Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

3r Trimestre - Exercicis de Matemàtiques

1. Paral·lelisme i Perpendicularitat

a)

Vectors directors: V_r = (1, 1, 2) i V_s = (2, 3, -1). Com que V_r i V_s no són proporcionals, les rectes r i s no són paral·leles.

Producte escalar: V_r · V_s = 1·2 + 1·3 + 2·(-1) = 3 ≠ 0. Per tant, les rectes r i s no són perpendiculars.

b) Equació general: Ax + By + Cz + D = 0

El vector director V_r ha de passar pel punt P_r = (-5, 5, 3).

(x + 5)·(-7) - (y - 5)·(-5) + (z - 3)·1 = 0

-7x - 35 + 5y - 25 + z - 3 = 0

-7x + 5y + z - 63 = 0

Equació del pla: -7x + 5y + z = 63

Distància entre la recta s i el pla:

d(s, n) = d(P_s, n)

d = |-7·3 + 5·2 + (-1) - 63| / √(7² + 5² + 1²) = 75 / √75 = √75 = 5√3

2. Sistemes d'Equacions Lineals

a) Discussió segons els valors

A continuación, se detallan las definiciones esenciales relacionadas con las funciones en matemáticas:

• Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde, como máximo, un único valor de la segunda, que se llama imagen.

Variables en una Función

• Variable independiente (X): Es aquella cuyo valor se fija previamente.
• Variable dependiente (Y): Es aquella cuyo valor se deduce a partir de la variable independiente.

Conjuntos Asociados a la Función

• Dominio de la función (D(f)): Es el conjunto de todos los valores posibles que toma la variable independiente. Se representa como $\text{D}(f)$.
• Recorrido de la función (R(f)): Es el conjunto de todos los valores posibles que toma

CIRCUMFERÈNCIA:

• Equacions: 1. (x - x₀)² + (y - y₀)² = r²
• 2. x² + y² + Ax + By + C = 0

• Fòrmules varies: 1. arrel quadrada de [(x - x₀)² + (y - y₀)²]
• 2. centre = P₁ (x, y) + P₂ (x, y) / 2                                                                         [es suma "x + x" i "y + y"]
• 3. A = -2x₀  ;  B = -2y₀  ;  C = x₀² + y₀² - r²
• 4. |Ax + Bx + C| / arrel quadrada de[A² + B²]

- Si enunciat dona:  * centre i radi --> equació 1 directe

• * centre i punt --> calcular radi amb fòrmula                                                                      1 i equació 1
• * 2 punts diametralment oposats --> fòrmula 2,                               

Componentes SAD

Cable de comunicación, Tarjeta de adquisición de datos, Conversor analógico-digital/Digital-analógico (Cambia de frecuencia a voltaje), PC.

Definiciones Clave

• Resolución: Es la señal a escala total dividida entre 2 a la n, donde n es el número de bits.
• Precisión: El mínimo cambio que es capaz de detectar un sensor o el posible error cometido en la lectura.
• Máxima Velocidad de Muestreo: Velocidad con la que el dispositivo puede leer las muestras.
• SCADA: Es un generador de señales. La ventaja es que evitamos tener que usar filtros analógicos al hacer la función de filtros digitales.

Reguladores

• 1.- Todo o Nada: Únicamente poseen dos salidas, alta o baja, es como un digital 1 y 0. Nunca se alcanza la consigna, poca vida de

1. Obstáculos para la Inclusión de la Probabilidad en Educación Primaria

• Ausencia de la combinatoria en el currículo de estos niveles.
• Ausencia de la idea probabilística en el currículo.
• Recomendaciones metodológicas en la enseñanza del tratamiento de la información que no incluyen el mundo probabilístico y combinatorio.
• Visión restringida del pensamiento matemático que no permite la inclusión de la incertidumbre.

2. Principios Didácticos para Introducir el Azar en Educación Primaria

• Aprovechar el entorno del niño (juegos, loterías, etc.) para incluir el azar.
• Preparar ejemplos en los que el niño, mediante diagramas de árbol, pueda organizar datos e introducir el concepto de aleatoriedad.
• Desarrollar el vocabulario probabilístico

Estadísticos de Localización

• Media (x̄):
  • Datos sin agrupar: x̄ = 1/n ∑ x_k
  • Datos agrupados: x̄ = 1/n ∑ x_in_i = ∑ x_if_i
• Mediana: Valor que divide los datos en dos grupos con el mismo número de elementos.
• Moda: Valor que más se repite en el conjunto de datos.

Estadísticos de Dispersión

• Rango: V_max - V_min
• Rango Intercuartílico (RIC): C_0.75 - C_0.25
• Varianza (S_n²):
  • S_n² = 1/n * ∑(x_k - media)² (para k=1 hasta n)
  • S_n² = 1/n ∑(x_i - media)² * n_i (para i=1 hasta c)
  • Fórmula abreviada: S_n² = x̄² - media²
• Cuasi-varianza (S²): S² = 1/(n-1) ∑(x_k - media)² = 1/(n-1) ∑(x_i - media)² * n_i = n/(n-1) * S_n²
• Desviación típica (S_n): S_n = √S_n²
• Cuasidesviación típica (S): S = √S²
• Coeficiente de variación o variabilidad relativa: CV = S / |media|

Estadísticos

Introducción

En una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, existe una familia uniparamétrica de funciones que son solución. Para imponer las condiciones de contorno, estas deben satisfacer la solución de la ecuación diferencial.

Resolución Débil

1. Establecer una familia paramétrica de funciones candidatas que aproximen la solución. Su aplicación en la forma fuerte de la ecuación diferencial no verifica la identidad de la ecuación y crea un residuo.
2. Sustituir la familia de funciones candidatas en la forma débil del problema.
3. Escoger funciones de peso (w(x)) concretas para introducir en la forma débil. Se utilizan tantas w(x) como parámetros haya en la fórmula de posibles soluciones.

Alternativas

• Aplicar las condiciones de contorno

Cuerpos Geométricos: Fórmulas de Área y Volumen

1. El Ortoedro

Representación de un ortoedro.

• Área Lateral (A_L): 2ac + 2bc
• Área Total (A_T): 2ac + 2bc + 2ab
• Volumen (V): a · b · c

2. El Cubo

Representación de un cubo.

• Área Total (A_T): 6 · a²
• Volumen (V): a³

3. El Prisma

Representación de un prisma.

• Área Lateral (A_L): Producto del perímetro de la base (p) por la altura (h).
  Fórmula: A_L = p · h
• Área Total (A_T): Área lateral más el área de las dos bases.
  Fórmula: A_T = A_L + 2 · Área de la base (A_b)
• Volumen (V): Área de la base (A_b) por su altura (h).
  Fórmula: V = A_b · h

4. La Pirámide

Representación de una pirámide.

• Área Lateral (A_L): Producto del perímetro de la base (p) por la apotema de la pirámide (a_p), dividido por dos.

Adolphe Quetelet: Padre de la Estadística Moderna

Adolphe Quetelet es considerado el padre de la estadística moderna.

Tipos de Datos en Estadística

Clasificación según el número de variables

• Univariados: Se mide solo una variable en una sola unidad experimental.
• Bivariados: Se miden dos variables en una sola unidad experimental.
• Multivariados: Se miden más de dos variables en una sola unidad experimental.

Clasificación según la agrupación

• Agrupados: Cantidad dada de datos que puede clasificarse, ya sea por sus cualidades cualitativas o cuantitativas, y por tal agruparse para su análisis. Estos datos por lo general son aconsejable agruparles cuando su población cuenta con alrededor de 20 o más elementos que comparten una característica