Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Primaria

Inversas de Matrices

Existencia y Unicidad de la Inversa

Si existen las matrices L y R, inversas por la izquierda y derecha de A respectivamente, entonces dichas inversas coinciden: L = R.

Demostración:

• L = L * I_m = L(AR) = (LA)R = I_n * R = R

Si existen ambas clases de inversas, entonces A es cuadrada. Llamamos B a L y R, entonces:

• BA = I_n
• AB = I_m

Entonces, m = n.

La inversa de una matriz cuadrada A, cuando existe, es única.

Demostración:

• L = R = B
• A * B = I
• B * A = I

Supongamos que existe otra matriz B' inversa de A:

• B' * A = I
• A * B' = I
• (B'A)B = B'I
• IB = B'I
• B = B'

Por lo tanto, B es única y obliga a B' a ser igual que B para ser inversa de A. Entonces, L = R = B = A^-1.

Estructura del Conjunto de Soluciones de un Sistema de Ecuaciones

• Ecuación general: Ax

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Trigonometría

La trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. También se aplica a otras ramas de la geometría, como el estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Variable

Una variable es una propiedad que puede fluctuar y cuya variación es susceptible de adoptar diferentes valores, los cuales pueden medirse u observarse. Las variables adquieren valor para la investigación cuando se relacionan con otras variables, es decir, si forman parte de una hipótesis o de una...

Glosario de Términos Fundamentales en Estadística e Investigación

• Experimento: Proceso de realizar una observación o una medición.
• Variable: Característica o fenómeno que puede tomar distintos valores.
• Dato: Resultado de la observación de una variable.
• Población: Conjunto total de elementos o individuos que poseen una característica común acerca de la cual se quiere información.
• Muestra: Subconjunto de la población, seleccionado de acuerdo con una regla.
• Censo: Obtención de todos los datos de interés que posee la población.
• Estadístico: Función o fórmula que depende de los datos de la muestra. Su valor es conocido, pero es variable.
• Parámetro: Función o fórmula que depende de los datos de la población. Su valor es único y desconocido,

1. Posición relativa de una recta y un plano

Recta contenida en un plano

Para determinar si una recta está contenida en un plano, podemos verificar si dos puntos de la recta pertenecen al plano. Si ambos puntos satisfacen la ecuación del plano, entonces la recta está contenida en él.

Ejemplo

Determinar si la recta r, definida por las ecuaciones paramétricas x = 1 + 4t, y = -1 + t, z = t, está contenida en el plano π: x + 3y - z + 3 = 0.

Solución

Primero, encontramos dos puntos de la recta r. Podemos tomar t = 0 y t = 1:

• Para t = 0: P(1, -1, 0)
• Para t = 1: Q(5, 0, 1)

Ahora, verificamos si estos puntos satisfacen la ecuación del plano π:

• Para P(1, -1, 0): 1 + 3(-1) - 0 + 3 = 1. El punto P pertenece al plano.
• Para Q(5, 0, 1): 5 + 3(0) - 1 + 3

Magnitudes Escalares

En el estudio de la física encontramos conceptos o magnitudes, tales como el tiempo, la masa, la carga eléctrica y la temperatura, que quedan completamente caracterizadas al indicar una cantidad o valor (valor numérico y unidad de medición).

Magnitudes Vectoriales

En física, encontramos otros conceptos que, para determinarlos completamente, se requiere conocer, además de su magnitud escalar o tamaño, su componente direccional. Estos conceptos obedecen a reglas diferentes de las cantidades escalares. Dichos conceptos se llaman Magnitudes Vectoriales.

