Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Primaria

Fundamentos de Geometría: Teoremas de Semejanza y Elementos del Círculo

Teoremas Clave sobre la Proporcionalidad y Semejanza de Triángulos (Capítulo 9)

Proporcionalidad de Lados

• Teorema 9.6: Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a estos proporcionalmente.
• Teorema 9.7 (Recíproco): Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.

Criterios de Semejanza

• Postulado de la Semejanza AAA: Si tres ángulos de un triángulo son congruentes con los tres ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.
• Teorema 9.8 (Teorema de la Semejanza AA): Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con

Resumen de Procedimientos Matemáticos Fundamentales

I. Resolución de Ecuaciones

Ecuaciones Racionales

1. Calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.
2. Resolver la ecuación resultante.
3. Comprobar que las soluciones obtenidas no anulan ningún denominador (el resultado no puede ser cero en los denominadores).

Ecuaciones Irracionales

1. Aislar uno de los radicales en uno de los miembros de la ecuación.
2. Elevar ambos miembros al cuadrado.
3. Si persisten radicales, repetir el proceso de aislamiento y elevación al cuadrado.
4. Resolver la ecuación algebraica resultante.
5. Comprobar rigurosamente todas las soluciones en la ecuación original.

Ecuaciones Exponenciales

1. Aplicar propiedades de las potencias para expresar todos los términos con la misma

   conjunto:
es cualquier colección de objetos.
sucesión={2,4,6,8,10,12,14...2n}2=termino gral.
A={8,25,26,1/2,-20}
A={1,2,3,4,} a={1,3,4,2} a={1,2,2,3,4,4}
si un conjunto es infinito
B={x|x es un entero par y positivo}
B={2,4,5,8,...2n}
si x es un conjunto finito, se define
|x|=numero de elementos en x
ejemplo si A={1,2,3,4}
entonses |A|=4
si x esta en x?X y si no esta x€X ejemplo e?E E={a,e,i,o,u}
conjunto vacío o nulo:es aquel que no tiene elemento alguno, y si denota por 0 entonses 0={}
ejemplo si A={x|x²+x-6=0} B={2,-3} x²+x-6=0 (x+3)(x-2)=0 x₁=-3 x₂=2 A={2,-3} conclucion A=B
si todo elemento de x es un elemento de y se dice que es un subconjunto de y, y se espresa xcy
ejemp
lo si C={1,3} y A={1,2,3,4}
entonses Ces un subconjunto de A CcA
cualquier...

Componentes Clave de las Series Temporales

La descomposición de una serie temporal permite identificar y aislar los patrones fundamentales que rigen su evolución:

Tendencia

Patrón de evolución de la serie, **sostenido a medio o largo plazo**, que se mantiene por encima de la existencia de movimientos rápidos a corto plazo. (Ejemplo: IPC consumo de bebidas alcohólicas y tabaco).

Ciclo

Patrón de evolución que revela cierta propensión de la serie a **repetirse a muy largo plazo** en una misma secuencia de comportamientos tendenciales.

Estacionalidad

Patrón de evolución de la serie que se repite de forma más o menos invariable en **intervalos temporales similares** (generalmente un año, aunque puede manifestarse de forma semanal, trimestral,...

Gestión y Transformación de Variables

Crear una nueva variable agrupada en intervalos

Para realizar este proceso, siga la ruta: Transformar > Agrupación visual > Crear puntos de corte > Crear etiquetas > Variable agrupada (asignar nombre). Este procedimiento solo es de utilidad para la tabla de frecuencias.

Crear una nueva variable a partir de otras

Siga la ruta: Transformar > Calcular variable > asignar Nombre en variable de destino > añadir las variables deseadas. Un ejemplo común es el cálculo del IMC (Índice de Masa Corporal).

Relaciones entre Variables y Modelos Lineales

Comparar grupos con variable escala

Para este análisis, acceda a: Analizar > Estadísticos descriptivos > Tablas de contingencia.

Diagrama de

Sistema de Coordenadas Universal Transversal de Mercator (UTM)

El sistema de coordenadas universal transversal de Mercator (UTM) es un sistema de coordenadas basado en la proyección cartográfica transversal de Mercator. Se construye como la proyección de Mercator normal, pero en vez de hacerla tangente al Ecuador, se la hace secante a un meridiano. A diferencia del sistema de coordenadas geográficas, expresadas en longitud y latitud, las magnitudes en el sistema UTM se expresan en metros.

Las ventajas de este formato son:

• Se conservan los ángulos.
• No se distorsionan las superficies en grandes magnitudes, por debajo de los 80º de latitud (no se usa en zonas polares porque produce una gran distorsión cuanto mayor es la distancia al Ecuador,

Función DENSIDAD Normal Estándar:
Es una función continua, que viene explicitada por una función del tipo exponencial. Su representación gráfica es campanular.
Es una curva uniforme con ordenadas siempre positivas y definida para todo el campo real. Es monótona decreciente hacia ambos lados del único valor máximo que presenta.
Es simétrica respecto al eje de ordenadas y asintótica con respecto al de abscisas.  F(x) igual a cero, cuando X →mas o menos infinito
Presenta un único máximo, el cual se presenta cuando Z = 0 y su valor de ordenada máxima es f(z=0)  0,39894
Presenta dos puntos de inflexión, para las abscisas mas menos,1.

Función DENSIDAD Normal Gral.
Es una función continua, que viene explicitada por una función del...

Muestreo por conglomerados

Conglomerados: se utiliza cuando no hay acceso a bases de datos de primer nivel, pero sí a las de niveles inferiores. Abarata los costes.

Muestreo por conglomerados en varias etapas (polietápico)

Etapas

1. Primera etapa: se procede dividiendo la población en varios conglomerados y se selecciona un número de ellos, que constituyen las unidades muestrales primarias.
2. Segunda etapa: se obtiene una submuestra a partir de las anteriores, que constituyen las unidades muestrales secundarias, y así sucesivamente se submuestrean las unidades anteriores hasta llegar a la muestra final.

Ventajas

• No es necesario identificar ni tener un listado de todos los elementos de la población para seleccionarlos aleatoriamente; después de seleccionados

BLOQUE 2: Geometría Diferencial

Teoría

Problema 1

Enunciado:

Dada una curva expresada en \(\mathbb{R}^2\) de forma implícita:

2x^2 - 8x + y^2 - 4 = 0

a) Forma paramétrica

Despejando y^2 se obtiene:

y^2 = -2x^2 + 8x + 4.

Una parametrización estándar es tomar x = t y

• y(t) = +\sqrt{-2t^2 + 8t + 4} (rama positiva),
• o y(t) = -\sqrt{-2t^2 + 8t + 4} (rama negativa).

Por tanto, una forma paramétrica completa es

r(t) = (t, \pm\sqrt{-2t^2 + 8t + 4}), definida para los valores de t que hacen que el radicando sea no negativo.

Problema 2

Enunciado:

Dada la curva en \(\mathbb{R}^3\) expresada en forma paramétrica:

r(t) = (t+2,\; t^3,\; \sin t)

a) Vector tangente r'(t) en un punto cualquiera y ecuación del plano y de la recta tangente a la curva en P = r(0)

Derivadas: