Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Primaria

Reglas Básicas de Derivación

1. Derivada de una constante: $\frac{d}{dx}(C) = 0$
2. Derivada de x: $\frac{d}{dx}(x) = 1$
3. Derivada de una constante por una función: $\frac{d}{dx}(CV) = (C) \frac{dv}{dx}$
4. Derivada de una suma o resta: $\frac{d}{dx}(U + V - W) = U' + V' - W'$
5. Derivada de una potencia: $\frac{d(x^n)}{dx} = nx^{n-1}$
6. Derivada de una función elevada a una potencia: $\frac{d}{dx}(V^n) = nV^{n-1} \frac{dv}{dx}$
7. Derivada de una raíz enésima: $\frac{d}{dx}(\sqrt[n]{v}) = \frac{1}{n\sqrt[n]{v^{n-1}}} \frac{dv}{dx}$
8. Derivada de una raíz cuadrada: $\frac{d}{dx}(\sqrt{v}) = \frac{1}{2\sqrt{v}} \frac{dv}{dx}$
9. Derivada de un producto: $\frac{d}{dx}(UV) = U \frac{dv}{dx} + V \frac{du}{dx}$
10. Derivada de un cociente: $\frac{d}{dx}(\frac{U}{V}) = \frac{

Sección I: Conceptos Fundamentales de Cálculo y Álgebra

Método de Newton

El Método de Newton (o Newton-Raphson) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de las raíces de una función real.

1. Se selecciona un punto inicial $x_1$.
2. Se calcula la ecuación de la recta tangente (tg) en $x_1$: $y - f(x_1) = f'(x_1)(x - x_1)$.
3. Se iguala la ecuación de la tangente a cero ($y=0$) para encontrar la siguiente aproximación $x_2$.

Máximos y Mínimos

Para encontrar los extremos absolutos de una función $f(x)$ en un intervalo cerrado:

1. Encontrar los puntos críticos:
   • Donde la primera derivada es cero: $f'(x) = 0$.
   • Donde la primera derivada no está definida.
2. Evaluar la función $f(x)$ en los puntos críticos encontrados y en los extremos del intervalo.

Transformación Adiabática: Definición y Fundamentos

Una transformación adiabática se define por la condición de que el calor intercambiado es nulo: $\mathbf{Q=0}$ y, por lo tanto, $\mathbf{dQ=0}$.

Aplicación del Primer Principio de la Termodinámica

Según el primer principio de la termodinámica aplicado a un gas perfecto, la relación diferencial es:

Implicaciones Físicas

• En la expansión de un gas perfecto, se realiza un trabajo positivo a expensas de una disminución de su energía interna (es decir, de su temperatura, $T$).
• En una compresión adiabática, el trabajo recibido por el fluido produce un aumento de la energía interna (o sea, de la temperatura, $T$).

Relación entre Calores Específicos

En...

Errores Fundamentales en el Contraste de Hipótesis

Error Tipo I (α)

El Error Tipo I se define como el error que se comete al rechazar la hipótesis nula (H₀) cuando esta es cierta.

$$\alpha = P(\text{Rechazar } H_0 \mid H_0 \text{ cierta})$$

Error Tipo II (β)

El Error Tipo II se define como el error que se comete al no rechazar la hipótesis nula (H₀) cuando esta es falsa.

$$\beta = P(\text{No se rechaza } H_0 \mid H_0 \text{ falsa})$$

Control de Errores y Potencia

Cuando establecemos un nivel de significación o de confianza, se está intentando controlar la $P(\alpha)$ (Error Tipo I).

Cuando establecemos una potencia deseada, se está intentando controlar la $P(1-\beta)$ (la probabilidad de rechazar $H_0$ cuando es falsa, es decir, la potencia...

Manipulación de Matrices y Vectores

• A[filas, columnas]: Selecciona filas y columnas de un objeto para formar una matriz.
• c(2:6): Genera un vector con los números especificados.
• cbind: Combina vectores y matrices por columnas.
• rbind: Combina vectores y matrices por filas.

