Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Álgebra

El valor absoluto de un número real *a*, se escribe |*a*|, es el mismo número *a* cuando es positivo o cero, y opuesto de *a*, si es negativo.

Se llama logaritmo de base *a* de un número *N*, al número real *x* al que hay que elevar la base para que nos dé el número *N*.

Propiedades de los logaritmos:

• P≠Q → log_a P≠ log_a Q
• log_a a=1
• log_a 1=0
• log_a(P·Q)=log_a P+log_a Q
• log_a(P:Q)=log_a P-log_a Q
• log_a Pⁿ=n· log_a P
• log_a ⁿ√P= log_a P^1/n= 1/n log_a P

Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio P(*x*) entre un polinomio de la forma (*x*-*a*) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: *x*=*a*.

Trigonometría

Teorema del seno: En un triángulo cualquiera se verifica que los lados... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Álgebra, Trigonometría y Vectores" »

Estudio de una Función de Beneficio

El siguiente documento detalla el estudio de una función de beneficio, expresado en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa durante el año pasado. Se abordan aspectos de continuidad, derivabilidad y optimización.

a) Continuidad y Derivabilidad de la Función de Beneficio B(t)

La función de beneficio B(t) se define a trozos. Para determinar su continuidad y derivabilidad en el punto de unión, t = 6, procedemos con los siguientes pasos:

1. Estudio de la Continuidad en t = 6

Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función en ese punto debe ser igual a los límites laterales en dicho punto.

• Valor de la función en t = 6:
  B(6) = (6² / 8) - 6 + 5 = 36/8 - 6 + 5 = 9/2 - 1 = 7/2.
• Límite

A cada uno de los enunciados selectividad por letra P en adelante
Las expresiones no no es cierto no es verdad no es el caso de que no es posible es falso: ¬ no
Las expresiones y e más pero ni: ٧ y
Las expresiones o o..o bien..bien ya..ya: ٨ o
Las expresiones sí entonces luego por tanto en consecuencia cuando con tal de: → si entonces
Las expresiones sí y solo si equivale a es igual a vale por es lo mismo que: ↔ si y solo si
El conjuntor aquella conectiva que da lugar a una proposición compleja que es verdadera solamente cuando son verdad de las dos simples
p:1100 q:1010 p٨q: 1001
El disyuntor aquella conectiva que da lugar a una proposición compleja que es verdadera solamente cuando una o ambas proposiciones son verdaderas
p:1100 q:1010... Continuar leyendo "Lógica proposicional y conectivas" »

Dadas dos funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙), se cumple que 𝒅 𝒅𝒙 (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙) + 𝒅 𝒅𝒙𝒈(𝒙), es decir, la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. Verdadero. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas individuales. [f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x).

Dadas dos funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙), se cumple que 𝒅 𝒅𝒙 (𝒇𝒈)(𝒙) = [ 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙)][ 𝒅 𝒅𝒙𝒈(𝒙)], es decir, la derivada de un producto es igual al producto de las derivadas. Falso. La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma del producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función... Continuar leyendo "Propiedades matemáticas y matrices: verdadero o falso" »

Conceptos Clave y Fórmulas Esenciales de Matemáticas

Optimización de Funciones

Para optimizar una función, sigue estos pasos:

1. Identifica la condición y despeja una variable.
2. Define la función objetivo (lo que se busca maximizar o minimizar).
3. Sustituye la variable despejada en la función objetivo.
4. Deriva la función resultante.
5. Iguala la derivada a cero y resuelve para encontrar los puntos críticos.
6. Sustituye los puntos críticos en la función original para encontrar los valores óptimos.

Fórmulas Trigonométricas y Geométricas

• Longitud de la circunferencia: 2πr (donde 'r' es el radio).
• Área del círculo: πr².
• Tangente (tg): cateto opuesto / cateto contiguo.
• Seno (sen): cateto opuesto / hipotenusa.
• Coseno (cos): cateto contiguo / hipotenusa.

