Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Combinatoria

Variaciones

Dado un conjunto A con m elementos, A = {a₁, a₂,…, a_m}, se llama variación sin repetición de orden n, a todo agrupamiento de A con n elementos.

Diremos que dos variaciones sin repetición son diferentes cuando tengan algún elemento diferente o cuando, teniendo los mismos elementos, el orden de colocación sea distinto. Denotaremos por V_m,n al número total de variaciones sin repetición de orden n formadas a partir de m objetos dados y viene dado por:

[Fórmula de variaciones sin repetición]

Llamaremos variaciones con repetición de orden n a todas las agrupaciones de n elementos que pueden hacerse con los m elementos de A. Dos variaciones con repetición se considerarán distintas cuando tengan algún elemento diferente... Continuar leyendo "Combinatoria y Probabilidad Condicionada: Conceptos y Fórmulas" »

ÁNGULOS

Ángulo entre 2 Rectas

Que se Cortan

- Que se cortan (en el papel):

1. Sacar trazas de las 2 rectas.
2. Unir las trazas horizontales.
3. Alinear una recta Y paralela a la unión anterior.
4. Tomar la cota y trasladarla sobre la recta Y, girar y unir con las dos trazas horizontales = ((r) —(s)).

- Que se cortan (fuera del papel):

1. Marcar un punto beta aleatorio paralelo a la Línea de Tierra (L.T).
2. Donde el punto beta corte con r2-s2, marcar los puntos 11 y 22.
3. Bajar los puntos 11 y 22 para trasladarlos a r1-s1.
4. Unir 21-11, que será la charnela.
5. Alinear una recta Y paralela a la charnela.
6. Tomar la cota A2-beta2.
7. Trasladar la cota anterior y colocarla paralela a la charnela.
8. Girar hasta que se coloque (A) en la recta Y junto a la charnela.

Que se Cruzan

(1.meter... Continuar leyendo "Ángulos en Geometría Descriptiva: Rectas, Planos y Proyecciones" »

Procedimientos para la Determinación del Equilibrio en Modelos de Oligopolio

Modelo de Bertrand (Costes Iguales)

El modelo de Bertrand se centra en la competencia vía precios. El equilibrio se alcanza cuando el precio es igual al Coste Marginal ($P = CMg$).

1. Función de Demanda: Determinar la demanda de la Empresa 1 ($Q_1$) en función de los precios ($P_1, P_2$):
   • Si $P_1 < P_2$: $Q_1 = Q(P_1)$ (La Empresa 1 captura todo el mercado).
   • Si $P_1 = P_2$: $Q_1 = \frac{1}{2}Q(P_1)$ (Las empresas se dividen el mercado).
   • Si $P_1 > P_2$: $Q_1 = 0$ (La Empresa 1 no vende nada).
2. Igualar Precio y Coste Marginal: Establecer el precio de equilibrio ($P_{eq}$) igual al Coste Marginal ($CMg$).
3. Sustitución en la Demanda: Sustituir el $P_{eq}$ en la función

Conceptos Fundamentales de Estadística

Nivel de Confianza

El Nivel de Confianza es la probabilidad de que el intervalo de confianza obtenido a partir de los datos de la muestra contenga al parámetro de la población que se pretende estimar.

Métodos de Muestreo

Los métodos de muestreo son técnicas utilizadas para seleccionar una parte representativa de una población para su estudio.

• Muestreo por Cuotas

  El Muestreo por Cuotas se realiza mediante una estratificación de la muestra que garantiza la variedad de criterios y características del colectivo objeto de estudio. Posteriormente, se aplica un muestreo por criterio para seleccionar las unidades muestrales de cada estrato, basándose normalmente en criterios demográficos, socioeconómicos,

Gráficos Estadísticos

Un gráfico es la representación de información estadística con el fin de obtener una impresión visual global del material presentado que facilite su rápida comprensión. Los gráficos son una alternativa a las tablas para representar las distribuciones de frecuencias. Algunos requisitos recomendables al construir un gráfico son: sencillez, evitar distorsiones por escalas exageradas y la elección adecuada del tipo de gráfico, según los objetivos y el nivel de medición de las variables.

