Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Medidas de Dispersión y Posición

• Rango Intercuartílico (IQR): IQR = Q₃ - Q₁
• Box-Plot:
  • Límite Inferior (LI) = Q₁ - 1.5 * IQR
  • Límite Superior (LS) = Q₃ + 1.5 * IQR
• Cuantil (q_p):
  • Si pN no es entero: q_p = x_([pN]+1)
  • Si pN es entero: q_p = (x_(pN) + x_(pN+1)) / 2
• Varianza (s²): s² = ∑(x_i - x̄)² / N = (∑x_i²) / N - x̄² = ∑(x_i - x̄)²f_i
• Cuasivarianza (s_c²): s_c² = ∑(x_i - x̄)² / (N - 1)
• Desviación Típica: √s²
• Cuasidesviación Típica: √s_c²
• Valores Z: (x_i - x̄) / s
• Coeficiente de Variación (CV): s / |x̄|

Covarianza y Correlación

• Covarianza (s_XY): ∑(x_i - x̄)(y_j - ȳ)f_ij = ∑(x_i - x̄)(y_i - ȳ) / N = 1/N ∑(x_iy_i - ȳx̄)
• Si X e Y son independientes, s_XY = 0
• Coeficiente de Correlación Lineal (r): r = Cov(X,Y) / (s_X * s_Y)
• Si r ≈ 1, hay relación

1. Inferencia sobre la Media Poblacional (Varianza Desconocida)

De una población cuya variable X sigue una distribución Normal, de varianza desconocida, se extrae una muestra aleatoria simple de 40 observaciones:

b) Planteamiento de P(∑xi/40 ≤ 3)

Plantee la resolución de P(∑xi/40 ≤ 3):

P(∑xi/40 - μ / (s/√n) ≤ 3 - μ / (s/√n)) = P(Z ≤ 3 - μ / (s/√n)).

Nota: Aquí se asume que s es una estimación de la desviación estándar poblacional y que, para n=40 (muestra grande), la distribución del estadístico estandarizado se aproxima a una Normal estándar (Z). Para muestras pequeñas con varianza desconocida, se usaría la distribución t de Student.

c) Estadístico Muestral: Media y Varianza

Construido el estadístico: x̄ = ∑xi/... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Inferencia Estadística" »

Definición de Sucesión

Una sucesión (a_n) es cualquier relación entre los números naturales y un conjunto de números reales, tal que a cada número natural n, llamado índice, le corresponde un número real a_n, llamado término.

Término General de una Sucesión

El término general de una sucesión, si existe, es la expresión algebraica que permite calcular cualquier término en función del índice.

Límite de una Sucesión

Una sucesión (a_n) tiene por límite el número real a cuando a medida que n toma valores cada vez mayores, los términos de la sucesión se aproximan tanto como se quiera al número a.

El límite se representa así: lim a_n = a. Si una sucesión tiene por límite un número real se llama convergente.

Sucesiones Tendientes

1. La multiplicació de nombres enters a Primària: l'exemple (+1) · (-2)

Per explicar la multiplicació amb nombres enters a l’aula de Primària, cal utilitzar una situació problemàtica per tal de contextualitzar el concepte matemàtic. Un exemple útil és el de l’ascensor, on els alumnes poden obtenir el resultat empíricament:

«Un ascensor es troba a la planta baixa (0). Si puja 1 pis per minut (+1), en quin pis es trobava fa 2 minuts (–2)?»

Ens situem al 0, que seria la posició actual de l’ascensor, i multipliquem els pisos per minut pel nombre de minuts. En aquest cas, els minuts s’han d’escriure amb signe negatiu (–2) per a indicar que ens referim a un temps anterior al moment present.

L’operació serà: (+1) · (–2)

Estadística Descriptiva Fundamental

Unidad Estadística (U.E.)

Es el dato individual, objeto de la observación, cualquiera que sea su naturaleza. Puede ser un ser vivo, un objeto o un hecho, y debe ser definido sin ambigüedad.

Población

Es el conjunto de unidades estadísticas sobre las cuales se estudia una o varias características comunes, verificando un determinado criterio.

• Las poblaciones pueden estar formadas por unidades estadísticas variables o invariables a lo largo del tiempo.
• Según su tamaño, pueden ser finitas (con un número limitado de elementos) o infinitas (con un número ilimitado de elementos).

