Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Condición Necesaria y Suficiente para la Diagonalización

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Habiendo n valores propios (repetidos o no), la condición necesaria y suficiente para que A sea diagonalizable es que las multiplicidades geométricas sean iguales a las correspondientes multiplicidades algebraicas.

Si λ₁, ..., λ_k son los valores propios distintos de A, de multiplicidad algebraica m₁, ..., m_k, cumpliéndose m₁ + m₂ + ... + m_k = n, y si s₁, s₂, ..., s_k son sus multiplicidades geométricas, se verifica que A es diagonalizable si y solo si s_i = m_i para i = 1, 2, ..., k.

Sea E₁, E₂, ..., E_k los subespacios propios asociados a los valores propios distintos λ₁, ..., λ_k respectivamente. La suma F = E₁ + E₂ + ... + E_k es directa.

• dim(F)

Inversa Generalizada y Soluciones de Mínimos Cuadrados

La inversa generalizada de una matriz A (denotada como A⁺) permite encontrar la solución de mínimos cuadrados de norma mínima, x*, para un sistema de ecuaciones lineales Ax = b. Esta solución se expresa como: x* = A⁺b.

Casos para el Cálculo de la Inversa Generalizada

• Caso 1: r(A) = n (rango de A igual al número de columnas)
  La solución de mínimos cuadrados es: x* = (A^TA)^-1A^Tb.
  Por lo tanto, la inversa generalizada es: A⁺ = (A^TA)^-1A^T.
• Caso 2: r(A) = m (rango de A igual al número de filas)
  La inversa generalizada es: A⁺ = A^T(AA^T)^-1.
• Caso 3: r(A) = k, con k < n y k < m (rango de A menor que el número de filas y columnas)
  La inversa generalizada se calcula mediante una descomposición

Heterocedasticidad: Naturaleza

En el modelo lineal general, y=XB+u se supone que la perturbación aleatoria cumple:

1. E(ut)=0
2. E(Ut2)=Var(ut)=Sigma
3. E(UiUj)=cov (Ui,Uj)=0

La propiedad b es homocedasticidad, cuando este supuesto se incumple, es decir, hay heterocedasticidad. Este problema parece cuando se disponen de datos de sección cruzada, es decir, cuando se disponen de observaciones que miden una variable en un momento determinado para distintas entidades.

Causas

1. Naturaleza del fenómeno: en situaciones en las que se disponen de datos de sección cruzada.
2. Usar datos agregados: cuando las observaciones de la variable dependiente(Yt) puede dividirse en grupos y se usan como datos de promedios proporcionados por tales grupos.
3. Si se omite una variable

La Estadística es la ciencia que estudia los métodos de recogida, organización, resumen e interpretación de datos. Se clasifica en diferentes tipos para abordar distintos aspectos del estudio de fenómenos:

• Estadística Descriptiva: Se centra en la recopilación, organización y presentación de datos para describir sus características principales.
• Teoría de la Probabilidad: Aborda la modelización y el estudio de fenómenos aleatorios, cuantificando la incertidumbre.
• Estadística Inferencial: Permite realizar previsiones, tomar decisiones y obtener conclusiones sobre una población a partir de una muestra de datos, utilizando deducciones y modelos probabilísticos.

Etapas del Proceso Estadístico

El estudio estadístico de un fenómeno sigue... Continuar leyendo "Fundamentos de Estadística Descriptiva: Conceptos Esenciales y Medidas Clave" »

Inferencia Estadística y Contraste de Hipótesis

Estamos trabajando con datos muestrales, pero lo que realmente nos interesa es lo que sucede en la población.

Trabajamos con variables aleatorias (V. A.) ya que la muestra se obtuvo al azar (podría haberse obtenido otra).

