Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Plano que contiene a r y es paralelo a s:

Como tienes r, R es un punto de π y dr un vector paralelo a π. Como s es paralelo, ds es // a π. Calculamos el plano con eso.

Plano paralelo y equidistante a r y s:

Como es paralelo a ambos, su vector normal es dr x ds → 4x - 2y + z + d = 0. Para sacar d, calculo dist(R, π) que es la mitad de dist(r, s); como la d está en valor absoluto, hay 2 resultados. Para saber cuál es, calculo dist(S, π). Tendrán que tener la misma d.

Recta que pasa por P y corta a r y s:

Hago un plano que pasa por P y corta a r y s, al cortarlos significa que también los contiene. Hago el plano con P, dr y ds, también me valen PR y PS. Hallo la intersección entre la recta r y el plano, el punto de intersección, llamado... Continuar leyendo "Resolución de Problemas Geométricos: Planos, Rectas y Distancias" »

Teoría de Conjuntos

Cardinalidad: Es la que indica el número o la cantidad de elementos; su símbolo es “N”.

Conjunto vacío: Es el que no tiene elementos y se denota o se escribe mediante llaves vacías { }.

Conjunto finito: Son los que tienen un número de elementos conocidos y, por ende, se pueden contabilizar.

Conjunto infinito: Es cuando posee una cantidad ilimitada de elementos y, por ende, son difíciles de contabilizar.

Conjunto universo: Es el conjunto de todos los elementos considerados en un problema o situación.

Probabilidad y Técnicas de Conteo

Probabilidad: Es el cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla.

Permutación: Es un modo en el que se pueden representar conteos y objetos en donde el... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística Matemática" »

Productos Vectoriales y sus Aplicaciones Geométricas

Producto Escalar

El Producto Escalar se define como: A · B = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃.

Una propiedad fundamental es la condición de perpendicularidad: A ⊥ B ⇔ A · B = 0 (ángulo de 90º).

Producto Vectorial

El Producto Vectorial se calcula mediante el determinante de los vectores unitarios i, j, k y las componentes de los vectores A (a₁, a₂, a₃) y B (b₁, b₂, b₃):

A x B = C, donde el resultado es un vector C = (c₁, c₂, c₃) = c₁i + c₂j + c₃k.

• Propiedades: El vector resultante C es perpendicular a ambos vectores originales: C ⊥ B y C ⊥ A.
• Interpretación Geométrica: El módulo |C| = √(c₁² + c₂² + c₃²) representa el Área del Paralelogramo formado

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Definición de Matriz

Una matriz es un cuadro rectangular de números formado por m filas y n columnas. Los números que componen el cuadro son llamados elementos de la matriz.

Tipos de Matrices

a) Atendiendo a su forma

• Matriz fila: Es aquella que tiene una sola fila. También es llamada vector fila, ya que representa vectores.
• Matriz columna: Es aquella que tiene una sola columna, la cual recibe el nombre de vector columna.
• Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas.
• Matriz transpuesta: Es aquella que resulta de intercambiar las filas por las columnas de una matriz original.

b) Atendiendo a sus elementos

• Matriz nula: Es aquella en la cual todos sus elementos son cero. Se representa por 0 y también se le llama matriz

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Medidas de dispersión

Medidas absolutas: rango / RIQ (rango intercuartílico) / varianza / desviación estándar.

Medidas relativas: coeficiente de variación / puntuaciones típicas (Z).

Medidas de forma

Asimetría / Curtosis

Interpretación general

• Más homogéneo: más representativo, menos disperso, menos variable, menor rango intercuartílico, menor variabilidad, menor desviación estándar.
• Más heterogéneo: menos representativo, más disperso, más variable, mayor rango intercuartílico, mayor variabilidad, mayor desviación estándar.

Rango

R = Max – Min

Interpretación: Pepe es más heterogéneo con respecto a sus… porque su rango es mayor.

Rango intercuartílico (RIQ)

50% central

RIQ = Q3 – Q1

Más homogéneo = menor rango (datos menos... Continuar leyendo "Medidas de dispersión y forma: rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación" »

Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva e Inferencial

Definiciones Básicas y Medidas de Dispersión

Amplitud

Diferencia entre la puntuación de mayor valor y la de menor valor dentro de un conjunto de datos.

Frecuencia

Número de veces que el valor de una variable se repite.

