Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Relación Matemática

Una relación es una asociación entre los elementos de un conjunto (o entre elementos de dos o más conjuntos).

Función

Una función es una relación donde cada elemento del conjunto de partida (dominio) tiene una única imagen en el conjunto de llegada (codominio).

Función Inyectiva (Uno a Uno)

Una función es inyectiva si y solo si dos elementos cualesquiera distintos del dominio tienen imágenes distintas en el conjunto de llegada (o rango de la función).

Función Sobreyectiva (Sucesiva)

Una función es sobreyectiva si y solo si el rango de la función es igual al conjunto de llegada (codominio).

Función Real

Sea $A$ un conjunto cualquiera y $B$ un subconjunto de los números reales. Se denomina función real a la expresión... Continuar leyendo "Fundamentos de Funciones y Logaritmos: Conceptos Clave en Matemáticas" »

OPCION A

Ejercicio 1

(a) [1'5 puntos] Determina la función f: R → R sabiendo que f '(x) = 2x³ - 6x² y que su valor mínimo es -12.

(b) [1 punto] Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de inflexión de su gráfica.

Solución

(a) f ' (x) = 2x³ - 6x².

Los posibles máximos o mínimos son las soluciones de f '(x) = 0

2x³ - 6x² = x²(2x - 6 ) = 0    →    x² = 0, de donde x = 0 y 2x - 6 = 0, de donde x = 3.

Como f '(-1) < 0,="" f(x)="" decrece="" en="" (-="">∞ , 0)

Como f '(1) < 0,="" f(x)="" decrece="" en="" (0,="">

Como f '(4) > 0, f(x) crece en (3, + ∞ )

Por definición x = 3 es un mínimo, y su valor era -12 es decir f(3) = -12

Por el teorema fundamental del cálculo integral

f(x) =òf '... Continuar leyendo "Respuesta" »

Conceptos Fundamentales de Geometría

Rectas Paralelas

Rectas paralelas: Son rectas que están en el mismo plano pero no se intersecan.

Polígono

Polígono: Figura geométrica limitada por segmentos de recta que se denominan lados. El polígono de menor número de lados es un triángulo.

Ángulo

Ángulo: Figura geométrica formada por dos rayos con un punto común. Los rayos se llaman lado y el punto común se denomina vértice.

La Circunferencia y sus Elementos

Circunferencia

Circunferencia: Es una curva cerrada en la que todos los puntos que la forman están en un mismo plano y son equidistantes de un punto fijo llamado centro.

Arco

Arco: Si se eligen dos puntos de una circunferencia, estas limitan dos porciones cada una de las cuales se llama arco.... Continuar leyendo "Vocabulario Básico de Geometría" »

b)primeros principios en versión lógica
1-principio de equivalencia todo enunciado es ekivalente a si mismo. Esto es, si p es un enunciado cualkiera, tememos ke: p si y solo si p.
2-principio de (no) contradicción ningún enunciado puede afirmarse y negarse a la vez. O , ekivalentemente, ningún enunciado es verdadero y falso a la vez. Es decir, si p es un enunciado cualkiera, tenemos ke: no es el caso k p y no p . O ekivalentemente : p no es verdadero y falso a la vez.
3-principio de bivalencia todo juicio es verdadero o falso , no hay otra posibilidad . Es decir, si p es un enunciado cualkiera , tenemos ke: p o no p o ekivalentemente: p es verdadero o p es falso.
a)primeros pricipios en versión ontológica
1-principio de identidad... Continuar leyendo "Fundamentos de Lógica y Teoría de Conjuntos: Principios Ontológicos, Clases y Relaciones" »

Conceptos Fundamentales de la Trigonometría

Círculo Trigonométrico

El círculo trigonométrico, también conocido como goniométrico, es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad.

Triángulo Rectángulo

Un triángulo rectángulo posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo constituyen un enfoque fundamental de la trigonometría plana. En particular, en todo triángulo rectángulo se cumple el llamado teorema de Pitágoras.

Sistema Sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea como base aritmética el número 60. Se utiliza principalmente para medir... Continuar leyendo "Fundamentos de Trigonometría y Aplicaciones en la Resolución de Problemas" »

Negación (~p)

Tabla de verdad para ~p.

Esta tabla nos recuerda la definición de la negación: si el valor de verdad de p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso. Si el valor de verdad de p es falso, entonces el valor de verdad de ~p es verdadero.

Disyunción (p ∨ q)

Tabla de verdad para p ∨ q.

En esta tabla se observa: Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos p y q son verdaderos, entonces p ∨ q es verdadero; en otro caso p ∨ q es falso. Es decir, la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición componente es falsa.

Conjunción (p ∧ q)

Tabla de verdad para p ∧ q.

Esta tabla nos muestra la definición de la conjunción: Si p es verdadero y... Continuar leyendo "Tablas de Verdad: Conceptos Básicos y Ejemplos de Proposiciones Lógicas" »

TETRAEDRO (CARA): Se construye un triangulo A,B,C proyección horizontal de lado la arista del tetaedro. El punto D se encuentra donde se cortan las tres alturas del triangulo. La proyección vertical de A,B,C se encuentra en la línea de tierra. Para allar la altura del tetaedro formamos un triangulo rectagulo cuya hipotenusa es el lado del triangulo, un catedo D hasta un vértice del triangulo y el otro cateto desde un vértice; resultante h. (arco del vértice al otro vértice para pasar el lado).

TETRAEDRO (ARISTA): Se construye la proyección horizontal, un cuadrado A,D,B,C cuya diagonal A,B es la arista del tetraedro apoyada. Los otros dos vértices (C,D) corresponden a la arista opuesta CD paralela a la línea de tierra su proyección... Continuar leyendo "Centro de gravedad del trapecio rectángulo" »