Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Teorema de Rolle

Si la función y = f(x) es continua en [a; b], derivable en (a; b), y f(a) = f(b), entonces existe al menos un x₀ en (a; b) tal que: f'(x₀) = 0.

Demostración

La continuidad de y = f(x) en el intervalo cerrado [a; b] implica la existencia en este intervalo de un máximo absoluto M y de un mínimo absoluto m, según el teorema de Weierstrass. Pueden ocurrir dos casos excluyentes:

• Caso 1: El máximo M está en (a; b); el mínimo m está en (a; b), o ambos están en (a; b).
• Caso 2: M y m están en los extremos del intervalo a y b, en cualquiera de las dos posiciones posibles.

Supongamos el caso 1, y que M es el valor de la función en un punto del intervalo abierto (a; b). Por ser absoluto y estar en el intervalo abierto es también... Continuar leyendo "Teoremas de Rolle, Lagrange, Infinitésimos y Criterios de Convergencia" »

Características poblacionales y muestrales

Parámetro estadístico

Resume la información calculada con las variables poblacionales. Se representa con letras griegas.

→ Las operaciones algebraicas realizadas con parámetros también son parámetros.

Estadígrafo y estimador

→ Estadígrafo: función escalar generada con las variables muestrales.

• ➢ Estadígrafo de transformación: tipo especial de estadígrafo que se utiliza para inferir concretamente los parámetros. Es un estadígrafo que permite transformar al estimador en una variable que tenga una determinada distribución de probabilidad.

→ Estimador de un parámetro: todo estadígrafo que proporcione información acerca de dicho parámetro.

Estimación

Inferir conclusiones acerca de los... Continuar leyendo "Conceptos clave de estadística: parámetros, estimadores y propiedades" »

Análisis de Regresión

Método estadístico que permite explicar el comportamiento de una variable cuantitativa, a partir del comportamiento de otra u otras variables que puedan estar relacionadas, estableciendo la expresión funcional del modelo matemático que describa dicho comportamiento.

Conceptos Fundamentales en Regresión

Variable Explicada: Variable cuyo comportamiento se describe a partir del comportamiento de otra de las variables.

Variable Explicativa: Variable que explica el comportamiento de la variable explicada.

• Función de Regresión: Modelo matemático que interviene en el modelo estadístico de regresión.
• Residuo Aleatorio: Variable aleatoria que forma parte del modelo estadístico.

Supuestos del Modelo de Regresión

• El residuo

Prueba de Homocedasticidad (Hartley)

S1²=0,3 S2²=1,5 S3²=2,6 Hartley=S²Mayor/S²Menor = 2,6/0,3=8,66

H0: Las varianzas son iguales (hay homocedasticidad)

H1: Las varianzas son diferentes (no hay homocedasticidad)

F(4,4,0,05)=6.39 gl1=4 gl2=4 Se rechaza la hipótesis nula

Dado que se rechaza la hipótesis nula, se concluye que no hay homocedasticidad. A pesar de esto, se puede continuar con el análisis de varianza, pero se debe tener en cuenta esta violación del supuesto.

Análisis de Varianza (ANOVA)

N (Número de datos)=15 R (Número de Repeticiones)=5 K (Número de Tratamientos)=3 alfa=0,05

SCT= {Yij² ({X²)- (Y..)²/N = 44 SCentre= {Yi.²/R - (Y..)²/N = 26.8

SCdentro= SCT - SCentre = 44-26,8= 17,2

Yi. = suma de datos de cada tratamiento

Definición Formal de la Multiplicación en los Números Enteros

La multiplicación en el conjunto de los números enteros, denotada por (⋅): Z × Z → Z, se define formalmente para abordar todas las combinaciones posibles de signos, a diferencia de la definición intuitiva que conocemos. Por ejemplo, (+3) ⋅ (+2) o (+3) ⋅ (-2).

La definición formal de la multiplicación para números enteros, representados como clases de equivalencia de pares ordenados [(a,b)] de números naturales, es la siguiente:

(⋅): Z × Z → Z

([(a,b)], [(c,d)]) ↦ [(ac + bd, ad + bc)]

Aplicando esta definición, podemos verificar la multiplicación de enteros positivos:

• Ejemplo: (3,0) ⋅ (2,0) = (3⋅2 + 0⋅0, 3⋅0 + 2⋅0) = (6,0). Esto corresponde a (+3) ⋅

si tenemosy  

 distancia

 sacar vector de 2 patos

 norma

 vector unitario

 suma de vec

 vector x escalar 

 (para ver si son colineales 

 despejo alfa y tengo el ángulo producto punto

 

 pro punto=0 perpendiculares

 proyección

 A. Paralelogramo

 área triangulo

 ec vectorial de la recta

Conceptos Fundamentales en Optimización

Variables de Decisión

Las variables representan una decisión directa del individuo, siendo el objetivo asignar valores a estas variables.

Clasificación de Variables:

• No negativa: x ≥ 0
• No positiva: x ≤ 0
• Libre: No se exige ningún signo sobre ella.
• Entera: Solo puede tomar valores enteros.
• Discreta: Solo puede tomar un número finito de valores.
• Continua: Puede tomar un número infinito de valores.

Función Objetivo y Restricciones

Función Objetivo, f(x):

Es la función que se quiere optimizar, ya sea maximizando o minimizando. Proporciona una magnitud que es un indicador de las preferencias del individuo: utilidad, ingresos, etc.

Restricciones, g(x):

Son las condiciones que se imponen a las variables para... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Optimización Matemática y sus Aplicaciones" »

Conceptos Fundamentales de Investigación y Estadística

Teoría:

Conjunto de proposiciones conectadas lógica y ordenadamente que intenta explicar una zona de la realidad mediante la formulación de las leyes que la rigen.

Modelos:

Teorías preparadas para su verificación empírica. Son construcciones hipotéticas.

Hipótesis:

Ideas no comprobadas que constituyen soluciones probables a problemas relacionados con la realidad, fuertemente relacionadas con los modelos.

Hechos:

La realidad.

Datos:

Son los materiales más simples de la investigación. Son expresiones sobre hechos que dan características concretas de los mismos.

Enunciados:

Hipótesis no rechazadas, interrelacionadas, que forman las teorías.

Estadística: Definición y Conceptos Básicos

Estadística: