Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Secundaria

Regla de la Cadena

Si f es diferenciable en a y g es diferenciable en f(a), entonces la función compuesta g ◦ f es diferenciable en a y su derivada es (g ◦ f)´(a) = g'(f(a))f'(a).

Demostración

Veamos que lim_x→a (g(f(x))−g(f(a)))/(x−a) = g'(f(a))f'(a) por sucesiones (Nota 42). Sea una sucesión {x_n} → a cualquiera, con x_n ≠ a, ∀ n, y supongamos que f(x_n) ≠ f(a), ∀ n (el caso general es más complicado). Multiplicando y dividiendo por f(x_n)−f(a) ≠ 0 tenemos que (g(f(x_n))−g(f(a)))/(x_n−a) = (g(f(x_n))−g(f(a)))/(f(x_n)−f(a)) · (f(x_n)−f(a))/(x_n−a).

Estudiemos los dos cocientes de la derecha: Como {x_n} → a y f es diferenciable en a, la sucesión {(f(x_n)−f(a))/(x_n−a)} converge a f'(a). Como la sucesión {f(x_n)... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Derivación en Cálculo" »

Funtzioaren Definizioa

Matematikan, funtzio bat bi magnituderen arteko erlazioa da, non aldagai askearen (normalean x) balio bakoitzari menpeko aldagaiaren (normalean y) balio bakarra dagokion. Hau y = f(x) moduan adierazten da.

Funtzioen Oinarrizko Kontzeptuak

Definizio-eremua eta Irudia

Definizio-eremua (D.E.): Funtzioa existitzen den eta zentzua duen x-ren balioen multzoa da.

Irudia (I.) edo Helburu-multzoa: Funtzioak hartzen dituen y-ren balioen multzoa da, hau da, definizio-eremuko x balioei dagozkien f(x) balio guztien multzoa.

Adierazteko Moduak

Funtzio bat hainbat modutan adieraz daiteke:

• Enuntziatua: Testu bidez edo ahoz deskribatuta, aldagaien arteko erlazioa azalduz.
• Balio-taula: Informazioa taula batean jasota, x-ren hainbat baliori dagozkien

a) Relación entre la variable b1 y la variable dependiente

A medida que aumenta b1, aumenta la variable dependiente.

La empresa con mayor número de competidoras alcanza una mayor variable dependiente.

Cuando se incrementa en una unidad la variable b1, el modelo estima que la variable dependiente experimenta un incremento.

La variable b1 tiene una influencia positiva en la variable dependiente.

Hipótesis:

H0: β1=0

H1: β1>0

Estadístico:

t1

Punto crítico:

t1>; Rechazo H0; podemos afirmar que si aumentan b1 también aumentan la variable dependiente con una probabilidad de equivocarme del 5%

t1<; Acepto H0, para un nivel de significación del 5% podemos afirmar que las empresas con más b1 no alcanzan una mayor variable dependiente.

Si me hacen... Continuar leyendo "Análisis Estadístico: Pruebas de Hipótesis y Predicción" »

Covarianza

La covarianza es un valor que indica el grado de variación conjunta de dos variables. Es el dato básico para determinar si existe una dependencia y estimaciones de dos variables.

• Si COV(X, Y) = S_XY > 0: Hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de x corresponden grandes valores de y.
• Si COV(X, Y) = S_XY = 0: No existe una relación lineal entre las dos variables estudiadas.
• Si COV(X, Y) = S_XY < 0: Dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de x corresponden pequeños valores de y.

Experimento y Espacio Muestral

Un experimento es un proceso que genera resultados bien definidos.

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se representa con la letra griega... Continuar leyendo "Conceptos básicos de probabilidad y estadística" »

Estimació per intervals :  població normal i variancia poblacional coneguda : [ mitjana- zi-alfa/2 • ( arrel de variancia bolinche /n)  i laltre sumant]  ( normal) .... Població normal i variancia desconeguda = [ mitjana - tstudent- alfa entre dos ( 1- alfa) i buscarho a la tstudent..  • ( arrel variancia poblacional S /n ] ... Si es la desv típica seleva a 2.. 

