Métodos y Aplicaciones en Ecuaciones Diferenciales

Este documento presenta un resumen de los métodos clave para la resolución de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones prácticas.

1. Solución por Sustitución (Ecuaciones Homogéneas)

Este método se aplica a ecuaciones diferenciales homogéneas. Se sustituyen x e y por tx y ty, respectivamente, para verificar la homogeneidad. En la práctica, se realiza la sustitución y = xu y dy = udx + xdu.

• Ejemplo: (y^2 + yx)dx + x^2 dy = 0
• Paso 1: Sustituir y = xu y dy = udx + xdu en la ecuación original:

  (x^2u^2 + x^2u)dx + x^2(udx + xdu) = 0

• Paso 2: Agrupar términos y simplificar:

  (x^2u^2 + 2x^2u)dx + x^3du = 0

• Paso 3: Separar las variables u y x para integrar:

  ∫ du / (u(u+2)) = - ∫ 1/x dx

• Paso 4:

Muchas características de los seres vivos están relacionadas con su tamaño y varían en función de este. Por ejemplo, la tasa respiratoria: organismos más grandes normalmente tienen mayores tasas respiratorias; o la velocidad de vuelo de los pájaros. El número de individuos por superficie (la densidad de población) también varía en función del tamaño de los organismos (poblaciones cuyos individuos son más pequeños suelen ser más densas). Estos patrones de variación con el tamaño reflejan una serie de limitaciones estructurales o funcionales.

Normalmente, esa relación de proporcionalidad tiene una expresión matemática:

Y = a · W^b

Donde:

• Y = Característica ecológica dependiente del tamaño
• W = Medida del tamaño corporal

Forma

Fundamentos de Estadística

Introducción

La estadística es la ciencia que se ocupa de recoger y ordenar datos de eventos, experimentos o acontecimientos que suceden en el tiempo.

Tipos de Estadística

• Estadística inferencial o inductiva: Se refiere a una población en particular.
• Estadística descriptiva o deductiva: Representación de la información obtenida de los datos.

Conceptos Básicos

• Población estadística: Es la recolección de mediciones de todos los elementos de un universo, que puede ser finito o infinito.
• Muestra aleatoria: Se da cuando conocemos las posibilidades de que un elemento de la población se incluya o no en la muestra.
• Parámetro: Son los valores que describen las características de una población.
• Estadígrafo: Es la medida

Ikuskera Modernoa: Unibertsoa, Makinaren Pareko

Planeten higidura zehaztasun handiagoz iragartzeko, Kopernikok eredu heliozentrikoa proposatu zuen. Horretaz gain, Lurraren hiru higidurak adierazi zituen: errotazioa, translazioa eta deklinazioa.

Tycho Brahe astronomoak datu asko bildu zituen; izan ere, zeruko objektuen higidurari behaketa zehatzak egin eta emaitza guztiak jaso zituen. Datu horiek guztiak oso erabilgarriak izan ziren Johannes Kepler astronomoarentzat eredu teoriko bat osatzeko. Horiei esker, Keplerrek bertan behera utzi zuen esferen ideia eta planeten orbitak zirkularrak zirelakoa, eta formula matematiko baten bidez azaldu zuen planeten higidura, hiru lege oinarri hartuta.

Galileo Galilei astronomoak eredu astronomiko berria indartu... Continuar leyendo "Unibertsoaren Ikuspegia: Klasikotik Moderno eta Garaikidera" »

Fundamentos de Estadística Descriptiva

Variables y Frecuencias

Para que tenga sentido calcular las frecuencias acumuladas de una variable, esta debe ser, como mínimo, ordinal.

Representación Gráfica

Para comparar, mediante una representación gráfica, las puntuaciones de dos grupos distintos en una variable, se deben utilizar en el eje de ordenadas las frecuencias absolutas.

Medición de la Variabilidad

Para estudiar hasta qué punto los valores de una distribución son similares o diferentes entre sí, se debe utilizar un índice de variabilidad.

Puntuaciones Típicas

La media y la varianza de las puntuaciones típicas valen, respectivamente, 0 y 1, siempre.

