Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Primaria

Entornos en la Recta Real

• Entorno de centro a y radio B: E(a, B) = (a – B, a + B)
• Entorno reducido de centro a y radio B: E*(a, B) = (a – B, a) ∪ (a, a + B)

Propiedades de los Conjuntos (A ⊂ ℝ)

Acotación

• Acotado superiormente: Existe k ∈ ℝ tal que x ≤ k, ∀x ∈ A. En este caso, k es una cota superior de A.
• Acotado inferiormente: Existe k ∈ ℝ tal que x ≥ k, ∀x ∈ A. En este caso, k es una cota inferior de A.

Extremos y Óptimos

• Extremo superior (sup(A)): La menor de sus cotas superiores.
• Extremo inferior (inf(A)): La mayor de sus cotas inferiores.
• Máximo (max(A)): sup(A) si sup(A) ∈ A.
• Mínimo (min(A)): inf(A) si inf(A) ∈ A.

Axiomas

• Axioma del supremo: Si A ≠ ∅ y está acotado superiormente, tiene extremo superior.
• Axioma

**3. Método de Interpolación Lineal**

Consideremos un subintervalo de separación (x₁; x₂), donde ƒ(x₁) y ƒ(x₂) tienen signos opuestos y ƒ(x) es monótona. Entonces, ƒ(x) tendrá una raíz en este subintervalo.

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁ y P₂ es:

Para hallar la intersección con el eje de las abscisas, hacemos y=0, obteniendo x=x₃, que está más cerca del verdadero valor de la raíz.

Resulta:

Despejando x₃:

Utilizamos este valor para calcular y₃=ƒ(x₃). Luego, comparamos los signos de ƒ(x₁) y ƒ(x₂), tomando aquel que satisface sg ƒ(x_k) ≠ sg ƒ(x₃), formando un nuevo subintervalo con x_k y x₃. Repetimos este procedimiento, obteniendo nuevos subintervalos cada vez más pequeños, hasta que dos valores consecutivos...

Tablas de Verdad de Operadores Lógicos Fundamentales

Las tablas de verdad definen el resultado lógico de una proposición compuesta basándose en el valor de verdad de sus componentes (P y Q).

Implicación Material (P => Q)

Bicondicional (P <=> Q)

Clasificación de Operadores Utilizados en Programación

A continuación, se detallan los operadores comunes clasificados por su función: relacionales, lógicos y algebraicos.

A continuación, se presenta una revisión técnica de conceptos fundamentales en geostadística, métodos de interpolación y teoría de errores, estructurada para facilitar su estudio y comprensión.

1. Métodos de Interpolación y Autocorrelación

• 1.- El método más adecuado de interpolación para valores cualitativos es:

  A) Diagrama de Voronoi

• 2.- Los principales estadísticos para el análisis de una serie n-dimensional de observaciones son:

  D) Media, covarianzas y coeficiente de correlación

• 3.- Podemos decir que existe autocorrelación espacial positiva si:

  A) El índice de autocorrelación de Moran es mayor que cero

• 4.- ¿Cuál de las siguientes condiciones no es necesaria para que el método TIN en la triangulación de Delaunay reproduzca

Tipos de Métodos de Investigación

a) Método Experimental

• Establece relaciones explicativas de tipo CAUSA – EFECTO.
• Busca la relación de causalidad entre dos variables (X e Y).
• El Método Experimental exige:
  1. Variables que se puedan manipular.
  2. Variables extrañas que se conozcan y que se puedan controlar (aislar el fenómeno).
  3. Ambiente controlado (laboratorio).
  4. Grupo Experimental (al que se le aplica el “tratamiento”) y un Grupo Control.

b) Método Correlacional

• Permite estudiar la relación que existe entre dos variables (sin que se asuma una relación causal entre ellas).
• Las correlaciones informan acerca de:
  • Cambios sistemáticos entre variables.
  • En qué medida dos variables varían juntas.
• Una correlación entre dos variables puede suponer:
  1. Que

Ángulos entre rectas

Rectas paralelas cortadas por una secante:

Rectas cortadas por una transversal crean ocho ángulos. Opuestos pero forman ocho ángulos.

Ángulos según el lugar que reciben

• Interiores o internos.
• Exteriores o externos.

Ángulos correspondientes

Ángulos correspondientes: se encuentran en el mismo lado de la secante. Son iguales entre sí.

Ángulos alternos

Alternos internos: Se encuentran en distinto lado de la recta secante y en el interior de las rectas paralelas. b y d', c y a' son iguales entre sí.

Alternos externos: Son los que se encuentran en distinto lado de la recta secante y en el exterior de las rectas paralelas. a y c', d y b' son iguales entre sí.

Rectas notables en triángulos

Rectas notables: TRIÁNGULOS

• Mediatrices:

Conceptos Fundamentales de la Medición

Valor verdadero: Es aquel que caracteriza una cantidad perfectamente definida en las condiciones existentes.

Sesgo: Es la diferencia sistemática entre el resultado de las medidas realizadas con respecto al valor aceptado como valor verdadero; es la expresión de la inexactitud del método y representa el error sistemático total de la medida.

Trazabilidad: Propiedad del resultado de una medida tal que se puede relacionar con referencias determinadas, generalmente por patrones internacionales, por medio de una cadena ininterrumpida de comparaciones.

Exactitud: Es el grado de concordancia entre el resultado de la medición y el valor verdadero.

Precisión: Es el grado de concordancia entre los resultados obtenidos...

Producción y Costes (Largo Plazo)

El truco: Dominar las derivadas básicas. El medio se obtiene dividiendo entre q; el marginal se obtiene derivando respecto a q.

Paso 1: Funciones medias y marginales

• Teoría: CTMeL = CT / q y CMaL = dCT / dq.
• Ejemplo (CTL = 60q - 24q² + 8q³): CTMeL = 60 - 24q + 8q², y CMaL = 60 - 48q + 24q².

Paso 2: Punto de Inflexión (PI)

• Teoría: Se realiza la derivada del CMaL, se iguala a cero y se despeja q.
• Ejemplo: dCMaL/dq = -48 + 48q = 0 → q_PI = 1.

Paso 3: Óptimo de Explotación (OE)

• Teoría: Se realiza la derivada del CTMeL, se iguala a cero y se despeja q.
• Ejemplo: dCTMeL/dq = -24 + 16q = 0 → q_OE = 1,5.

Competencia Perfecta (Corto Plazo)

El truco: La empresa no elige el precio, se lo da el mercado. Siempre se cumple...

Parábola: es el conjunto de todos los puntos P del plano que son equidistantes de una recta fija D, llamada direc., y de un punto F, (foco)/PF = PD /Elementos: -Vértice(V):

Métodos de Estimación en Modelos de Ecuaciones Simultáneas

Estimación en Modelos de Ecuaciones Sobreidentificadas

La aplicación del método de **Mínimos Cuadrados en Dos Etapas (MC2E)** está recomendada para la estimación de ecuaciones **sobreidentificadas** cuando no se puede utilizar el método **MCI** (Mínimos Cuadrados Indirectos), ya que este último daría lugar a diferentes estimaciones para un mismo parámetro.

• El método **MC2E** ofrece un **valor único** para cada parámetro.
• Si se utiliza MC2E en ecuaciones **exactamente identificadas**, produce la misma estimación que los métodos MCI y VI.
• En condiciones de **sobreidentificación**, el método MC2E ofrece estimaciones **determinadas y consistentes**.

Por otro lado, la estimación...