Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Curvas Técnicas y sus Aplicaciones Geométricas

Las curvas técnicas son aquellas definidas por sus propiedades geométricas y han sido ampliamente utilizadas en el ámbito técnico y del diseño.

Clasificación de Curvas Planas

Curvas Cerradas y Simétricas

• Óvalo: Curva cerrada plana constituida por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí, poseyendo dos ejes de simetría.
• Ovoide: Es una curva cerrada plana formada por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí, con un único eje de simetría.

Curvas Abiertas

• Espiral: Es una curva abierta y plana, generada por un punto que se desplaza uniformemente a lo largo de una recta a la vez que esta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad angular constante.
• Voluta: Es una curva

1.- son propociciones tentativas acerca de las relaciones entre dos o mas variables y se apoyan en conocimientos organizados y sistematizados(A)

2..-es una propiedad que puede variar adquirir diversos valores y cuya variación es medirse (A)

3,.Es aquella característica o propiedad que supone ser la causa del fenómeno estudiado.Es una investigación experimental se llama así a la variable que el investigador manipula (A)

4.-son las clases de variables que expresan un numero limitado de valores (A)

5.-clase de variable que adquiere valores fijos no divisibles (C)

6.-ejemplo de variable cualitativa (A)

7.-las hipótesis descriptivas son una subclase de (B)

8.-los adolecentes le atribuyen mas importancia que las adolecentes al atractivo físico en... Continuar leyendo "Variable cualitativa policotomica" »

Producto Cartesiano y Relaciones

Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano de A y B, y lo anotamos A x B, al conjunto de los pares ordenados cuyo primer componente pertenece a A y el segundo a B.

Ejemplo: A = {0, 2, 3}, B = {4, 5}. A x B = {(0,4), (0,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}

Relación entre dos conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, llamamos relación R de A en B, y lo anotamos R: A → B, a todo subconjunto de A x B.

Ejemplo: R = {(2,4), (2,5)}

Dominio de una relación

Sea R: A → B, llamamos dominio de R, y lo anotamos D(R), al conjunto formado por los elementos de A que tienen al menos una imagen.

Ejemplo: D(R) = {2}

Recorrido de una relación

Sea R: A → B, llamamos recorrido de R, y lo anotamos Rec(R), al conjunto formado por... Continuar leyendo "Fundamentos de Funciones: Dominio, Recorrido y Tipos" »

(a²-b²)ⁿ=(a+b)ⁿ(a-b)ⁿ<>(a⁴-b⁴)ⁿ=(a²+b²)ⁿ(a+b)ⁿ(a-b)ⁿ<>(a⁶-b⁶)ⁿ=(a³+b³)ⁿ(a³-b³)ⁿ<>(a⁸-b⁸)ⁿ=(a⁴+b⁴)ⁿ(a²+b²)ⁿ(a+b)ⁿ(a-b)ⁿ<>(a²+b²+2ab)ⁿ=(a+b)²ⁿ> (a²+b²-2ab)ⁿ=(a-b)²ⁿ  Ecuaci: E vect rect (x,y)=(a.B)+λ(V1,V2) E parametr rect x=a+v1λ  lo mismo con y E conti rect x-a/v1=y-b/v2 E ge o impli con vn a+b+c=0 E expli rect se despeja la y E punto pen y-b= M(que es v2/v1) (x-a ) E vecto en coor o carte rect (x-a , y-b)=λ(v1,v2) E segmenta x/a(p.Corte ejex)+ y/b(pc eje y) E canónica  se parte de la e gene so  obtiene VN se le ace el modulo y cada coorde de la e gen se divide entre el modulo E vectorial norm en coor (x-a, y-b)VN E vecto normal Ax * u= 0 E implici partícula... Continuar leyendo "Formulario Esencial de Geometría, Cálculo y Álgebra Superior" »

Relación Matemática

Una relación es una asociación entre los elementos de un conjunto (o entre elementos de dos o más conjuntos).

Función

Una función es una relación donde cada elemento del conjunto de partida (dominio) tiene una única imagen en el conjunto de llegada (codominio).

Función Inyectiva (Uno a Uno)

Una función es inyectiva si y solo si dos elementos cualesquiera distintos del dominio tienen imágenes distintas en el conjunto de llegada (o rango de la función).

Función Sobreyectiva (Sucesiva)

Una función es sobreyectiva si y solo si el rango de la función es igual al conjunto de llegada (codominio).

Función Real

Sea $A$ un conjunto cualquiera y $B$ un subconjunto de los números reales. Se denomina función real a la expresión... Continuar leyendo "Fundamentos de Funciones y Logaritmos: Conceptos Clave en Matemáticas" »

OPCION A

Ejercicio 1

(a) [1'5 puntos] Determina la función f: R → R sabiendo que f '(x) = 2x³ - 6x² y que su valor mínimo es -12.

(b) [1 punto] Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de inflexión de su gráfica.

Solución

(a) f ' (x) = 2x³ - 6x².

Los posibles máximos o mínimos son las soluciones de f '(x) = 0

2x³ - 6x² = x²(2x - 6 ) = 0    →    x² = 0, de donde x = 0 y 2x - 6 = 0, de donde x = 3.

Como f '(-1) < 0,="" f(x)="" decrece="" en="" (-="">∞ , 0)

Como f '(1) < 0,="" f(x)="" decrece="" en="" (0,="">

Como f '(4) > 0, f(x) crece en (3, + ∞ )

Por definición x = 3 es un mínimo, y su valor era -12 es decir f(3) = -12

Por el teorema fundamental del cálculo integral

f(x) =òf '... Continuar leyendo "Respuesta" »

Conceptos Fundamentales de Geometría

Rectas Paralelas

Rectas paralelas: Son rectas que están en el mismo plano pero no se intersecan.

Polígono

Polígono: Figura geométrica limitada por segmentos de recta que se denominan lados. El polígono de menor número de lados es un triángulo.

Ángulo

Ángulo: Figura geométrica formada por dos rayos con un punto común. Los rayos se llaman lado y el punto común se denomina vértice.

La Circunferencia y sus Elementos

Circunferencia

Circunferencia: Es una curva cerrada en la que todos los puntos que la forman están en un mismo plano y son equidistantes de un punto fijo llamado centro.

Arco

Arco: Si se eligen dos puntos de una circunferencia, estas limitan dos porciones cada una de las cuales se llama arco.... Continuar leyendo "Vocabulario Básico de Geometría" »

b)primeros principios en versión lógica
1-principio de equivalencia todo enunciado es ekivalente a si mismo. Esto es, si p es un enunciado cualkiera, tememos ke: p si y solo si p.
2-principio de (no) contradicción ningún enunciado puede afirmarse y negarse a la vez. O , ekivalentemente, ningún enunciado es verdadero y falso a la vez. Es decir, si p es un enunciado cualkiera, tenemos ke: no es el caso k p y no p . O ekivalentemente : p no es verdadero y falso a la vez.
3-principio de bivalencia todo juicio es verdadero o falso , no hay otra posibilidad . Es decir, si p es un enunciado cualkiera , tenemos ke: p o no p o ekivalentemente: p es verdadero o p es falso.
a)primeros pricipios en versión ontológica
1-principio de identidad... Continuar leyendo "Fundamentos de Lógica y Teoría de Conjuntos: Principios Ontológicos, Clases y Relaciones" »