Estadística

Es una ciencia, la rama de las matemáticas que tiene por objeto el estudio de fenómenos aleatorios. Utiliza conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades. Se encarga de recopilar, organizar, procesar, analizar e interpretar datos para elaborar modelos teóricos que tratan de explicar la realidad.

Ramas de la Estadística

Estadística Descriptiva

Recopila, condensa y analiza una gran cantidad de información... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Estadística: Variables, Medidas y Representación de Datos" »

Método 1: Componentes de Series Temporales

Este método describe la identificación y cálculo de los componentes clave en el análisis de series temporales: Estacionalidad, Tendencia y Ciclo.

Estacionalidad

La estacionalidad es un vínculo de dependencia que existe en relación con algunas de las estaciones del año (verano, otoño, invierno, primavera). Es un fenómeno que suele producirse en la misma época del año, con características similares siempre. Su naturaleza está vinculada a la estación; sucede siempre en esa época y se repite.

Cálculo del Factor Estacional (F.E.)

La fórmula general para la estacionalidad es:

FÓRMULA: SO / FACTOR ESTACIONAL (el FE se obtiene a partir de las hojas de estacionalidad).

Para calcular el Factor Estacional... Continuar leyendo "Descomposición de Series Temporales: Estacionalidad, Tendencia y Ciclo" »

Ejercicios de Implementación de Algoritmos Fundamentales

A continuación, se presentan las correcciones y optimizaciones de varios fragmentos de código, enfocados en la implementación de series matemáticas y otras operaciones básicas en programación.

Series y Sumatorias

Ejercicio 7: Suma de los primeros $n$ enteros positivos

Programa que calcula el valor de la serie: $1 + 2 + 3 + \dots + n$.

int n, suma = 0;
cout << "Digite el total de números a sumar: "; 
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    suma += i; 
}
// cout << "La suma es: " << suma << endl; // Opcional: mostrar el resultado
system("pause");

Ejercicio 8: Suma de los primeros $n$ números impares

Programa que calcula el valor de la serie: $1... Continuar leyendo "Implementación de Algoritmos Fundamentales en C++: Sumatorias y Factorización" »

1.A

fich=fopen('dat1.txt','w');
v=rand(1,100)*10-5;
for i=1:100
fprintf(fich,'%5.2f \n',v(i));
fprintf('%5.2f \n',v(i))
end
fclose(fich);

1.B

fich=fopen('dat1.txt','r');
n=input('Introduce un número par comprendido entre 1 y 100: ');
while(rem(n,2)~=0 | n<1 | n>100)
n=input('ERROR. Introduce un número par comprendido entre 1 y 100: ');
end
for i=1:100-n
fgets(fich);
end
v=fscanf(fich,'%f',[1,inf]);
m=n/2+1;
A=zeros(m,n/2);
A(1,:)=v(1:n/2);
A(2:m,n/2)=v(m:n);
disp(A)
fclose(fich);

2.A

fich=fopen('dat2.txt','w');
n=fix(rand*100+100);
v=zeros(1,2*n);
v(1:2:2*n-1)=rand(1,n)*40-20;
v(2:2:2*n)=fix(rand(1,n)*20-10);
for i=1:2*n/4
fprintf(fich,'%10.6f %5d %10.6f %5d \n',v(4*i-3:4*i));
fprintf('%10.6f %5d %10.6f %5d \n',v(4*i-3:4*i));
end
fclose(

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Progresiones Geométricas (PG)

Cálculo de Términos y Suma

Problema: El cuarto término ($a_4$) de una progresión geométrica es 27 veces el primer término ($a_1$). Si la suma de los primeros cuatro términos ($S_4$) es 360° (asumiendo que representan los ángulos de un cuadrilátero), determine el primer término.

Datos y Fórmulas

• Relación: $a_4 = 27 \cdot a_1$
• Fórmula del término general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
• Fórmula de la suma: $S_n = \frac{a_n \cdot r - a_1}{r-1}$

Desarrollo

1. Cálculo de la razón ($r$):

$$a_4 = a_1 \cdot r^{4-1} \implies 27 a_1 = a_1 \cdot r^3$$

$$27 = r^3 \implies \mathbf{r = 3}$$

2. Cálculo del primer término ($a_1$) usando la suma $S_4 = 360$:

$$S_4 = \frac{a_4 \cdot r - a_1}{r-1} \implies 360 = \frac{(27 a_1)... Continuar leyendo "Métodos de Resolución: Progresiones Aritméticas, Geométricas y Ecuaciones Exponenciales" »