Per la variancia= [ ((n-1)•S^2) / xi- alfa/2 ... ]  2on interval : igual dividit per x alfa /2 ( buscat a taula directament de khi quadrat!! ) .... Per la proporció= [ mitjana mostral - zi-alfa/2 • ( arreel de mitjana mostral x (  1-mitjana mostral) / N ))  interval dos : sumat  ...Normal ...

Taula normal 95% = 1'96/ i 99: 2'5758...

Si difereix  la mitjana de lesperanza... Continuar leyendo "Fórmules Clau d'Estadística: Intervals i Contrast d'Hipòtesis" »

Criterios de Justicia Distributiva y Bienestar Social

Utilitarismo Clásico: Maximización de la Utilidad Total

El criterio utilitarista busca maximizar la suma de las utilidades individuales (max $\sum u_i$), mostrando una indiferencia ante las desigualdades de utilidad si se cumplen las siguientes condiciones:

• Los individuos tienen funciones de utilidad idénticas, que solo dependen de su renta.
• Las utilidades presentan utilidad marginal decreciente.
• La renta total está dada.

Bajo estas premisas, la renta deberá ser distribuida de manera igualitaria para alcanzar el máximo bienestar agregado.

Rawlsianismo o Criterio Maxi-Min

Este criterio se define como max Min $u_i$, lo que implica una máxima aversión a la desigualdad. El objetivo es maximizar... Continuar leyendo "Fundamentos de la Distribución de Renta: Utilitarismo, Rawls y Medición de la Desigualdad" »

1) Media: La media de una distribución es el valor central de la misma, alrededor del cual se distribuyen los valores. Siendo x1,x2,⋯xn ,  los valores de la distribución.

2) Moda: es el dato que más se repite.

3) Mediana: representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

4) Rango: intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo, permite obtener una idea de la dispersión de los datos.

5) Varianza: indica cómo se dispersa cada valor respecto a su propia media, mayor varianza los datos están más dispersos.

6) Desviación estándar: es la raíz cuadrada de la varianza.

7) Coeficiente de variación: es la relación entre la desviación estándar de una muestra y su media.

8) Covarianza: medida de resumen... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística: Medidas y Definiciones Clave" »

Conceptes Fonamentals de Funcions

Funció: Igualtat entre variables x, y (y=f(x)) on per cada valor de x tenim un únic valor de y.

Domini: Conjunt de valors que podem donar a x per calcular y.

Recorregut: Conjunt de tots els valors que pren la variable dependent.

Continuitat: Si podem dibuixar el seu gràfic d’un sol traç.

Discontinuitat: Punts en què s’interromp el gràfic.

Creixent: Si la y puja.

Decreixent: Si la y baixa.

Constant: Si la y no varia.

Màxim: Si creix i immediatament després decreix (relatiu i absolut).

Mínim: Si decreix i immediatament després creix (relatiu i absolut).

Periodicitat: Si f(x) es repeteix cada cert interval.

Funció polinòmica: Podem donar qualsevol valor a x: domf(x)=R.

Teoremes Matemàtics Rellevants

Teorema

Conceptos Básicos de la Ciencia

La **ciencia** es una actividad humana que busca entender los fenómenos que ocurren en la naturaleza. El producto de esta actividad es el **conocimiento científico**, que se obtiene a partir del **método científico**. Este requiere:

• Observación rigurosa de los fenómenos.
• Razonamiento.
• Experimentación: comprobar el razonamiento.

Etapas del Método Científico

1. Plantear el problema.
2. Buscar información.
3. Formulación de hipótesis.
4. Operacionalización de variables.
5. Experimentación.
6. Análisis de resultados.
7. Conclusiones.
8. Validación de hipótesis.

Magnitudes y Unidades

**Magnitudes**: cualquier propiedad de la materia que se puede medir. La medida de una magnitud es el número de veces que la cantidad de magnitud considerada... Continuar leyendo "Conceptos Básicos de la Ciencia: Magnitudes, Unidades y Medición" »