Tipos Principales de Gráficos

• Gráfico de Barras: Se usa para representar la distribución de frecuencias de variables discretas. Cada categoría se representa por una barra cuyo largo indica la frecuencia de observaciones en dicha

Propiedades Estadísticas de los Ciclos Económicos

Volatilidad

¿Cómo se comportan las variables macroeconómicas durante los ciclos económicos? ¿Varían mucho o varían poco?

Para analizar la volatilidad, calculamos la desviación típica de las series macroeconómicas (del componente cíclico de cada serie). La desviación típica refleja la desviación de una serie respecto de su valor medio.

• La desviación típica es siempre un valor positivo.
• Si la desviación típica es grande, la serie es muy volátil (varía mucho).
• Si la desviación típica es pequeña, la serie tiene un comportamiento muy estable (varía poco).
• Como la serie está en logaritmos, la desviación típica muestra la variación porcentual respecto a su valor medio. Si la

AFC (Análisis Factorial de Correspondencias)

Se utiliza para 2 variables cualitativas dependientes. La asociación entre las variables se mide, a menudo, utilizando el estadístico Chi-cuadrado (si es menor que 0,5, indica una relación significativa entre las variables).

Estudio de Perfiles (Fila/Columna)

• Si los perfiles fila son parecidos al perfil medio, indica que la variable fila es similar en todas las categorías de la otra variable (son independientes, no destacan).
• Si dos filas tienen perfiles parecidos, indica una fuerte asociación entre ellas y aparecerán cerca en el mapa de correspondencias.

Masa

Representa el porcentaje total de frecuencias: para cada columna (perfiles fila) y para cada marca (perfil columna).

Proporción de Inercia

Indica... Continuar leyendo "Criterios de Interpretación y Validación de Modelos Estadísticos Multivariantes" »

Modelos Probabilísticos

Los fenómenos probabilísticos se caracterizan porque, aun cuando se repitan en las mismas condiciones, no arrojan los mismos resultados. Por ejemplo, para predecir la cantidad de lluvia que caerá en una región, se tienen en cuenta varios factores. Pese a tener suficiente información en este sentido, no es posible predecir con exactitud la cantidad de lluvia que caerá en esa región, debido a que se trata de un fenómeno que no es determinístico, sino probabilístico.

Modelos Discretos

Distribución Binomial

Se define la variable aleatoria X que indica el número de veces que se presentó el suceso "éxito" en las n repeticiones del experimento simple ε₁. Esta variable aleatoria se llama binomial, es discreta y asume... Continuar leyendo "Modelos Probabilísticos Fundamentales: Binomial e Hipergeométrica" »

¿Cómo se realiza el análisis estadístico?

El proceso estadístico implica obtener datos y comprender las funciones de densidad, lo cual es crucial para comparar variables.

Tipos de datos

• Corte transversal: Información de N datos en un punto específico del tiempo.
• Datos de panel: Información de N datos a lo largo del tiempo.
• Serie de tiempo: Estudio de dos variables a lo largo del tiempo.

Conceptos clave

Función de densidad: Describe la probabilidad relativa de que una variable tome un determinado valor.

Regresión lineal: Modelo matemático que aproxima la relación de dependencia entre una variable dependiente (y) y variables independientes (xi), incluyendo un término aleatorio.

Mínimos cuadrados ordinarios (MCO): Método para estimar los... Continuar leyendo "Fundamentos de Econometría y Estadística" »

La Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es una técnica matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales, como la Transformada de Fourier.

Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.

Aplicaciones de la Transformada de Laplace

¿Para qué sirve la Transformada de Laplace? Se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales. Aunque puede resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, generalmente se aplica a problemas con coeficientes constantes.

Definición de la Transformada de Laplace de f(t)

ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt

Transformada Inversa