• Bajo ciertas condiciones generales, relacionadas con el tipo de muestreo y el tamaño de la muestra, podemos llegar a conocer la distribución estadística de dichas variables aleatorias.
• Podremos calcular los estadísticos mencionados y saber cómo se distribuyen en términos estadísticos.
• Hemos analizado e interpretado los coeficientes. No obstante, su interpretación es, hasta cierto punto, arbitraria: ¿Cuándo un coeficiente de contingencia permite establecer una relación

Gestión de Datos Ausentes

Razones de los Datos Perdidos

• Datos prescindibles
• Datos censurados
• Datos erróneos
• Ausencia de código para la respuesta (Efecto cuestionario)

Estrategias para el Tratamiento de Datos Ausentes

• Utilizar solo aquellos casos que estén completos.
• Supresión del caso o de la variable.
• Imputación: Sustitución de datos ausentes (por la media, por el caso más similar, por un valor constante o por regresión).
• Enfoque de disponibilidad completa.

Outliers o Casos Atípicos

Los casos atípicos (o outliers) son observaciones con una combinación única de características identificables que les diferencia claramente de las otras observaciones. No pueden ser caracterizados a priori como problemáticos o beneficiosos, sino que deben ser... Continuar leyendo "Conceptos Clave en Procesamiento de Datos y Modelado Estadístico" »

Contraste de Hipótesis para la Media Poblacional con Sigma Conocida

En esta sección, abordaremos el contraste de hipótesis para la media poblacional cuando la desviación estándar poblacional (σ) es conocida. Se presentan tres casos distintos, variando la hipótesis alternativa.

Caso a)

• Hipótesis Nula (H₀): μ = 298
• Hipótesis Alternativa (H₁): μ ≠ 298

Cálculo de los valores críticos (2.5% en cada cola): ± 2.2010

Sustituyendo:

• k₁ = 298 - (2.2010 * (238.2 / √12)) = 146.65
• k₂ = 298 + (2.2010 * (238.2 / √12)) = 449.35

En la muestra, x = 418.3 ∈ (146.65, 449.35), por lo tanto, no se rechaza H₀: μ = 298 frente a la alternativa H₁: μ ≠ 298.

Caso b)

• Hipótesis Nula (H₀): μ = 298
• Hipótesis Alternativa (H₁): μ > 298

Cálculo del valor... Continuar leyendo "Contraste de Hipótesis: Media y Diferencia de Medias Poblacionales" »

Categorías de Variables

a) Categorías cuantitativas:

Se describen mediante números. Estas a su vez se dividen en discretas y continuas.

i) Variables discretas:

Sólo puede tomar unos determinados valores y no es posible que pueda llegar a tomar un valor entre dos consecutivos (por lo general suelen tomar números enteros). Ej.: número de hijos de una mujer

ii) Variables continuas:

Pueden tomar los infinitos valores de un intervalo. Ej.: tasa de natalidad (expresada en decimales)

b) Categorías cualitativas:

Son atributos, por ejemplo: color de pelo. No se describen mediante números, se suelen describir mediante palabras. Ej.: moreno o rubio (siguiendo con el ejemplo del pelo). Un atributo admite varias modalidades (en nuestro ejemplo, el atributo... Continuar leyendo "Medidas Estadísticas: Tipos de Variables y Medidas de Posición" »

Muestreo

El **muestreo** es una herramienta de la investigación científica, cuya función es determinar qué parte de la población debe examinarse.

Población

La **población** es el conjunto de unidades de las cuales se desea obtener información.

Variable de Estudio

La **variable de estudio** es cualquier característica bajo estudio.

Muestra

La **muestra** es un subconjunto de la población y debe ser representativa.

Tamaño Muestral

El **tamaño muestral** es el número de elementos que constituyen la muestra.

Estadístico

Un **estadístico** es un valor numérico que describe una característica de la muestra.

Estimador

Un **estimador** es un estadístico que se usa para estimar un parámetro de la población.

Muestreo Probabilístico

El **muestreo... Continuar leyendo "Conceptos Clave del Muestreo en Investigación Científica" »