Coeficiente de Correlación de Pearson

El coeficiente de correlación de Pearson indica... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Estadística: Fundamentos y Aplicaciones" »

Método de Máxima Diferencia

El método de máxima diferencia es una técnica empleada en el análisis comparado. Consiste en seleccionar sistemas que tengan todos los factores diferentes, *excepto* en el fenómeno que se busca explicar. En este modelo, todas las variables de contexto (o de control) son diferentes, a diferencia de la variable dependiente e independiente focal, que son iguales entre los casos de estudio.

Siguiendo a Anckar (2008: 390), cuando se elige un diseño de máxima diferencia, se busca eliminar posibles explicaciones alternativas contextuales del fenómeno. El objetivo es centrarse en una única variable que pueda estar asociada al fenómeno estudiado. Se eligen unidades de investigación que sean tan diferentes como... Continuar leyendo "Métodos de Máxima Diferencia y Máxima Similitud en el Análisis Comparado" »

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Definiciones Clave

Matrices y Formas Escalonadas

Teorema 32: Existencia de la Forma Escalonada Reducida de una Matriz

Dada una matriz A ∈ M_m×n(K), existen operaciones elementales sobre filas que transforman A en una única matriz en forma escalonada reducida por filas R. La matriz R recibe el nombre de forma escalonada reducida de A.

Definición 35: Rango de una Matriz

Dada una matriz A ∈ M_m×n(K), llamaremos rango de A al número de unos principales de la forma escalonada reducida de la matriz A y lo denotaremos por ρ(A).

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Teorema 41: Teorema de Existencia y Unicidad de Soluciones de Rouché-Frobenius

Si se considera el sistema Ax = b y (A|b) es su matriz ampliada,... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra Lineal: Teoremas Esenciales y Definiciones Clave de Matrices y Espacios Vectoriales" »

Tipos de Variables

28.- ¿Cuáles son los tipos de variables?

• Cualitativas
• Cuantitativas (Pág. 84)

29.- Dentro de las variables cuantitativas se clasifican en:

• Discretas
• Continuas (Pág. 84)

Medidas de Posición Central

30.- ¿Cuáles son las principales medidas de posición central?

Media, mediana y la moda (Pág. 89)

39.- ¿Qué son las medidas de posición central?

Informan sobre los valores medios de la serie de datos (pág. 89)

40.- Según las medidas de posición central explique qué es la moda?

Es el valor que más se repite con mayor frecuencia en la muestra. (pág. 90)

Medidas de Posición No Central

31.- ¿Qué son las medidas de posición no central?

Estas permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores... Continuar leyendo "Tipos de Variables, Medidas Estadísticas y Análisis en SPSS y Project" »

Experimental

1 grupo y solo se estudia la mitad- 50 personas y se estudian 25.

Selec. Comp

2 muestras dif: 25 entrenados y 25 sin entrenar.

Correlacional

muestra que mide dif variables y analiza relación entre ambas.

Causal

clara causa-efecto

Relacional

relación causa-efecto pero no siempre- tabaco-cáncer

Descriptivo

no relaciona, solo analiza

Nominal

no opera, no orden- color, género

Ordinal

no opera pero si orden- escala, estudios

Cuantitativas

puedo operar-discreta nº goles, continua nº metros saltados

Homogéneo

el menor

Media

cuant-desv t

Mediana

ordinal-amp s

Moda

nominal-rango

Introducción a la Estadística

1. ¿Qué es la estadística?

Es el estudio científico relativo al conjunto de métodos encaminados a la obtención, representación y análisis de observaciones numéricas, con el fin de describir la colección de datos obtenidos.

2. Conceptos Clave

• Inferencias: Sinónimo de predecir.
• Estimaciones: Supuesto valor.
• Hipótesis: Respuesta a que algo puede pasar.

3. ¿Qué es la estadística descriptiva?

Es el estudio que incluye la obtención, organización, presentación y descripción de información numérica.

4. ¿Qué es la estadística inferencial?

Es la técnica mediante la cual se obtienen generalizaciones o se toman decisiones en base a una información parcial o completa obtenida mediante técnicas descriptivas.... Continuar leyendo "Introducción a la Estadística: Conceptos Fundamentales y Tipos de Variables" »