Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Conceptos Fundamentales de Álgebra y Cálculo

Definiciones Básicas

• Valor Absoluto

  Es el mismo número si es positivo y su opuesto si es negativo.

• Distancia

  Es el valor absoluto de la diferencia entre dos números.

• Entorno

  Es el conjunto de números reales cuya distancia al centro a es menor que el radio r. Se representa como (a - r, a + r).

  • Entorno Reducido

    Es un entorno al que se le ha excluido el centro. Se representa como (a - r, a) U (a, a + r).

• Factorial

  Es el producto de un número natural por todos los números naturales menores que él hasta el uno. Se representa por n!.

• Números Combinatorios

  Se representan como (m sobre p) y se calculan mediante la fórmula: (m sobre p) = m! / (p!(m - p)!).

  Propiedades:

  1. (m sobre p) = (m sobre m - p)
  2. (m sobre p)

Planteamiento de Problemas Matemáticos

1. Cálculo de Términos de una Sucesión

   Determinar los **primeros 5 términos** de la expresión: $(4^n \cdot n!)^3$.

2. Fórmula General de una Sucesión Alternante

   Encontrar la **fórmula de la sucesión** dada por los términos: $11/12, -13/14, 15/16, \dots$

3. Suma Parcial y Término General

   Encontrar la **tercera suma parcial** y el **n-ésimo término** de $A_n = \sqrt{n+12} + \sqrt{n+13}$.

4. Determinación de la Sumatoria

   Encontrar la **sumatoria** de la siguiente serie finita: $-4+16-36+64-100$.

5. Problema de Depreciación

   Un auto se deprecia el **10% cada año**. Si en el año 2014 su valor es de **53,748,000**, determine el costo a los 6 años (usar FIX 3 para el resultado final).

Soluciones Detalladas

R1: Sucesión

Funciones Afín y Lineal

Función Afín

La función afín se expresa de la forma:

y = mx + n

• m representa la pendiente de la recta. La pendiente indica la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas comparten la misma pendiente.
• n es la ordenada en el origen. Este valor señala el punto donde la recta corta al eje de ordenadas.

Función Lineal

La función lineal tiene la forma:

y = mx

• Su gráfica es una línea recta que atraviesa el origen de coordenadas.
• m es la pendiente de la recta, que define su inclinación respecto al eje de abscisas.
• Si m > 0, la función es creciente. El ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
• Si m < 0, la función es decreciente. El ángulo que forma la recta

Modelos ARIMA

Conceptos Clave

Estacionariedad

Una serie de tiempo es estacionaria si su media y su varianza son constantes en el tiempo, y si el valor de la covarianza entre periodos no depende del tiempo en el cual se calculó (son invariantes en el tiempo). Los modelos MA(q) son estacionarios por construcción, ya que son un proceso construido en base a la suma ponderada de procesos de ruido blanco. Para los modelos AR(p), las condiciones de estacionariedad son distintas. Es ventajoso trabajar con series estacionarias debido a que se puede generalizar y estudiar otros periodos fuera de la muestra.

Si la varianza es indeterminada, la serie es no estacionaria, por lo que se necesita del proceso random walk para que los momentos puedan ser calculados.... Continuar leyendo "Modelos ARIMA: Conceptos y Aplicaciones" »

Fundamentos del Cálculo: Preguntas y Respuestas Clave

Este documento presenta una serie de preguntas y respuestas fundamentales sobre el cálculo diferencial e integral, abarcando desde definiciones básicas hasta métodos de integración y aplicaciones prácticas.

Cálculo Integral y Diferencial: Conceptos Básicos

1. Es la operación inversa a la derivada: INTEGRAL
2. Es el conjunto de todas las funciones f(x) cuya derivada es f(x): INTEGRAL DEFINIDA
3. La expresión ∫ f(x) dx = F(b) - F(a) corresponde al: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
4. Es el símbolo que representa la constante de la integración: C
5. Es el producto de la derivada por la diferencial de la variable independiente: LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
6. En la expresión ∫ f(x) dx = F(x) + C, ¿a

Productos Notables: Fórmulas Esenciales de Álgebra

Los Productos Notables son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Son denominados también Identidades Algebraicas.

Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se les reconoce fácilmente. Las identidades más importantes son:

I. Productos Notables con Binomios

1. Binomio Suma al Cuadrado

El cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Fórmula:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

2. Binomio Diferencia al Cuadrado

El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del... Continuar leyendo "Dominando los Productos Notables: Fórmulas Esenciales y Aplicaciones en Álgebra" »

Funciones Diferenciables

Definición

Consideremos una función f(x) definida en un entorno E(a,δ). Decimos que f(x) es diferenciable en x = a si existe un número real constante, A, tal que para todo h que cumpla que a + h ∈ E(a,δ), el incremento de la función al pasar del punto a al punto a + h se puede expresar como:

Δf = f(a + h) - f(a) = Ah + hε(h), con lim_h→0 ε(h) = 0

Relación entre Diferenciabilidad y Derivabilidad

Teorema

Una función f(x) es diferenciable en un punto x = a si y solo si dicha función es derivable en x = a.

f(a + h) - f(a) = f'(a)h + hε(h), con lim_h→0 ε(h) = 0

Demostración

Implicación directa: f(x) diferenciable en x = a ⇒ f(x) derivable en x = a.

Como f(x) es diferenciable en x = a, f(a + h) - f(a) = Ah + hε(

Primera Ley o Principio de Uniformidad

Todos los híbridos obtenidos del cruce entre dos razas puras presentan el mismo fenotipo, y este coincide con el de uno de los progenitores.

Experimento

Mendel cruzó entre sí dos razas puras de guisantes: una con semilla verde y otra con semilla amarilla. Los híbridos resultantes constituyeron la F1 o primera generación filial.

Interpretación

Las plantas de la generación parental son homocigotas para el carácter color de la semilla (AA y aa). Las plantas AA solo pueden formar gametos con el alelo A, y las plantas aa solo pueden formar gametos con el alelo a. El resultado es una F1 necesariamente uniforme en relación con el genotipo (Aa) y el fenotipo (el color dominante).

Segunda Ley o Principio de

Teorema del Valor Medio de Lagrange

Enunciado Formal

Dada una función f que cumple las siguientes condiciones:

• Es continua en el intervalo cerrado [a,b].
• Es derivable en el intervalo abierto (a,b).

Entonces, existirá al menos un punto c ∈ (a,b) tal que la derivada de la función en ese punto es igual a la pendiente de la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)):

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Interpretación Geométrica

El Teorema del Valor Medio de Lagrange nos asegura que, para una función continua en [a,b] y derivable en (a,b), siempre podemos encontrar al menos un punto c en el intervalo (a,b) en el que la recta tangente a la función en x=c es paralela a la recta secante que une los puntos de la función en x=a y x=b.

Punto

Decisión Bajo Incertidumbre

Criterio de Decisión Pesimista

El criterio asegura al tomador de decisión que no ganará menos (o perderá más) que una suma determinada. Este criterio es muy conservativo. El procedimiento para encontrar la decisión pesimista es como sigue:

UNO) Para cada estrategia posible, identificar el peor retorno. Este será la utilidad mínima o el máximo costo. Colocar éste número en una nueva columna de la matriz.

DOS) Seleccionar la estrategia con el mejor retorno anticipado.

Criterio de Decisión Optimista

El criterio asegura al tomador de decisión que no perderá la oportunidad de obtener los mayores beneficios o los menores costos posibles. Sin embargo, este comportamiento asume el riesgo de grandes pérdidas. El... Continuar leyendo "Criterios Fundamentales para la Toma de Decisiones Estratégicas Bajo Incertidumbre" »