Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Posiciones Relativas en el Espacio

Entre Dos Rectas

• Vectores directores proporcionales:
  • Coincidentes: Un punto de una recta pertenece a la otra. (Rango(M)=1, Rango(M_ampliada)=1)
  • Paralelas: Un punto de una recta no pertenece a la otra. (Rango(M)=1, Rango(M_ampliada)=2)
• Vectores directores no proporcionales:
  • Se cortan: Los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta son coplanares (determinante = 0). (Rango(M)=2, Rango(M_ampliada)=2)
  • Se cruzan: Los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta no son coplanares (determinante ≠ 0). (Rango(M)=2, Rango(M_ampliada)=3)

Entre Dos Planos

• Coincidentes: Los coeficientes de las ecuaciones generales son proporcionales (A/A' = B/B' = C/C' = D/D').
• Paralelos: Los coeficientes de las

Relaciones entre Distribuciones de Probabilidad

Relación entre la Distribución Hipergeométrica y Binomial

Cuando el tamaño de la población N es bastante grande comparado con el tamaño de la muestra n, se considera que la distribución Binomial es una aproximación adecuada para resolver una distribución Hipergeométrica. En general, puede mostrarse que si n y por lo tanto r es muy pequeño comparado con N₁ y N₂, entonces: si se toma una muestra muy pequeña de una población muy grande, entonces la falta de reemplazo (Distribución Hipergeométrica) y el reemplazo (Distribución Binomial) dan resultados aproximadamente idénticos.

Relación entre la Distribución Binomial y de Poisson

Cuando el número de pruebas n es grande y por otra parte... Continuar leyendo "Relaciones entre las Distribuciones Hipergeométrica, Binomial y de Poisson" »

Teorema de Rolle

Sea f(x) una función que satisface las siguientes hipótesis:

1. f(x) es continua en [a,b]
2. f(x) es derivable en (a,b)
3. f(a)=f(b)

Entonces existe un número cÎ(a,b) tal que f´(c)=0

Demostración:

Hay tres casos:

1er caso:

f(x) = cte ® f ´(x)=0 para todo xÎ(a,b). Cualquier c Î(a,b) lo cumple.

2do caso:

Existe un x tal que f(x)>f(a). Dado que por hipótesis f(x) es continua en [a,b], f(x) tiene un valor máximo en [a,b] (teorema de Weierstrass). Dado que f(a)=f(b) el máximo debe alcanzarse en algún c Î(a,b), es decir que también en c se alcanza un máximo local (pues está en el interior de [a,b]). f(x) es derivable en (a,b) (hipótesis 2) entonces podemos aplicar el teorema de Fermat, es decir, f´(c) = 0.

3er caso:

Existe un x... Continuar leyendo "Teorema de Rolle y Otros Conceptos Fundamentales del Cálculo" »

Ojos claros, serenos: O madrigal de Gutierre de Cetina está composto por versos endecasílabos e heptasílabos que son propios da poesía italianista. Estes versos pretenden imitar os tipos de estrofa usados por Horacio, un dos poetas da antigüidade que é venerado. Ademais, os metros italianos corresponden a un contido menos abstracto, máis suave e sensorial como se pode ver co uso do adjetivo “claros”. Este madrigal está dentro do período do Renacemento, polo que é un poema no que se ensalza a beleza e o protagonismo do amor, e se concibe á dama como un ser inalcanzable.

Estancia breve e aislada

O poema é unha estancia breve e aislada. É unha composición de tipo ingenioso, breve con rima consonante para xogos conceptistas, dedicados... Continuar leyendo "O madrigal de Gutierre de Cetina: poesía amorosa renacentista" »

Problema 1: Probabilidad de Sucesos A y B

Dados dos sucesos A y B, se sabe que P(A) = 0.5 y P(A∪B) = 0.8.

A) Probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos

La probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos se expresa como P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)). Dado que estos dos sucesos (A∩Bᶜ y B∩Aᶜ) son incompatibles, podemos escribir:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A∩Bᶜ) + P(B∩Aᶜ)

Sabemos que P(A∩Bᶜ) = P(A) - P(A∩B) y P(B∩Aᶜ) = P(B) - P(A∩B). Por lo tanto:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A) - P(A∩B) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B).

También se nos informa que P(Aᶜ∪Bᶜ) = 0.7. Por las leyes de De Morgan, sabemos que (Aᶜ∪Bᶜ) = (A∩B)ᶜ. Así, podemos determinar P(A∩B):

P((A∩B)ᶜ)... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Sucesos, Independencia y Extracciones" »

Estudio de una Función a partir de su Derivada

Se conoce la función derivada de f: f'(x) = 3x² - 8x + 5.

a) Monotonía y Extremos Relativos

Estudiamos el signo de la primera derivada f'(x) para determinar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento).

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos (posibles extremos relativos):

f'(x) = 0 ⇒ 3x² - 8x + 5 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos: x = 1 y x = 5/3 ≈ 1.67.

Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:

• Intervalo (-∞, 1): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 0. f'(0) = 3(0)² - 8(0) + 5 = 5 > 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en (-∞, 1).
• Intervalo (1, 5/3): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 1.

PROBABILIDAD

Llamaremos ESPACIO MUESTRAL ( Ω) al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Llamaremos SUCESO a cualquier subconjunto del espacio muestral.

La probabilidad que un suceso S ocurra es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Un suceso es imposible cuando el cardinal del suceso es 0 por lo tanto la probabilidad es 0.

Un suceso es seguro cuando el cardinal del suceso es igual al espacio muestral por lo tanto la probabilidad es 1.

Llamaremos suceso complementario o contrarios a aquellos en los que siempre ocurre uno de ellos pero nunca ambos a la vez.

En un mismo espacio muestral, dos sucesos son mutuamente excluyentes si y sólo si, éstos no pueden ocurrir simultáneamente.... Continuar leyendo "Conceptos clave de Probabilidad y Conteo" »