Muestra Estadística

Es un subconjunto representativo de la población, seleccionado para su estudio. La elección de la muestra debe... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de Estadística Descriptiva: Conceptos y Terminología Clave" »

Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva

Diagrama de Sectores y Variables

El diagrama de sectores se utiliza para todo tipo de variables, aunque se emplea frecuentemente para las variables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

• Verdadero

Ordenamiento y Recorrido de Variables

En una serie estadística de frecuencia, los datos siguientes corresponden a estaturas en centímetros de 26 niños: 59, 61, 65, 63, 60, 60, 61, 63, 63, 67, 66, 63, 60, 62, 65, 61, 60, 64, 61, 64, 66, 64, 62, 68. ¿Cuál sería el orden en el que debería ir la variable de acuerdo a los siguientes términos?

• 59 – 60 – 61 – 62 – 63 – 64 – 65 –

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Sea f:[a,b]→ R una función integrable. Entonces la función F:[a,b]→R definida por ∫_a^x f(t)dt= F(x), para x ∈ [a,b], si f(t) es continua en c ∈ [a,b] entonces: F'(c) = f(c)

Regla de Barrow

Sea f:[a,b]→R una función continua y P:[a,b]→R una primitiva de f. Entonces: ∫_a^b f(x)dx= P(b) – P(a)=P(x)]_a^b.

Teorema de Bolzano y Teorema de Weierstrass

El teorema de Bolzano afirma que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado y cuyos valores en los extremos sean de distinto signo, se anula en algún punto del intervalo abierto.

Sea f:[a,b]→R una función continua en [a,b] tal que f(a) * f(b) < 0, entonces existe al menos un valor c ∈ (a,b) tal que: f(c) = 0.

El teorema de Weierstrass... Continuar leyendo "Conceptos Clave del Cálculo Integral: Teoremas y Discontinuidades" »

INSESGADEZ: Un estadístico T es insesgado para el parámetro a estimar, cuando su media coincide con dicho parámetro. Es una propiedad básica que se le puede exigir a un estadístico para que sea estimador del parámetro y significa que los posibles valores del estadístico fluctúan alrededor del parámetro.

CONSISTENCIA: Un estadístico T es consistente para Π si T converge en probabilidad a Π. Lím P(|T-Π| menor ε)=1. Es consistente si lim ECM = 0; Es consistente si lim E=π; limV=0. Se llama ECM=E((T-π)²); ECM = V(t)+sesgo(t)². Un estadístico es consistente cuando su ECM es pequeño, cero en el límite, lo que hace que los valores de T estén cerca del parámetro a estimar.

EFICIENCIA: Se dice que T es eficiente si V(T)=Cota FCR.... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales de los Estimadores Estadísticos: Insesgadez, Consistencia, Eficiencia y Suficiencia" »

Tipos de Muestreo Probabilístico

El muestreo probabilístico es una técnica en la que las unidades son seleccionadas al azar, asegurando que cada elemento de la población tenga una probabilidad conocida y no nula de ser incluido en la muestra. Esto permite inferir resultados a la población con un nivel de confianza estadístico.

• Muestreo Aleatorio Simple (MAS): Se elige al azar una muestra de tamaño n de una población de tamaño N, donde cada posible muestra de tamaño n tiene la misma probabilidad de ser seleccionada.
• Muestreo Aleatorio Estratificado: La población se divide en subgrupos homogéneos (estratos) según alguna característica relevante. Luego, se elige una muestra de cada estrato utilizando el Muestreo Aleatorio Simple (

Hezkuntzaren Aroak

Lehen Aroa: Eskolarik Gabeko Gizartea

Bertako ezaugarriak hauek dira:

• Izaera estatikoa zen, nahiko egonkorra, eta biziraupeneko ekonomiak zituzten.
• Belaunaldien arteko gizarte aldaketak oso txikiak ziren.
• Ez zegoen ez eskolik ez irakaslerik. Familia zen hezkuntza ematen zuena.
• Hezkuntza instituzionala ikasteko aukera gutxi batzuek baino ez zuten.

Bigarren Aroa: Eskola Modernoaren Garaia

Gizarte Aldaketak

• Ikuskera zientifikoek garrantzia hartu zuten.
• Indibidualismoa sortu eta hedatu zen.
• Erregai fosilak erabiltzen hasi ziren industrietan.
• Makinen sorrera.
• Ideologia berriak: sozialismoa, liberalismoa.
• Biztanleriaren hazkundearen hasiera.
• Familia nuklearren sorrera.
• Hiritartze prozesua (landa-eremuek garrantzia galdu zuten).
• Estatu-nazioak agertu