nij) / N) - x̄ * y ( > 0 dependencia directa, < 0 inversa, = 0 no existe)
• Correlación lineal (r): Sxy / (Sx * Sy) (-1 < r < 0 dependencia negativa, 0 < r < 1 dependencia positiva)
• Independencia: nij

Fundamentos Esenciales en el Modelado de Series Temporales

El test formal para verificar la estacionariedad de una serie es el test de raíces unitarias. Este procedimiento busca determinar si el modelo exhibe crecimiento o no.

Clasificación de Integración (I)

• Si no crece: Se clasifica como $I(0) + c$, $I(1)$, o $I(2)$.
• Si crece: Se clasifica como $I(0) + c + b*2$, $I(1) + c$, o $I(2)$.

Procedimiento de Prueba de Raíces Unitarias: Test de Dickey-Fuller (DF)

El procedimiento fundamental que utilizaremos es el test de Dickey-Fuller.

Ejemplo: Caso de No Crecimiento

Comenzamos comparando las hipótesis:

• $H_0$: $I(1)$ vs $H_1$: $I(0) + c$.

Nota Importante: El primer paso siempre se realiza en niveles.

La regresión asociada sería:

$$ \Delta y_{t-1} + c... Continuar leyendo "Fundamentos de Modelos de Series Temporales: Estacionariedad, Cointegración y Procesos ARMA/VAR" »