Gestión del Entorno y Exploración de Datos

• dir: Lista los objetos en el directorio de trabajo.
• class: Muestra la clase de un objeto.
• simple_n: Muestra el tamaño de la muestra.
• slice: Selecciona datos según su posición.

Transformación y Limpieza de Datos (Tidyverse)

• filter: Filtra observaciones según una condición (ej. filter(municipio == "Viti")).
• select: Selecciona columnas (variables) específicas.
• mutate: Añade nuevas variables o modifica las existentes.
• summarise: Resume datos

Correlación y Regresión

• ¿Cuándo hay correlación positiva?
  Siempre que los valores de X e Y aumentan con la misma intensidad.
• ¿Cuándo hay correlación negativa?
  Siempre que el valor de X aumenta y el valor de Y disminuye.
• ¿Qué es el coeficiente de determinación?
  Se define como la proporción de la varianza total de la variable explicada por la regresión.
• ¿Qué es el coeficiente de determinación ajustado?
  Es la medida que define el porcentaje explicado por la varianza de la regresión en relación con la varianza de la variable explicada.

Experimentos y Probabilidad

• ¿Qué es un experimento determinista?
  Son aquellos experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
• ¿Qué es un experimento aleatorio?
  Son aquellos

Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva

1. Coeficiente de Asociación H

El coeficiente de asociación H no tiene límites definidos. Se utiliza en tablas de contingencia para determinar el tipo de asociación entre modalidades.

• Fórmula: H = (nij - (ni. * n.j) / N)
• Interpretación:
  • Si H = 0, existe independencia entre las modalidades (en tablas 2x2).
  • Las frecuencias n₁₂ y n₂₁, así como n₁₁ y n₂₂, deben tener el mismo signo para comparar la asociación.

2. Terminología de Frecuencias

El lenguaje estadístico se aplica tanto a frecuencias absolutas (n) como relativas (f):

• n_ij: Frecuencia absoluta conjunta (unidades con X=x_i e Y=y_j).
• n_i.: Frecuencia absoluta de la variable X (unidades con X=x_i).
• n_.j: Frecuencia absoluta de la variable Y (unidades

Interacción entre Demandantes y Oferentes

1. Representación gráfica: Elaborar un gráfico con el eje vertical para el precio (unidades monetarias) y el eje horizontal para la cantidad total (Demanda/Oferta).
2. Punto de equilibrio: Identificar el punto donde se cruzan las curvas para determinar el número de transacciones de equilibrio.
3. Tablas de datos: Construir dos tablas detallando el precio, la cantidad individual (p) y la cantidad sumada o agregada.
4. Cálculo de excedentes:
   • Obtener el Precio Medio (Pme) mediante la fórmula: Pme = (Ps + Pd) / 2.
   • Calcular el Excedente del Consumidor/Demandante (E.C.): (D - Pme).
   • Calcular el Excedente del Productor/Oferente (E.P.): (Pme - S).
5. Cálculo del Beneficio (B): Se define como IT - CT = B.
   • Ingreso Total (IT):

Estado: El Estado de un Sistema Dinámico es el conjunto de variables más pequeño llamadas variables de estado, por lo que el conocimiento de estas variables en t=t₀, junto con la entrada para t≥t₀, determinan el comportamiento del Sistema en cualquier t≥t₀.

Variables de Estado: Son el menor conjunto de variables que determinan el estado del Sistema dinámico. Si al menos se necesitan n variables x₁, x₂,...,x_n, para describir completamente el comportamiento del sistema, entonces tales n variables son un conjunto de variables de estado.

Vector de Estado: Si se necesitan “n” variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas “n” variables de estado se consideran los “n” componentes...

Distribución de la Participación Deportiva por Género

A continuación, se presentan los datos de frecuencia y porcentaje relacionados con la práctica deportiva, segmentados por género.

Tabla 1: Frecuencia General de Práctica Deportiva

Esta tabla resume la distribución general de las respuestas (SÍ/NO) a la pregunta sobre la práctica deportiva.

Tabla 2: Distribución Porcentual Detallada por Género

Esta sección muestra los porcentajes específicos dentro de cada grupo de género (Hombres y Mujeres) respecto a la práctica deportiva.