Propiedades de los Vectores

• Módulo: Corresponde a la longitud del trazo dibujado que representa el vector.
• Dirección: Está dada por la recta que contiene el vector.
• Igualdad

Medidas Fundamentales en Estadística

Medidas de Tendencia Central

Estas medidas buscan representar el centro de la distribución de los datos:

• Promedio (Media Aritmética, $\bar{x}$ o $\mu$)
• Mediana
• Media Geométrica

Medidas de Dispersión (Variabilidad)

Estas medidas cuantifican la dispersión de los datos alrededor del valor central (donde $n$ es el número de medidas):

• Variabilidad (Intervalo o Rango): Valor alto - Valor bajo.
• Desviación Estándar ($s$): Mide la dispersión promedio de los datos respecto a la media.
• Varianza ($s^2$): Es el cuadrado de la desviación estándar. Se relaciona con los grados de libertad y la suma de cuadrados.
• Coeficiente de Variación (CV): Se expresa como porcentaje y permite comparar la dispersión entre conjuntos

Elasticidad Precio de la Demanda

Mide la relación exacta entre los cambios porcentuales en el precio de un bien y los cambios en la cantidad demandada de éste. La ley de la demanda nos indica que la elasticidad precio siempre será negativa. La elasticidad (en valor absoluto) será mayor para los bienes que tengan pocos sustitutos. La pendiente negativa de la curva de demanda implica que, al aumentar el precio, disminuirá la cantidad demandada del bien en cuestión, y que, al reducirse el precio, aumentará la cantidad demandada.

La elasticidad precio nos indica el porcentaje de variación de la cantidad demandada del bien q ante una variación porcentual dada en el precio del mismo bien (p). La derivada está relacionada con la pendiente...

Regla de la cadena: Considere una función f que depende de las variables x, y, así z = f(x, y) y en donde x e y son funciones de t, es decir, x = x(t) e y = y(t). Luego tenemos que ∂f/∂t = ∂f/∂x * dx/dt + ∂f/∂y * dy/dt.

Derivada Direccional y Vector Gradiente

1. Sacar derivadas parciales de cada variable y reemplazar el punto dado en esas derivadas = vector gradiente.
2. Restar puntos para sacar vector PQ y dividirlo por el módulo PQ = vector unitario.
3. D_uf = U * vector gradiente.

Teorema de la Función Implícita

(Este dice que una expresión "x" define a z = f(x,y)). Requisitos de la derivación implícita:

1. Analizar si f(x,y,z) es derivable (diferenciable).
2. f(x,y,z) debe anularse en el punto dado (=0).
3. La derivada parcial de z en el punto

Aplicación de la Semejanza de Triángulos: Medición de Alturas con un Cartabón

Un cartabón es un instrumento de dibujo con ángulos de 30°, 60° y 90°. Para medir la altura de un edificio utilizando este método, se procede de la siguiente manera:

• Colocamos el cartabón de modo que la hipotenusa quede frente a nuestro ojo.
• Nos alejamos del edificio, caminando hacia atrás, hasta que podamos ver la parte superior de este mirando a través de la hipotenusa del cartabón.
• Medimos la distancia que hemos recorrido desde el punto inicial hasta esta posición.
• Dado que el edificio y el lado vertical del cartabón son paralelos, los triángulos que se forman son semejantes. Esto nos permite calcular la altura del edificio mediante la proporcionalidad

Estadística Descriptiva: Organización y Resumen de Datos

Construcción de Intervalos de Frecuencia

Pasos para agrupar datos en intervalos:

1. Calcular el recorrido o amplitud total de la distribución (R = X_max - X_min).
2. Estimar el número de intervalos (k). Se pueden usar reglas como la de Sturges (k ≈ 1 + 3.322 * log₁₀(N)) o elegir un número conveniente (usualmente entre 5 y 15).
3. Determinar la amplitud de los intervalos (A ≈ R / k). Se suele redondear por exceso a un número manejable.
4. Calcular los límites de cada intervalo, asegurando que cubran todo el recorrido de los datos. Definir el límite inferior del primer intervalo y el límite superior del último intervalo.
5. Calcular las frecuencias (absolutas, relativas, acumuladas) para cada intervalo.