Posiciones Relativas en el Espacio

Entre Dos Rectas

• Vectores directores proporcionales:
  • Coincidentes: Un punto de una recta pertenece a la otra. (Rango(M)=1, Rango(M_ampliada)=1)
  • Paralelas: Un punto de una recta no pertenece a la otra. (Rango(M)=1, Rango(M_ampliada)=2)
• Vectores directores no proporcionales:
  • Se cortan: Los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta son coplanares (determinante = 0). (Rango(M)=2, Rango(M_ampliada)=2)
  • Se cruzan: Los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta no son coplanares (determinante ≠ 0). (Rango(M)=2, Rango(M_ampliada)=3)

Entre Dos Planos

• Coincidentes: Los coeficientes de las ecuaciones generales son proporcionales (A/A' = B/B' = C/C' = D/D').
• Paralelos: Los coeficientes de las

Relaciones entre Distribuciones de Probabilidad

Relación entre la Distribución Hipergeométrica y Binomial

Cuando el tamaño de la población N es bastante grande comparado con el tamaño de la muestra n, se considera que la distribución Binomial es una aproximación adecuada para resolver una distribución Hipergeométrica. En general, puede mostrarse que si n y por lo tanto r es muy pequeño comparado con N₁ y N₂, entonces: si se toma una muestra muy pequeña de una población muy grande, entonces la falta de reemplazo (Distribución Hipergeométrica) y el reemplazo (Distribución Binomial) dan resultados aproximadamente idénticos.

Relación entre la Distribución Binomial y de Poisson

Cuando el número de pruebas n es grande y por otra parte... Continuar leyendo "Relaciones entre las Distribuciones Hipergeométrica, Binomial y de Poisson" »

Teorema de Rolle

Sea f(x) una función que satisface las siguientes hipótesis:

1. f(x) es continua en [a,b]
2. f(x) es derivable en (a,b)
3. f(a)=f(b)

Entonces existe un número cÎ(a,b) tal que f´(c)=0

Demostración:

Hay tres casos:

1er caso:

f(x) = cte ® f ´(x)=0 para todo xÎ(a,b). Cualquier c Î(a,b) lo cumple.

2do caso:

Existe un x tal que f(x)>f(a). Dado que por hipótesis f(x) es continua en [a,b], f(x) tiene un valor máximo en [a,b] (teorema de Weierstrass). Dado que f(a)=f(b) el máximo debe alcanzarse en algún c Î(a,b), es decir que también en c se alcanza un máximo local (pues está en el interior de [a,b]). f(x) es derivable en (a,b) (hipótesis 2) entonces podemos aplicar el teorema de Fermat, es decir, f´(c) = 0.

3er caso:

Existe un x... Continuar leyendo "Teorema de Rolle y Otros Conceptos Fundamentales del Cálculo" »

Significado de la Fracción en el Modelo de Medida

En general, dada una cantidad de magnitud (m) y una unidad de medida (u) de la misma magnitud, la fracción a/b u expresa la medida de la cantidad de magnitud m.

El denominador de la fracción (b) indica que, para poder efectuar la medida, hemos utilizado subunidades de medida de 1/b de unidad. También, que se ha fraccionado la unidad de medida en b partes iguales.

El numerador de la fracción (a) indica el número de subunidades de medida de 1/b de unidad que es necesario utilizar para completar la cantidad de magnitud m. Se verifica que a y b son números naturales y b no es cero.

Fracciones Equivalentes

Diremos que dos o más fracciones son equivalentes si expresan la medida de la misma cantidad... Continuar leyendo "Fracciones: Conceptos Esenciales, Medida y Operaciones Fundamentales" »

Ojos claros, serenos: O madrigal de Gutierre de Cetina está composto por versos endecasílabos e heptasílabos que son propios da poesía italianista. Estes versos pretenden imitar os tipos de estrofa usados por Horacio, un dos poetas da antigüidade que é venerado. Ademais, os metros italianos corresponden a un contido menos abstracto, máis suave e sensorial como se pode ver co uso do adjetivo “claros”. Este madrigal está dentro do período do Renacemento, polo que é un poema no que se ensalza a beleza e o protagonismo do amor, e se concibe á dama como un ser inalcanzable.

Estancia breve e aislada

O poema é unha estancia breve e aislada. É unha composición de tipo ingenioso, breve con rima consonante para xogos conceptistas, dedicados... Continuar leyendo "O madrigal de Gutierre de Cetina: poesía amorosa renacentista" »